Fluidodinamica di base, Th.Bernoulli e Eq.continuità
Salve a tutti, ho alcuni dubbi sulla parte riguardanti i fluidi (corso di meccanica del 1 anno, quindi roba non complicata).
Primo dubbio che non c'entra nulla con tutto il resto ma lo metto qui comunque perché non mi sembra il caso di metterlo nel forum di analisi di base siccome è un argomento che chi studia fisica al primo anno incontra spesso:
Quando devo integrare in coordinate polari sferiche il mio volumetto infinitesimo lo esprimo colla solita formula (suppongo tutti la conoscano e non la spiego):
$dV = r^2sin\thetadrd\phi\d\theta$, con i rispettivi lower e upper bounds $r \in [0,R], \theta \in [0,\pi], \phi \in [0,2\pi]$
Il focardi in un esempio utilizza invece $r^2drd\phid(cos\theta)$, questa cosa l'ho vista fare anche dal professore ma non ho mai capito da dove proviene e vorrei essere illuminato (premetto che ho solo conoscenze di analisi 1).
Passiamo ai miei dubbi:
Riguardo l'equazione di continuità:
Il libro introduce prima di tutto, brillantemente ( per così dire) , in circa 2 pagine di spiegazione, i concetti di approccio euleriano, moto stazionario,fluido irrotazionale, ecc, ecc, linea di flusso e tubo di flusso e penso di averli assimilati.
Riporto quindi in breve la parte di testo riguardante l'equazione di continuità che non mi è chiara:
considero un fluido in moto stazionario (quindi le varie grandezze non dipendono dal tempo) e un tubo di flusso delimitato da due basi $A_1, A_2$ e i corrispondenti valori di densità con $\rho_1, \rho_2$ e analogamente $v_1, v_2$. Suppongo che le sezioni siano abbastanza ridotte da poter considerare le rispettive velocità, in modulo, uniformi in ogni loro punto (provo a mettere l'immagine)
Nell'intervallo di tempo $\Delta t$, il fluido che si trova a occupare il volume $\Delta V_1 = A_1 v_1 \Delta t$ di massa $\Delta m_1 = \rho_1 \Delta V_1$ entra nel tubo da sinistra e nello stesso $\Delta t$ una massa di fluido $\Delta m_2 = \rho_2 \Delta V_2$ esce da destra.
Qui è dove non capisco (riporto integralmente):
Le porzioni dei due tubi di flusso ai tempi $t$ e $t+\Delta t$ devono avere la stessa massa. Poiché per ipotesi il moto è stazionario, la massa della parte comune è la stessa; deve quindi risultare anche $\Delta m_1 = \Delta m_2$, da cui segue... ecc ecc
Vorrei che qualcuno mi spiegasse, in maniera più chiara possibile, le ragioni di queste ultime due frasi:
-perché i tubi di flusso ai due intervallo devono avere per forza masse uguali?
-Cosa intende parte in comune?
Vi ringrazio in anticipo e mi scuso per la lunghezza della domanda
Primo dubbio che non c'entra nulla con tutto il resto ma lo metto qui comunque perché non mi sembra il caso di metterlo nel forum di analisi di base siccome è un argomento che chi studia fisica al primo anno incontra spesso:
Quando devo integrare in coordinate polari sferiche il mio volumetto infinitesimo lo esprimo colla solita formula (suppongo tutti la conoscano e non la spiego):
$dV = r^2sin\thetadrd\phi\d\theta$, con i rispettivi lower e upper bounds $r \in [0,R], \theta \in [0,\pi], \phi \in [0,2\pi]$
Il focardi in un esempio utilizza invece $r^2drd\phid(cos\theta)$, questa cosa l'ho vista fare anche dal professore ma non ho mai capito da dove proviene e vorrei essere illuminato (premetto che ho solo conoscenze di analisi 1).
Passiamo ai miei dubbi:
Riguardo l'equazione di continuità:
Il libro introduce prima di tutto, brillantemente ( per così dire) , in circa 2 pagine di spiegazione, i concetti di approccio euleriano, moto stazionario,fluido irrotazionale, ecc, ecc, linea di flusso e tubo di flusso e penso di averli assimilati.
Riporto quindi in breve la parte di testo riguardante l'equazione di continuità che non mi è chiara:
considero un fluido in moto stazionario (quindi le varie grandezze non dipendono dal tempo) e un tubo di flusso delimitato da due basi $A_1, A_2$ e i corrispondenti valori di densità con $\rho_1, \rho_2$ e analogamente $v_1, v_2$. Suppongo che le sezioni siano abbastanza ridotte da poter considerare le rispettive velocità, in modulo, uniformi in ogni loro punto (provo a mettere l'immagine)
Nell'intervallo di tempo $\Delta t$, il fluido che si trova a occupare il volume $\Delta V_1 = A_1 v_1 \Delta t$ di massa $\Delta m_1 = \rho_1 \Delta V_1$ entra nel tubo da sinistra e nello stesso $\Delta t$ una massa di fluido $\Delta m_2 = \rho_2 \Delta V_2$ esce da destra.
Qui è dove non capisco (riporto integralmente):
Le porzioni dei due tubi di flusso ai tempi $t$ e $t+\Delta t$ devono avere la stessa massa. Poiché per ipotesi il moto è stazionario, la massa della parte comune è la stessa; deve quindi risultare anche $\Delta m_1 = \Delta m_2$, da cui segue... ecc ecc
Vorrei che qualcuno mi spiegasse, in maniera più chiara possibile, le ragioni di queste ultime due frasi:
-perché i tubi di flusso ai due intervallo devono avere per forza masse uguali?
-Cosa intende parte in comune?
Vi ringrazio in anticipo e mi scuso per la lunghezza della domanda
Risposte
Ciao.
Riguardo la prima domanda, sinceramente senza un poco di contesto non so la seconda formula da dove venga, per scrivere un volume di sfera infinitesimo pare molto più immediata la prima formula anche a me.
Riguardo le domande sul tubo di flusso, devi semplicemente considerare che se il flusso è stazionario per ipotesi tutto quello che è compreso tra la sezione in bianco A1 (la sezione 1 dopo un tempo $t+Delta t$) e la sezione grigia A2 (la sezione 2 all'istante $t$) avrà massa costante (e le velocità del fluido in ogni punto non cambiano), quindi per la conservazione della massa va imposto che quello che entra in $A1$ esce in $A2$.
Se il flusso non fosse stazionario la conservazione della massa non necessiterebbe questo visto che nel volume tra quelle due sezioni si potrebbe avere una variazione di massa.
Riguardo la prima domanda, sinceramente senza un poco di contesto non so la seconda formula da dove venga, per scrivere un volume di sfera infinitesimo pare molto più immediata la prima formula anche a me.
Riguardo le domande sul tubo di flusso, devi semplicemente considerare che se il flusso è stazionario per ipotesi tutto quello che è compreso tra la sezione in bianco A1 (la sezione 1 dopo un tempo $t+Delta t$) e la sezione grigia A2 (la sezione 2 all'istante $t$) avrà massa costante (e le velocità del fluido in ogni punto non cambiano), quindi per la conservazione della massa va imposto che quello che entra in $A1$ esce in $A2$.
Se il flusso non fosse stazionario la conservazione della massa non necessiterebbe questo visto che nel volume tra quelle due sezioni si potrebbe avere una variazione di massa.
Grazie mille Faussone. Molto chiaro e diretto. Riguardo la prima domanda non ti preoccupare tanto posso integrare anche con l'altro metodo senza troppi problemi
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