Flusso campo magnetico attraverso una rondella

[*martiki*1]

Ciao a tutti, non riesco a risolvere questo problema di Fisica. Vi riporto qui il testo:

Una rondella (rosetta)- che ho pensato assimilabile a un piccolo cilindro cavo - è di metallo ed ha resistività $ rho $ . Ha raggio interno r1 e raggio esterno r2 e spessore d. E' immersa in un campo magnetico perpendicolare al piano della rondella e ha modulo, dipendente dal tempo, B=bt con b costante. Dimostrare che l'intensità di corrente attorno alla rondella è:

i=(r2^2-r1^2) $ (bd)/(2rho) $

Io avevo provato così ma non viene e non capisco il motivo. per prima cosa ho calcolato la ddp (fem)
$ epsilon = -(dphi)/dt= -d/dt(BA)=-Ad/dt (B)=pi(r2^2-r1^2)b $

poi ho tentato di calcolare la resistenza in questo modo: dato $ R=(rho*l)/A $ quindi $ dR=(rho*dl)/(A(r)) $ con A(r) superficie laterale del cilindro (2pird) e dl=dr

Integrando dR tra i due raggi il risultato è $ rho/(2pid)*ln(1/(r1)-1/(r2)) $ considerando le resistenze infinitesime poste in serie.

ora i= $ epsilon/R $ e come potete vedere il risultato non viene. Dove sto sbagliando??

[RenzoDF]

Prova a determinare sia la forza elettromotrice indotta $e(r)$ sia la resistenza della parte di rondella (con sezione $dr \cdot d $), associate al generico raggio $r$, per poi ricavare la corrente $i$ integrando da $r_1$ a $r_2$ quella infinitesima $di$ ottenuta via legge di Ohm.

[*martiki*1]

In questo modo?
$ depsilon= 2pirbdr $

$ dR= (rho*r)/(2pird) $

Se non ho integrato male, rimane un pigreco di troppo e un 2 al numeratore... ma poi perché la fem indotta dovrebbe essere infinitesima?

grazie per la pazienza

[RenzoDF]

"*martiki*":In questo modo?
$ depsilon= 2pirbdr $

No, la forza elettromotrice è finita

$ |epsilon|= (d\phi)/dt=\frac{d (\pir^2bt)}{dt} =\pir^2b$

"*martiki*":...poi ho tentato di calcolare la resistenza in questo modo: dato $ R=(rho*l)/A $ quindi $ dR=(rho*dl)/(A(r)) $ con A(r) superficie laterale del cilindro (2pird) e dl=dr

No, la resistenza è infinita

$\rho (2\pi r)/(dr \cdot d)$

è la conduttanza $dG$ ad essere infinitesima .

Di conseguenza

$di=e(r)dG=\frac {rbd}{2\rho} dr$

[*martiki*1]

Ma integrando quel valore tra i due raggi non viene $ i= (bd)/(2rho)*((r2^2)/2-(r1^2)/2) $ ?

Perché non lo posso fare come lo avevo pensato all'inizio? avevo già risolto problemi simili e non riesco a spiegarmi quale sia la differenza

[RenzoDF]

"*martiki*":Ma integrando quel valore tra i due raggi non viene $ i= (bd)/(2rho)*((r2^2)/2-(r1^2)/2) $ ?

Certo.

In effetti noto ora la differenza con il risultato ufficiale (se è quello da te scritto) ma direi che andando a "controllare" detto risultato quando la differenza fra i raggi (r2-r1) sia piccola rispetto al raggio medio, al fine di poter considerare la rondella una semplice spira, vediamo che si avrebbe

$\phi=BS=B\pi[(r_2+r_1)/2]^2=bt\pi(r_2+r_1)^2/4$

$|\epsilon|=b\pi(r_2+r_1)^2/4$

$R=\rho 2\pi ((r_2+r_1)/2) \frac{1}{(r_2-r_1)d}$

$i=\epsilon/R=bd(r_2^2-r_1^2)/(4 \rho)$

che conferma il nostro risultato.

"*martiki*":Perché non lo posso fare come lo avevo pensato all'inizio? avevo già risolto problemi simili e non riesco a spiegarmi quale sia la differenza

Perché all'inizio andavi a considerare una resistenza radiale, mentre la forza elettromotrice indotta porta ad avere un campo elettrico con sola componente normale al raggio.

[*martiki*1]

il risultato è quello del mio libro di testo che purtroppo non mostra lo svolgimento. Quello che mi fa rimanere perplessa è che il prof in classe ci aveva presentato un problema molto simile, ma con guscio sferico e l'aveva risolto nella maniera in cui tentavo di risolvere io questo problema, solo che lì era più semplice dato che non c'era lo spessore di mezzo e avevo già la differenza di potenziale...