Fluidi in relatività generale
Quale è la motivazione per cui in RG dobbiamo trattare la materia come se fosse un fluido? Solo "comodità" matematica?
Perché all'inizio uno dice ok, ma pensandoci su un secondo ci si accorge che la gravità diventa tremendamente complicata in quanto dipende dal comportamento collettivo della materia che c'è.
Non solo, mi viene da chiedere quale sia la gravità generata da una sola particella alle varie velocità. Lì non c'è il concetto di pressione, densità, ecc
Perché all'inizio uno dice ok, ma pensandoci su un secondo ci si accorge che la gravità diventa tremendamente complicata in quanto dipende dal comportamento collettivo della materia che c'è.
Non solo, mi viene da chiedere quale sia la gravità generata da una sola particella alle varie velocità. Lì non c'è il concetto di pressione, densità, ecc
Risposte
Ti ho suggerito vari libri e dispense e corsi sulla relatività, le risposte sono riportate lí dentro. Comunque ti rispondo brevemente : l’universo É un fluido, abbastanza dinamico direi. Come lo vedresti tu altrimenti? Non è solo comodità matematica.
LA complicazione di cui parli è insita nelle equazioni di campo di Einstein, che mettono in relazione la curvatura dello spaziotempo col tensore energia-impulso della materia:
$G_(munu) =kT_(munu)$
Ho detto qualcosa sul significato dei simboli in qualche link inserito in post passati. In breve si può leggere:
Curvatura dello ST proporzionale alla materia-energia
Ma qui le cose si fanno matematicamente più difficili, è praticamente impossibile trattare compiutamente qui questo concetto, non fosse altro che per il fatto che Einstein ci mise una decina di anni per arrivare a formulare le sue equazioni di campo! In basso ho messo un link a un articolo di Walters molto sintetico.
Tieni presente che le equazioni di campo sono sempre equazioni tensoriali , cioè uguaglianze di tensori ( per il motivo che tante volte ho riportato qui ) e valgono localmente, non ci sono equazioni globali in RG, non ha senso paragonare la velocità (quindi energia e quantità di moto) di una particella vicino a noi osservatori con le stesse quantità per una particella “lontana” da noi.
Qualcosa si può aggiungere qui, ma ad un livello molto semplice, senza matematica. E siccome, come sai, ho la mania di riportare pagine di libri in mio possesso, anzichè mettermi a scopiazzare i concetti col rischio di scrivere troppo, o troppo poco, e male, sono andato a prendere un libro di “alta divulgazione” , scritto da Robert Wald (é quanto dire! ) nel 1977 (credo) e ho scannerizzato un po’ di materiale :
É chiaro il concetto ? LA parte importante è il paragrafo 3 sopra riportato, per cui non è solo l’energia ( o meglio la densità di materia-energia, sempre perché parliamo di quantità locali) ma anche la quantità di moto ( o meglio : flusso di quantità di moto attraverso superfici che delimitano volumi locali di materia) che formano un tensore $T_(munu)$ simmetrico, le cui 10 componenti sono messe in relazione con le componenti del tensore di Einstein $G_(munu)$ nelle equazioni di campo.
PEr i dettagli, consulta qualcosa dei tanti link che ti ho dato. C’è anche tanto materiale, più dettagliato, ma non credo sia il caso di riportarlo.
Ho letto in altri tuoi post che ti senti depresso perché trovi un grosso ostacolo nella comprensione della relatività generale. Sei in buona compagnia! Però , come già fatto altre volte, ti esorto a studiare la materia lentamente e sistematicamente, altrimenti non ne arrivi a capo. E devi cominciare dalla Relatività ristretta. Se non fai così, avrai sempre dei “perché “ senza risposta.
Qui c’è un articolo di Walters che descrive una idea su come Einstein arrivò alle sue equazioni di campo. Ma trovi una marea di queste spiegazioni in giro.
Non ho capito il senso dell’ultima domanda : ti stai riferendo ad un universo costituito da una sola particella ? E ti ripeto : se parli di velocità , devi riferire la particella ad un sistema di riferimento !! Quindi che vuol dire questa domanda?
LA complicazione di cui parli è insita nelle equazioni di campo di Einstein, che mettono in relazione la curvatura dello spaziotempo col tensore energia-impulso della materia:
$G_(munu) =kT_(munu)$
Ho detto qualcosa sul significato dei simboli in qualche link inserito in post passati. In breve si può leggere:
Curvatura dello ST proporzionale alla materia-energia
Ma qui le cose si fanno matematicamente più difficili, è praticamente impossibile trattare compiutamente qui questo concetto, non fosse altro che per il fatto che Einstein ci mise una decina di anni per arrivare a formulare le sue equazioni di campo! In basso ho messo un link a un articolo di Walters molto sintetico.
Tieni presente che le equazioni di campo sono sempre equazioni tensoriali , cioè uguaglianze di tensori ( per il motivo che tante volte ho riportato qui ) e valgono localmente, non ci sono equazioni globali in RG, non ha senso paragonare la velocità (quindi energia e quantità di moto) di una particella vicino a noi osservatori con le stesse quantità per una particella “lontana” da noi.
Qualcosa si può aggiungere qui, ma ad un livello molto semplice, senza matematica. E siccome, come sai, ho la mania di riportare pagine di libri in mio possesso, anzichè mettermi a scopiazzare i concetti col rischio di scrivere troppo, o troppo poco, e male, sono andato a prendere un libro di “alta divulgazione” , scritto da Robert Wald (é quanto dire! ) nel 1977 (credo) e ho scannerizzato un po’ di materiale :
É chiaro il concetto ? LA parte importante è il paragrafo 3 sopra riportato, per cui non è solo l’energia ( o meglio la densità di materia-energia, sempre perché parliamo di quantità locali) ma anche la quantità di moto ( o meglio : flusso di quantità di moto attraverso superfici che delimitano volumi locali di materia) che formano un tensore $T_(munu)$ simmetrico, le cui 10 componenti sono messe in relazione con le componenti del tensore di Einstein $G_(munu)$ nelle equazioni di campo.
PEr i dettagli, consulta qualcosa dei tanti link che ti ho dato. C’è anche tanto materiale, più dettagliato, ma non credo sia il caso di riportarlo.
Ho letto in altri tuoi post che ti senti depresso perché trovi un grosso ostacolo nella comprensione della relatività generale. Sei in buona compagnia! Però , come già fatto altre volte, ti esorto a studiare la materia lentamente e sistematicamente, altrimenti non ne arrivi a capo. E devi cominciare dalla Relatività ristretta. Se non fai così, avrai sempre dei “perché “ senza risposta.
Qui c’è un articolo di Walters che descrive una idea su come Einstein arrivò alle sue equazioni di campo. Ma trovi una marea di queste spiegazioni in giro.
Non ho capito il senso dell’ultima domanda : ti stai riferendo ad un universo costituito da una sola particella ? E ti ripeto : se parli di velocità , devi riferire la particella ad un sistema di riferimento !! Quindi che vuol dire questa domanda?
Infatti ho seguito il tuo consiglio e sto studiando da:
-geometria differenziale (Abate) e Gauge Fields, knots and gravity (Baez) per la parte matematica
-first course in general relativity (Schutz) e relativity (Rindler) per la parte fisica
Ti spiego le mie conoscenze dopo qualche giorno di studio.
Ho capito che il tensore energia impulso è una funzione lineare che è come una scatolina in ogni punto dello spaziotempo che ti dice quello che passa dalle pareti e come ci passa. Esso è simmetrico -10 componenti- ed ha divergenza nulla.
Dall'altra parte dell'equazione per postulato c'è l'unica cosa senza derivate strane, simmetrica e senza divergenza, che coinvolge il tensore metrico ed è ottenibile dall'identità di Bianchi.
Il modo con cui si comporta la materia decide come si curva lo spaziotempo e viceversa.
La curvatura dello spaziotempo in particolare determina come e se le geodetiche si avvicineranno tra loro, l'accelerazione tra le geodetiche è fisicamente l'accelerazione dovuta alla gravità.
Ora, leggendo gli esempi come la "dust", la materia e la sua dinamica sono trattati come un fluido perfetto. Perché usare proprio questa idealizzazione? Solo per comodità o ci sono ragioni particolari? Magari per il fatto che in relatività si perde il concetto di rigidità?
Capisco che la complessità è incapsulata dentro l'equazione di campo, ma non mi spiego perché utilizzare concetti che ci riportano a pressione, densità, ecc. Non esisterebbero alternative?
Non so se mi sono spiegato.
Inoltre tu mi dici che è l'universo e non solo la materia ad essere un fluido. Perché? La dust è la materia o ho capito male?
Infine, per una singola particella non esiste il concetto di pressione e densità, quale è la gravità generata da essa se io sono un osservatore lontano?
Ad intuito mi aspetterei che se la singola particella è ferma la gravità sarà come quella di newton.
Durante le accelerazioni mi aspetto l'emissione di onde gravitazionali.
Se si muove a velocità costante la gravità cresce mano a mano che la velocità cresce?
Però pensando alla scatolina, il quadrimpulso che esce dalla scatolina è costante in modulo.
Riformulo il concetto: se sono un osservatore nello spazio vuoto e c'è una particella lontana e ferma rispetto a me quale campo gravitazionale mi devo aspettare? e se la particella lontana inizia a muoversi a velocità v?
PS:involontariamente scrivo sempre materia, ma voglio precisare che quando dico materia in realtà intendo tutto ciò che c'è, compresa la radiazione
-geometria differenziale (Abate) e Gauge Fields, knots and gravity (Baez) per la parte matematica
-first course in general relativity (Schutz) e relativity (Rindler) per la parte fisica
Ti spiego le mie conoscenze dopo qualche giorno di studio.
Ho capito che il tensore energia impulso è una funzione lineare che è come una scatolina in ogni punto dello spaziotempo che ti dice quello che passa dalle pareti e come ci passa. Esso è simmetrico -10 componenti- ed ha divergenza nulla.
Dall'altra parte dell'equazione per postulato c'è l'unica cosa senza derivate strane, simmetrica e senza divergenza, che coinvolge il tensore metrico ed è ottenibile dall'identità di Bianchi.
Il modo con cui si comporta la materia decide come si curva lo spaziotempo e viceversa.
La curvatura dello spaziotempo in particolare determina come e se le geodetiche si avvicineranno tra loro, l'accelerazione tra le geodetiche è fisicamente l'accelerazione dovuta alla gravità.
Ora, leggendo gli esempi come la "dust", la materia e la sua dinamica sono trattati come un fluido perfetto. Perché usare proprio questa idealizzazione? Solo per comodità o ci sono ragioni particolari? Magari per il fatto che in relatività si perde il concetto di rigidità?
Capisco che la complessità è incapsulata dentro l'equazione di campo, ma non mi spiego perché utilizzare concetti che ci riportano a pressione, densità, ecc. Non esisterebbero alternative?
Non so se mi sono spiegato.
Inoltre tu mi dici che è l'universo e non solo la materia ad essere un fluido. Perché? La dust è la materia o ho capito male?
Infine, per una singola particella non esiste il concetto di pressione e densità, quale è la gravità generata da essa se io sono un osservatore lontano?
Ad intuito mi aspetterei che se la singola particella è ferma la gravità sarà come quella di newton.
Durante le accelerazioni mi aspetto l'emissione di onde gravitazionali.
Se si muove a velocità costante la gravità cresce mano a mano che la velocità cresce?
Però pensando alla scatolina, il quadrimpulso che esce dalla scatolina è costante in modulo.
Riformulo il concetto: se sono un osservatore nello spazio vuoto e c'è una particella lontana e ferma rispetto a me quale campo gravitazionale mi devo aspettare? e se la particella lontana inizia a muoversi a velocità v?
PS:involontariamente scrivo sempre materia, ma voglio precisare che quando dico materia in realtà intendo tutto ciò che c'è, compresa la radiazione
"nomeFantasioso":
Infatti ho seguito il tuo consiglio e sto studiando da:
-geometria differenziale (Abate) e Gauge Fields, knots and gravity (Baez) per la parte matematica
-first course in general relativity (Schutz) e relativity (Rindler) per la parte fisica
Non conosco quei libri di geometria differenziale, ma quello che ti serve in RG è già contenuto nei corsi stessi.
Rindler è abbastanza criptico, meglio se a Schutz affianchi Hartle: Gravity ( per un primo approccio) . Non trascurare Carroll (le sue note sono gratis su arXiv ) e “Taylor and Wheeler” , sia per RR che per RG (cercale) ; non trascurare neanche le voci di Wikipedia sulla relatività in inglese (fatte meglio di quelle in italiano). A volte si trovano dei link cliccabile.
Ti spiego le mie conoscenze dopo qualche giorno di studio.
Ho capito che il tensore energia impulso è una funzione lineare che è come una scatolina in ogni punto dello spaziotempo che ti dice quello che passa dalle pareti e come ci passa. Esso è simmetrico -10 componenti- ed ha divergenza nulla.
Quel tensore è bilineare.
Dall'altra parte dell'equazione per postulato c'è l'unica cosa senza derivate strane, simmetrica e senza divergenza, che coinvolge il tensore metrico ed è ottenibile dall'identità di Bianchi.
Piu che “postulato” bisogna far riferimento al genio di Einstein. Di "derivate strane” comunque ce ne sono da ogni parte in RG , e direi che proprio il tensore di Einstein al primo membro è un oggetto abbastanza complesso a cui arrivare.
l'accelerazione tra le geodetiche è fisicamente l'accelerazione dovuta alla gravità.
Che vuoi dire? LA gravità determina localmente la caduta libera; la deviazione delle geodetiche consegue dalle accelerazioni differenziali di gravità, cioè le accelerazioni di marea.
Ora, leggendo gli esempi come la "dust", la materia e la sua dinamica sono trattati come un fluido perfetto. Perché usare proprio questa idealizzazione? Solo per comodità o ci sono ragioni particolari? Magari per il fatto che in relatività si perde il concetto di rigidità?
Capisco che la complessità è incapsulata dentro l'equazione di campo, ma non mi spiego perché utilizzare concetti che ci riportano a pressione, densità, ecc. Non esisterebbero alternative?
Non so se mi sono spiegato.
Inoltre tu mi dici che è l'universo e non solo la materia ad essere un fluido. Perché? La dust è la materia o ho capito male?
Dust è la materia incoerente, vedi Schutz. Ci sono anche teorie alternative alla RG, ma l’ultima parola spetta alle verifiche sperimentali. Quelle della RG non sono molte, ma a suo tempo fecero scalpore, dovresti leggere un po’ di storia al riguardo. Oggi ce ne sono altre, per esempio le onde gravitazionali e i buchi neri.
Infine, per una singola particella non esiste il concetto di pressione e densità, quale è la gravità generata da essa se io sono un osservatore lontano?
Ad intuito mi aspetterei che se la singola particella è ferma la gravità sarà come quella di newton.
Durante le accelerazioni mi aspetto l'emissione di onde gravitazionali.
Se si muove a velocità costante la gravità cresce mano a mano che la velocità cresce?
Però pensando alla scatolina, il quadrimpulso che esce dalla scatolina è costante in modulo.
Riformulo il concetto: se sono un osservatore nello spazio vuoto e c'è una particella lontana e ferma rispetto a me quale campo gravitazionale mi devo aspettare? e se la particella lontana inizia a muoversi a velocità v?
PS:involontariamente scrivo sempre materia, ma voglio precisare che quando dico materia in realtà intendo tutto ciò che c'è, compresa la radiazione
Ti poni il problema del campo gravitazionale creato da una singola particella, ma perché ? L’universo, e la materia-energia di cui è fatto , includendo anche la radiazione, non è una singola particella. Tuttavia, per non escludere nessuna ipotesi, dico che il campo gravitazionale anche di una sola particella potrebbe essere molto intenso, spesso in letteratura si sente parlare di mini-buchi neri, quindi è chiaro che nello spazio esterno a una tale particella devi adoperare la RG , non basta la meccanica newtoniana. Insomma, dipende dalla massa-energia che associ a questo particella.
MA voglio rassicurarti su una questione.
Supponi che il Sole venga compresso, con tutta la sua massa, al suo buco nero di Schwarzschild, che ha un raggio di circa 3 km. Nella prospettiva della nostra galassia, è praticamente un punto. Be’, l’esistenza della Terra e del sistema solare non sarebbe minimamente disturbata da questo fatto. Si calcola che, dato un buco nero di Schwarzschild di raggio $R_s = 30 km$ , cioè 10 volte maggiore di quello sopra detto (Sole), gli effetti relativistici vanno tenuti in conto fino a circa 1000 km da esso. Dopo tale distanza, puoi applicare la gravitazione newtoniana senza grossi problemi.
L’universo su larga scala è sostanzialmente piatto, la RG serve nelle vicinanze di questi corpi massicci.
Ti scrivo una formula su cui riflettere. È vero che in relatività il concetto di forza è abbandonato, ma se volessimo reintrodurlo la forza gravitazionale a distanza $r$ da un BN avente raggio di Schwarzschild $R_s$ sarebbe data da :
$F = 1/(sqrt(1-R_s/r)) (GmM)/r^2 $
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