Fluidodinamica
Un recipiente di sezione S1 contiene un liquido di densità \( \rho \), per un'altezza iniziale non nota. Sulla base del recipiente vi è un foro S2
Risposte
La velocita di efflusso $v = sqrt(2gh)$ vale quando $h$ è costante. Qui è variabile. Più il liquido cala, e minore è la velocità.
Dato un serbatoio che contiene un volume di liquido $V$ , e dette $Q_e $ e $Q_u$ la portata entrante e la portata uscente, in un tempo elementare $dt$ la variazione del volume è data da :
$dV = (Q_e - Q_u)dt $ (equazione dei serbatoi) .
Nel tuo caso, $Q_e =0 $ , quindi : $dV = - Q_udt $
Il serbatoio è cilindrico, di sezione $A =\pi*R^2$. Assumi un asse $z$ verticale verso l'alto, con origine sul fondo, e indica con $z_i$ la quota iniziale del pelo libero, $z_f$ quella finale, inferiore alla prima.
Dal foro sul fondo, di area $a = \pir^2$, in un certo istante $t$ la portata che defluisce, funzione del tempo, è data da :
$Q_u(t) = a*sqrt(2gz(t))$
dove $z$ varia nel tempo tra le due quote dette. Se la portata entrante nel serbatoio è nulla, si ha :
$(dV)/(dt) =-A(dz)/(dt) = - a * sqrt(2gz(t)) = -a*sqrt(2g)*z^(1/2) $
percio, separando le variabili : $ dt = -A/(a*sqrt(2g))*z^(-1/2)*dz $
e quindi, integrando tra i due istanti $t_1$ e $t_2$ a cui corrispondono i livelli $z_i$ e $z_f$ , si ottiene :
$\Deltat = (2A)/(a*sqrt(2g))( sqrt(z_i) - sqrt(z_f)) $
Se il foro è sul fondo e vogliamo il tempo per lo svuotamento completo, basta mettere $ z_f = 0$
e si ottiene : $\Delta t = (2Asqrt(z_i))/(asqrt(2g)) = (2Az_i)/(asqrt(2gz_i))$
Perciò , se hai il tempo , puoi ricavare $z_i$ .
Dato un serbatoio che contiene un volume di liquido $V$ , e dette $Q_e $ e $Q_u$ la portata entrante e la portata uscente, in un tempo elementare $dt$ la variazione del volume è data da :
$dV = (Q_e - Q_u)dt $ (equazione dei serbatoi) .
Nel tuo caso, $Q_e =0 $ , quindi : $dV = - Q_udt $
Il serbatoio è cilindrico, di sezione $A =\pi*R^2$. Assumi un asse $z$ verticale verso l'alto, con origine sul fondo, e indica con $z_i$ la quota iniziale del pelo libero, $z_f$ quella finale, inferiore alla prima.
Dal foro sul fondo, di area $a = \pir^2$, in un certo istante $t$ la portata che defluisce, funzione del tempo, è data da :
$Q_u(t) = a*sqrt(2gz(t))$
dove $z$ varia nel tempo tra le due quote dette. Se la portata entrante nel serbatoio è nulla, si ha :
$(dV)/(dt) =-A(dz)/(dt) = - a * sqrt(2gz(t)) = -a*sqrt(2g)*z^(1/2) $
percio, separando le variabili : $ dt = -A/(a*sqrt(2g))*z^(-1/2)*dz $
e quindi, integrando tra i due istanti $t_1$ e $t_2$ a cui corrispondono i livelli $z_i$ e $z_f$ , si ottiene :
$\Deltat = (2A)/(a*sqrt(2g))( sqrt(z_i) - sqrt(z_f)) $
Se il foro è sul fondo e vogliamo il tempo per lo svuotamento completo, basta mettere $ z_f = 0$
e si ottiene : $\Delta t = (2Asqrt(z_i))/(asqrt(2g)) = (2Az_i)/(asqrt(2gz_i))$
Perciò , se hai il tempo , puoi ricavare $z_i$ .
Il problema dà anche nota la densità. Non ci serviamo di quella?
"luls":
Il problema dà anche nota la densità. Non ci serviamo di quella?
No, per la stessa ragione per cui non serve la massa di un oggetto per sapere in quanto tempo cade
La soluzione che ti ho proposto è una soluzione molto semplificata , rispetto al problema reale del riempimento/svuotamento di serbatoi. Qualche informazione in più (forse troppo per te) la trovi
in questa dispensa , di cui richiamo l'attenzione sul paragrafo 2.2.1 , e la formula 25 .
Anche quando applichi il teorema di Bernouilli, valido per fluido perfetto, pesante, incomprimibile e in moto permanente , per calcolare la velocità di efflusso da un serbatoio sotto l'ipotesi che il carico $h$ sul foro sia costante , scrivi :
$gz_1 + p_1/\rho + 1/2v_1^2 = gz_2 + p_2/\rho + 1/2v_2^2 $
e i due termini $p_1/\rho$ e $p_2/\rho$ , che rappresentano l'energia di pressione per unità di massa, si elidono , per cui viene fuori la formula di Torricelli . Come vedi, la densità del fluido , in questo caso molto ideale , scompare , come ti ha detto mgrau .
in questa dispensa , di cui richiamo l'attenzione sul paragrafo 2.2.1 , e la formula 25 .
Anche quando applichi il teorema di Bernouilli, valido per fluido perfetto, pesante, incomprimibile e in moto permanente , per calcolare la velocità di efflusso da un serbatoio sotto l'ipotesi che il carico $h$ sul foro sia costante , scrivi :
$gz_1 + p_1/\rho + 1/2v_1^2 = gz_2 + p_2/\rho + 1/2v_2^2 $
e i due termini $p_1/\rho$ e $p_2/\rho$ , che rappresentano l'energia di pressione per unità di massa, si elidono , per cui viene fuori la formula di Torricelli . Come vedi, la densità del fluido , in questo caso molto ideale , scompare , come ti ha detto mgrau .
Perfetto, grazie mille 
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