Flusso di campo attraverso superficie aperta

[ChiaraSchive]

buongiorno,sto facendo un esercizio di fisica2, elettromagnetismo. il problema è il seguente: ho un filo conduttore in cui circola una corrente $i_1$,raggio di sezione $a$. Questo filo è avvolto da un isolante di raggio $b$, che a sua volta è avvolto da una guaina conduttrice di raggio $c$, percorsa da una $\i_2$ di verso oppost a $\i_1$ (i tre cilindri sono coassiali). Devo calcolare il campo induzione magnetica $B$ nelle diverse zone, in funzione di $r$.

Svolgimento:
ho usato la legge di Ampere: $int\ vec B* \vec dl$ = $\mu_0$ * $i$
dove $i$ è la somma algebrica delle correnti concatenate alla linea chiusa.

1° dubbio: il verso di B è dato dal verso della corrente, ma il verso di percorrenza della linea $\gamma$ è arbitrario? io l'ho preso concorde a $B$, ma se lo avessi preso contrario avrei ottenuto un meno....

r
a
b la corrente concatenata è la somma delle due. Poichè $\gamma$ sta nella guaina, non prendo tutta la $i_2$, ma integro la densità di corrente:
$int_(\sigma) vec J_2 vec ds $ dove $\sigma$ è la superficie con bordo $\gamma$.
$J_2=-(i_2/(\pi(c^2-b^2)))$
il meno è per il verso contrario all'orientamento di $vec ds$.

dubbio cruciale: quando integro $vec ds$ io integrerei su tutta quanta l'area di $\sigma$ di raggio $r$, ottenendo $\pi r^2$, invece il prof ha integrato solo nel pezzo di $\sigma$ in cui scorre la $J_2$!! cioè
$\pi (r^2-b^2)$. Perchè? cioè lui ha preso come area una corona circolare...

grazie per una eventuale risposta

[RenzoDF]

"ChiaraSchive":...ho usato la legge di Ampere: $int\ vec B* \vec dl$ = $\mu_0$ * $i$
dove $i$ è la somma algebrica delle correnti concatenate alla linea chiusa.

Ok, ma vista la simmetria cilindrica non serve scomodare gli integrali, le linee di forza saranno circolari, il campo sarà tangente alle stesse e costante su tutta la linea, ovvero B lo puoi portare fuori dal segno di integrazione e integrare dl per ricavarti la lunghezza della circonferenza.

"ChiaraSchive":...1° dubbio: il verso di B è dato dal verso della corrente, ma il verso di percorrenza della linea $\gamma$ è arbitrario? io l'ho preso concorde a $B$, ma se lo avessi preso contrario avrei ottenuto un meno....

Il verso di percorrenza, può essere qualsiasi, ma poi la scelta di detto verso va ad influenzare la scelta del verso da considerare positivo per il flusso (della densità di corrente); sostanzialmente, preso positivo un certo verso per la normale alla superficie considerata (ovvero per il flusso, ovvero per il verso che assumi positivo per la corrente), dovrai girarci intorno, con verso di rotazione uguale a quello di un cavatappi avvitato lungo detta normale (così usava Maxwell ).

"ChiaraSchive":... r
Direi proprio di no, anche dimensionalmente non ci siamo, quella frazione a secondo membro è una densità di corrente, non una corrente; manca un fattore e c'è pure un 2 di troppo.

"ChiaraSchive":... a
Qui Ok

"ChiaraSchive":... b la corrente concatenata è la somma delle due. Poichè $\gamma$ sta nella guaina, non prendo tutta la $i_2$, ma integro la densità di corrente:
$int_(\sigma) vec J_2 vec ds $ dove $\sigma$ è la superficie con bordo $\gamma$.
$J_2=-(i_2/(\pi(c^2-b^2)))$
il meno è per il verso contrario all'orientamento di $vec ds$.

Certo, è la somma di tutta la i1 meno (visto il verso) la parte della i2 che viene racchiusa dal generico cerchio di raggio r, ovvero la frazione di i2 che interessa la corona circolare di spessore (r-b).

"ChiaraSchive":... dubbio cruciale: quando integro $vec ds$ io integrerei su tutta quanta l'area di $\sigma$ di raggio $r$, ottenendo $\pi r^2$, invece il prof ha integrato solo nel pezzo di $\sigma$ in cui scorre la $J_2$!! cioè
$\pi (r^2-b^2)$. Perchè? cioè lui ha preso come area una corona circolare...

Si, l'integrale deve essere fatto su tutta la superficie di raggio r, ma visto che per detto integrale è già noto sia il risultato nella parte centrale dove vale i1 e così pure nella parte a

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[ChiaraSchive]

ah giusto, grazie... si in r Scusa solo una cosa, non ho capito la faccenda del verso di percorrenza. consideriamo il cilindro interno di raggio a. Diciamo che in prospettiva la corrente $i_1$ scorre dentro al foglio. Quindi avrò che il campo generato da questo filo, secondo la regola della vite, prima esce dal foglio e poi rientra. Quindi visto dall'alto (vedendo la sezione di raggio a) vedo le linee di campo che girano in senso orario. Ora scelgo una linea chiusa $\gamma$ di raggio $r$ e decido di orientarla concorde a B, cioè in senso orario, così quando faccio l'integrale di $B dl$ ottengo $B 2\pi r$ e non ho nessun meno, data la mia scelta di percorrere la linea. Però al prof viene il meno davanti, perchè immagino abbia scelto gamma in senso antiorario. Morale, il risulato mio e del prof differisce di un meno, è corretto lo stesso il mio?

[RenzoDF]

Per chiarire la "prospettiva, l'alto ... e il basso" servirebbe un bel disegno in FidoCadJ.

... ma scommetto che non hai tempo da perdere, vero?