Fisica Matematica: metodo delle caratteristiche
Ciao a tutti!
Sto facendo degli esercizi trovati sulla pagina di un professore dell'università delle Hawaii (wow) visto che è impossibile trovarne di svolti in italiano sul web (a chi interessa, vi consiglio la pagina, c'è anche il textbook che è perfetto per svolgere gli esercizi, visto che sono spiegate molto bene le tecniche di calcolo, ma non vi aspettate grandi risultati teorici: http://www.math.hawaii.edu/~marvin/402/).
Mi ritrovo a fare il seguente esercizio (11.13), ma in realtà già in altri avevo lo stesso dubbio:
Trovare la soluzione generale di $u_{x}+yu_{y}=u$.
Allora io so che
$dx=(dy)/(y) = (du)/(u)$
Usando i primi due termini risulta
$x=ln(y)+C, C in \RR$
e usando i secondi due:
$y=Du, D in \RR$
Ne deduco che la soluzione è data da
$u=y g(x-ln(y))$
Lui invece usa il primo e il secondo termine e il primo e il terzo, ottenendo le relazioni:
$y=Ce^x$
$u=De^x$
da cui la soluzione
$u=e^x g(ye^{-x})$.
Il mio dubbio è: sono equivalenti le due soluzioni? Io immagino di sì però poi vedere i due esiti così diversi mi spaventa ^^. Grazie in anticipo!
Sto facendo degli esercizi trovati sulla pagina di un professore dell'università delle Hawaii (wow) visto che è impossibile trovarne di svolti in italiano sul web (a chi interessa, vi consiglio la pagina, c'è anche il textbook che è perfetto per svolgere gli esercizi, visto che sono spiegate molto bene le tecniche di calcolo, ma non vi aspettate grandi risultati teorici: http://www.math.hawaii.edu/~marvin/402/).
Mi ritrovo a fare il seguente esercizio (11.13), ma in realtà già in altri avevo lo stesso dubbio:
Trovare la soluzione generale di $u_{x}+yu_{y}=u$.
Allora io so che
$dx=(dy)/(y) = (du)/(u)$
Usando i primi due termini risulta
$x=ln(y)+C, C in \RR$
e usando i secondi due:
$y=Du, D in \RR$
Ne deduco che la soluzione è data da
$u=y g(x-ln(y))$
Lui invece usa il primo e il secondo termine e il primo e il terzo, ottenendo le relazioni:
$y=Ce^x$
$u=De^x$
da cui la soluzione
$u=e^x g(ye^{-x})$.
Il mio dubbio è: sono equivalenti le due soluzioni? Io immagino di sì però poi vedere i due esiti così diversi mi spaventa ^^. Grazie in anticipo!
Risposte
come per ogni equazione,una sua soluzione è giusta se la verifica
prendiamo la tua soluzione; si ha
$u_x=yg'(x-lny)$
$u_y=g(x-lny)+yg'(x-lny)(-1/y)=g(x-lny)-g'(x-lny)$
ed in effetti, $u_x+yu_y=u$
prendiamo la tua soluzione; si ha
$u_x=yg'(x-lny)$
$u_y=g(x-lny)+yg'(x-lny)(-1/y)=g(x-lny)-g'(x-lny)$
ed in effetti, $u_x+yu_y=u$
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