Fisica matematica, potenziale di un sistema a 2 gradi di libertà
Ciao a tutti. come da titolo ho difficoltà a calcolare il potenziale di un sistema dinamico composto da 2 palline di eguale massa m: la prima è vincolata su una circonferenza di raggio 1 centrata nell'origine, la seconda sull'asse x. Inoltre sono collegate da una molla di costante elastica k.
Chiamo P il punto sulla circonferenza e Q quello sull'asse x
inizialmente ho descritto le coordinate dei punti nel modo standard, ovvero
${ ( P = (cos(theta),sin(theta)) ),(Q = (cos(theta)+x-1,0)):}$
dove $theta$ sarebbe l'angolo formato dal segmento OP con l'asse orizzontale ed x l'ascissa di Q. Il problema è che, in queste coordinate, non so se viene descritto bene Q quando è dentro la circonferenza. Inoltre, supponendo di volerle usare, il potenziale della molla è problematico da descrivere: dovrei aggiungere un altro grado di libertà per descrivere l'allungamento della molla ed è una cosa che preferirei evitare.
In alternativa avevo pensato di chiamare $theta$ l'angolo formato dalla molla con l'asse x. In questo modo l'allungamento verrebbe descritto nelle altre due coordinate, ma il problema di prima rimane: viene descritto bene Q quando è dentro la circonferenza?
Qui c'è un disegnino per vedere come ho inteso i due casi. Attendo una dritta per continuare l'esercizio
ciao!
Chiamo P il punto sulla circonferenza e Q quello sull'asse x
inizialmente ho descritto le coordinate dei punti nel modo standard, ovvero
${ ( P = (cos(theta),sin(theta)) ),(Q = (cos(theta)+x-1,0)):}$
dove $theta$ sarebbe l'angolo formato dal segmento OP con l'asse orizzontale ed x l'ascissa di Q. Il problema è che, in queste coordinate, non so se viene descritto bene Q quando è dentro la circonferenza. Inoltre, supponendo di volerle usare, il potenziale della molla è problematico da descrivere: dovrei aggiungere un altro grado di libertà per descrivere l'allungamento della molla ed è una cosa che preferirei evitare.
In alternativa avevo pensato di chiamare $theta$ l'angolo formato dalla molla con l'asse x. In questo modo l'allungamento verrebbe descritto nelle altre due coordinate, ma il problema di prima rimane: viene descritto bene Q quando è dentro la circonferenza?
Qui c'è un disegnino per vedere come ho inteso i due casi. Attendo una dritta per continuare l'esercizio
ciao!
Risposte
La pallina Q ha coordinate (x, 0).
Quindi il sistema puo essere descritto da x e $ theta $.
La lunghezza della molla sara una funzione di queste 2 coordinate.
Prova ora.
Quindi il sistema puo essere descritto da x e $ theta $.
La lunghezza della molla sara una funzione di queste 2 coordinate.
Prova ora.
Bene, penso di aver trovato una soluzione. Ho descritto i punti come $ { ( P = (cos(theta),sin(theta)) ),(Q = (x,0)):} $ e poi, usando il teorema del coseno, ho descritto la lunghezza della molla come $L^2 := bar(PQ)^2 = 1 + x^2 - 2xcos(theta)$. Da qui ricavo il potenziale, considerando che per ! il potenziale gravitazionale è nullo:
$V = V_P + V_Q = mgsin(theta) + k(1+x^2- 2xcos(theta))$
è corretto?
$V = V_P + V_Q = mgsin(theta) + k(1+x^2- 2xcos(theta))$
è corretto?
Direi di no.
La lunghezza finale della molla e' funzione di 2 parametri. Assumendo che la molla sia scarica per $theta=0$ e $x=1$, quando la Q si muove sulla $x$, il potenziale "parziale", tenendo fermo P e'
\( V_{p=cost}=-\frac{1}{2}k(2-2cos\theta)^2+C_1=-k(1-cos\theta)^2 +C_1\)
Il potenziale parziale se la pallina si sposta lungo x, tenendo ferma Q e'
\( V_{q=cost}=-\frac{1}{2}k(x-1)^2+C_2 \)
Il Potenziale gravitazionale e' \(- mgsin\theta+C_3 \)
Quindi \( V=-[k(1-cos\theta)^2 + \frac{1}{2}k(x-1)^2 + mgsin\theta]+V_0 \)
Assunto come potenziale nullo per la molla, la posizione molla scarica $(x=1,\theta=0)$ e per il potenziale nullo il riferimento y=0 (cioe' $\theta=0$)
\( V_{(x=1},_{\theta=0)}= V_0=0 \)
e quindi
\( V(x,\theta)=-[k(1-cos\theta)^2 + \frac{1}{2}k(x-1)^2 + mgsin\theta]\).
La lunghezza finale della molla e' funzione di 2 parametri. Assumendo che la molla sia scarica per $theta=0$ e $x=1$, quando la Q si muove sulla $x$, il potenziale "parziale", tenendo fermo P e'
\( V_{p=cost}=-\frac{1}{2}k(2-2cos\theta)^2+C_1=-k(1-cos\theta)^2 +C_1\)
Il potenziale parziale se la pallina si sposta lungo x, tenendo ferma Q e'
\( V_{q=cost}=-\frac{1}{2}k(x-1)^2+C_2 \)
Il Potenziale gravitazionale e' \(- mgsin\theta+C_3 \)
Quindi \( V=-[k(1-cos\theta)^2 + \frac{1}{2}k(x-1)^2 + mgsin\theta]+V_0 \)
Assunto come potenziale nullo per la molla, la posizione molla scarica $(x=1,\theta=0)$ e per il potenziale nullo il riferimento y=0 (cioe' $\theta=0$)
\( V_{(x=1},_{\theta=0)}= V_0=0 \)
e quindi
\( V(x,\theta)=-[k(1-cos\theta)^2 + \frac{1}{2}k(x-1)^2 + mgsin\theta]\).
Ciao, forse sono un po' tardo ma vedo delle falle nella tua soluzione:
Innanzitutto, da $-\frac{1}{2}k(2-2cos\theta)^2+V_0$ sei passato a $-k(1-cos\theta)^2 +C_1 $. Cosa sarebbero $C_1, C_2$ ecc? Costanti di integrazione? Inoltre credo dovrebbe essere $ -2k(1-cos\theta)^2 +C_1 $ ma vabbè, quello sarà un errore di battitura.
Secondo: cosa vuol dire
è Q a spostarsi lungo x, mentre P è vincolato a muoversi sulla circonferenza.
Io direi che è corretto fare così: Se P è fermo e Q si muove sull'asse x, mantenendo valido il tuo ragionamento per cui $V_0 = 0$, allora
$V_(P=cost)(x,theta) = 1/2k[(x-cos(theta))^2 + sin^2(theta)]$ che oltretutto rispetta la condizione $V_(P=cost)(1,0) = V_0 = 0$
Ho semplicemente usato il teorema di Pitagora: $x-cos(theta)$ è il cateto orizzontale, $sin(theta)$ quello verticale e la molla l'ipotenusa.
Viceversa, se fisso Q e lascio muovere P sulla circonferenza, il potenziale sarà
$V_(Q=cost)(x,theta) = 1/2k[(x-cos(theta))^2 + sin^2(theta)] + mgsin(theta)$, ovvero lo stesso della molla + la parte dovuta alla forza peso.
Quindi in definitva $V(x,theta) = V_(P=cost)(x,theta) + V_(Q=cost)(x,theta) =k[(x-cos(theta))^2 + sin^2(theta)] + mgsin(theta)$
sei d'accordo? Se non lo fossi puoi spiegarmi dove vedi errori?
Innanzitutto, da $-\frac{1}{2}k(2-2cos\theta)^2+V_0$ sei passato a $-k(1-cos\theta)^2 +C_1 $. Cosa sarebbero $C_1, C_2$ ecc? Costanti di integrazione? Inoltre credo dovrebbe essere $ -2k(1-cos\theta)^2 +C_1 $ ma vabbè, quello sarà un errore di battitura.
Secondo: cosa vuol dire
"professorkappa":
Il potenziale parziale se la pallina si sposta lungo x, tenendo ferma Q e'
$V_(q=cost)=−1/2k(x−1)^2+C_2$
è Q a spostarsi lungo x, mentre P è vincolato a muoversi sulla circonferenza.
Io direi che è corretto fare così: Se P è fermo e Q si muove sull'asse x, mantenendo valido il tuo ragionamento per cui $V_0 = 0$, allora
$V_(P=cost)(x,theta) = 1/2k[(x-cos(theta))^2 + sin^2(theta)]$ che oltretutto rispetta la condizione $V_(P=cost)(1,0) = V_0 = 0$
Ho semplicemente usato il teorema di Pitagora: $x-cos(theta)$ è il cateto orizzontale, $sin(theta)$ quello verticale e la molla l'ipotenusa.
Viceversa, se fisso Q e lascio muovere P sulla circonferenza, il potenziale sarà
$V_(Q=cost)(x,theta) = 1/2k[(x-cos(theta))^2 + sin^2(theta)] + mgsin(theta)$, ovvero lo stesso della molla + la parte dovuta alla forza peso.
Quindi in definitva $V(x,theta) = V_(P=cost)(x,theta) + V_(Q=cost)(x,theta) =k[(x-cos(theta))^2 + sin^2(theta)] + mgsin(theta)$
sei d'accordo? Se non lo fossi puoi spiegarmi dove vedi errori?
Si, ora ok, mi mancava il termine misto.
Ora, se derivi parzialmente trovi le espressioni che ho scritto.
In effetti era giusta anche la tua prima (quella che usava il teorema dei coseni). Se svolgi i calcoli, le 2 espressioni sono del tutto equivalenti (mi era saltato il quadrato di (x-1).
Ok cosi
Ora, se derivi parzialmente trovi le espressioni che ho scritto.
In effetti era giusta anche la tua prima (quella che usava il teorema dei coseni). Se svolgi i calcoli, le 2 espressioni sono del tutto equivalenti (mi era saltato il quadrato di (x-1).
Ok cosi
quindi questo che ho scritto ora e quello iniziale sono equivalenti? Scusami le domande stupide, sono un po' preso male...
no, ma che dici, mica siamo libri stampati!
Si, prova a svolgere i calcoli, ti viene esattamente la stessa cosa.
Ricordati pero in generale di scrivere il potenziale e attaccarci una costante. In questo caso andava bene perche C=0, ma a volte si puo' prendere una svista.
Si, prova a svolgere i calcoli, ti viene esattamente la stessa cosa.
Ricordati pero in generale di scrivere il potenziale e attaccarci una costante. In questo caso andava bene perche C=0, ma a volte si puo' prendere una svista.
ok, conti svolti e tesi confermata 
ti ringrazio per l'aiuto e la pazienza, forse domani avrò delle possibilità all'esame. Ti auguro buone cose 
ti ringrazio per l'aiuto e la pazienza, forse domani avrò delle possibilità all'esame. Ti auguro buone cose
In bocca al lupo
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