FISICA potete aiutarmi con questo problema....
durante un rilievo topografico lka misura del lato maggiore di un appezzamento rettangolare di un terreno ha fornito il valore (90.8 +o- 0.3)m. il fosso che corre lungo 2 lati consecutivi del terreno è lungo (150.2 +o- 0.5)m.
calcolare il valore piu plausibile per la lunghezza del lato minore e l'incertezza corrispondente.
calcola l'area dell'appezzamento
calcola l'incertezza percentuale associata all'area
calcolare il valore piu plausibile per la lunghezza del lato minore e l'incertezza corrispondente.
calcola l'area dell'appezzamento
calcola l'incertezza percentuale associata all'area
Risposte
Curioso problema sulle incertezze delle misure.
Si conosce il lato maggiore del rettangolo e il semiperimetro, con le loro incertezze.
Trovare il lato minore è facile, basta fare la differenza dei valori e la somma delle incertezze assolute.
Se chiamo A il lato maggiore, P il semiperimetro. e B il lato minore incognto, e chiamo a,p,b le loro rispettive incertezze assolute ottengo:
\[\begin{array}{l}
A = 90,8 \\
P = 150,2 \\
a = \pm 0,3 \\
p = \pm 0,5 \\
B + b = P + p - A - a = P - A + p - a \\
B = P - A = 150,2 - 90,8 = {\rm{59}}{\rm{,4}} \\
b = p - a = \pm 0,5 \mp 0,3 = \pm 0,8 \\
\end{array}\]
Il problema sta sull'area perché non è la semplice moltiplicazione di due misure con incertezze indipendenti, quindi non si può applicare la regola dell'incertezza del prodotto, perché tra A e B c'è correlazione tra le rispettive incertezze.
Se A e B fossero indipendenti si calcolerebbe l'incertezza relativa e l'incertetezza sull'area risulterebbe pari alla somma delle incertezze relative di A e B, cioè si avrebbe (S è la superficie e s la sua incertezza assoluta):
\[\begin{array}{l}
\frac{a}{A} = {\rm{0}}{\rm{,33\% }} \\
\frac{b}{B} = {\rm{1}}{\rm{,35\% }} \\
\frac{s}{S} = {\rm{0}}{\rm{,33\% + 1}}{\rm{,35\% = 1}}{\rm{,68\% }} \\
\end{array}\]
In questo caso invece la correlazione di misura tra A e B impone un percorso di calcolo più luungo:
\[\begin{array}{l}
S + s = \left( {A + a} \right)\left( {B + b} \right) = \left( {A + a} \right)\left( {P + p - A - a} \right) = \left( {A + a} \right)\left( {P + p} \right) - {\left( {A + a} \right)^2} \\
S = AP - {A^2} \\
s = \left( {A + a} \right)\left( {P + p} \right) - {\left( {A + a} \right)^2} - AP + {A^2} \\
\frac{s}{S} = \frac{{\left( {A + a} \right)\left( {P + p} \right) - {{\left( {A + a} \right)}^2} - AP + {A^2}}}{{A\left( {P - A} \right)}} = \frac{{AP + aP + pA + ap - {A^2} - {a^2} - 2aA - AP + {A^2}}}{{A\left( {P - A} \right)}} = \\
= \frac{{aP + pA + ap - {a^2} - 2aA}}{{A\left( {P - A} \right)}} = a\frac{{P - 2A}}{{A\left( {P - A} \right)}} + p\frac{1}{{\left( {P - A} \right)}} + \frac{{ap - {a^2}}}{{A\left( {P - A} \right)}} \approx \\
\approx a\frac{{P - 2A}}{{A\left( {P - A} \right)}} + p\frac{1}{{\left( {P - A} \right)}} = \pm 0,3\frac{{150,2 - 2 \cdot 90,8}}{{90,8\left( {150,2 - 90,8} \right)}} \pm 0,5\frac{1}{{\left( {150,2 - 90,8} \right)}} = \\
= \mp 0,3 \cdot {\rm{0}}{\rm{,0058}} \pm 0,5 \cdot {\rm{0}}{\rm{,0168}} = \mp {\rm{0}}{\rm{,00174}} \pm {\rm{0}}{\rm{,0084}} \approx \\
\approx {\rm{0}}{\rm{,01 = 1\% }} \\
\end{array}\]
Insomma l'incertezza è decisamente minore di quella che si avrebbe se le misure dei due lati del rettangolo fossero indipendenti.
Si conosce il lato maggiore del rettangolo e il semiperimetro, con le loro incertezze.
Trovare il lato minore è facile, basta fare la differenza dei valori e la somma delle incertezze assolute.
Se chiamo A il lato maggiore, P il semiperimetro. e B il lato minore incognto, e chiamo a,p,b le loro rispettive incertezze assolute ottengo:
\[\begin{array}{l}
A = 90,8 \\
P = 150,2 \\
a = \pm 0,3 \\
p = \pm 0,5 \\
B + b = P + p - A - a = P - A + p - a \\
B = P - A = 150,2 - 90,8 = {\rm{59}}{\rm{,4}} \\
b = p - a = \pm 0,5 \mp 0,3 = \pm 0,8 \\
\end{array}\]
Il problema sta sull'area perché non è la semplice moltiplicazione di due misure con incertezze indipendenti, quindi non si può applicare la regola dell'incertezza del prodotto, perché tra A e B c'è correlazione tra le rispettive incertezze.
Se A e B fossero indipendenti si calcolerebbe l'incertezza relativa e l'incertetezza sull'area risulterebbe pari alla somma delle incertezze relative di A e B, cioè si avrebbe (S è la superficie e s la sua incertezza assoluta):
\[\begin{array}{l}
\frac{a}{A} = {\rm{0}}{\rm{,33\% }} \\
\frac{b}{B} = {\rm{1}}{\rm{,35\% }} \\
\frac{s}{S} = {\rm{0}}{\rm{,33\% + 1}}{\rm{,35\% = 1}}{\rm{,68\% }} \\
\end{array}\]
In questo caso invece la correlazione di misura tra A e B impone un percorso di calcolo più luungo:
\[\begin{array}{l}
S + s = \left( {A + a} \right)\left( {B + b} \right) = \left( {A + a} \right)\left( {P + p - A - a} \right) = \left( {A + a} \right)\left( {P + p} \right) - {\left( {A + a} \right)^2} \\
S = AP - {A^2} \\
s = \left( {A + a} \right)\left( {P + p} \right) - {\left( {A + a} \right)^2} - AP + {A^2} \\
\frac{s}{S} = \frac{{\left( {A + a} \right)\left( {P + p} \right) - {{\left( {A + a} \right)}^2} - AP + {A^2}}}{{A\left( {P - A} \right)}} = \frac{{AP + aP + pA + ap - {A^2} - {a^2} - 2aA - AP + {A^2}}}{{A\left( {P - A} \right)}} = \\
= \frac{{aP + pA + ap - {a^2} - 2aA}}{{A\left( {P - A} \right)}} = a\frac{{P - 2A}}{{A\left( {P - A} \right)}} + p\frac{1}{{\left( {P - A} \right)}} + \frac{{ap - {a^2}}}{{A\left( {P - A} \right)}} \approx \\
\approx a\frac{{P - 2A}}{{A\left( {P - A} \right)}} + p\frac{1}{{\left( {P - A} \right)}} = \pm 0,3\frac{{150,2 - 2 \cdot 90,8}}{{90,8\left( {150,2 - 90,8} \right)}} \pm 0,5\frac{1}{{\left( {150,2 - 90,8} \right)}} = \\
= \mp 0,3 \cdot {\rm{0}}{\rm{,0058}} \pm 0,5 \cdot {\rm{0}}{\rm{,0168}} = \mp {\rm{0}}{\rm{,00174}} \pm {\rm{0}}{\rm{,0084}} \approx \\
\approx {\rm{0}}{\rm{,01 = 1\% }} \\
\end{array}\]
Insomma l'incertezza è decisamente minore di quella che si avrebbe se le misure dei due lati del rettangolo fossero indipendenti.
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