[fisica matematica-meccanica razionale] esercizio

[zannas]

Un'asta AB di massa m e lunghezza L è vincolata con gli estremi A e B scorrevoli sugli assi rispettivamente y e x del piano verticale 0xy.
Si indichi con $theta$ l'angolo variabile che l'asta forma con l'asse y; supposti i vincoli ideali, si chiede di:
1-scrivere l'equazione differenziale del moto
2-determinare la reazione vincolare in A e in B durante il moto che si suppone noto.
non mi viene proprio
(per $ddot theta$ intendo $d^2/dt^2 theta(t)$ cioè la dervata seconda rispetto al tempo)
1 - $m ddot theta = vec Phi_(Ax) + vec Phi_(By) + m vec g$ ma a quanto pare già quà è errato...
me lo spiegate bene?

Grazie 10^10

[Conte_De_Saint_venant]

Scusa stai moltiplicando una massa per una accelerazione angolare.......vorresti trovare un a forza? Questa è la prima cosa che ti dico, poi dovresti impostare meglio il problema perchè a secodno membro sommi quantità che non possono essere sommate semplicemente (quantita vettoriali)....Se ho tempo provo a mandarti tutta la soluzione, ma ti consiglio di studiare un po di più prima di fare l'esercizio.....

[Conte_De_Saint_venant]

Allora Chiamo ttutti i punti come da te indicati, in più G il baricentro. Scelgo $theta=ang(OAB)$ come parametro langrangiano.
Il sistema di forza agente sull'asta è:

$ASTA AB={(G,vec F_(grav));(A, vec Phi_A); (B,vec Phi_B)}$

Poichè l'asta ha 5 gradi di libertà di corpo libero le componenti dei vettori reazione vincolare devono essere:

$vec Phi_B=Phi_(B2) j + Phi_(B3) k e vec Phi_B=Phi_(A1) i + Phi_(A3) k$

La Forza di gravita è:
$vec F_(grav)=-mg j$

Ricavo accelerazione e momento della quantita di moto rispetto al polo O.

1.accelerazione
Le coordinate del baricentro sono:
$vec (OG)= L/2 (sin theta(t) i + cos theta(t) j$
derivo e ho la velocità:
$v_G=dot(OG)=L/2 dot theta [cos theta(t) i - sin theta(t) j]$
derivo ancora e ho l'accelerazione:
$a_G=ddot(OG)=L/2 ddot theta [cos theta(t) i - sin theta(t) j] + L/2 [-sin theta(t) i - cos theta(t) j]$

2.Momento della quantità di moto
Usando il teorema di Konig:

$Ko=OG x m v_g + I_(Gz) * dot theta$

essendo il moto relativo al baricentro rotatorio e z asse principale di inerzia per l'asta.
Svolgendo il calcolo sopra mi viene:
$Ko= m L^2/4 dot theta (-sin^2 theta - cos^2 theta +1/3) k = m L^2/4 (-1+1/3)=-m L^2/6 dot theta $


3.Applico le ECD per ottenere il sistema di equazioni differenziali risolventi il problema


1a ECD:

$m L/2 [(cos theta i - sin theta j ) ddot theta + (-sin theta i - cos theta j) dot theta^2]= - mg j +Phi_(B2) j + Phi_(B3) k +Phi_(A1) i + Phi_(A3) k$

Proietto sugli assi coordinati:

lungo x:
$m L/2 [cos theta ddot theta - sin theta dot theta^2]= Phi_(A1)i$
lungo y:
$m L/2 [-sin theta ddot theta - cos theta dot theta^2]= -mg + Phi_(B2)$
lungo z:
$0= Phi_(B3) k + Phi_(A3) k$

2a ECD

$dot Ko= sum (Mo) + sum (psi_o)$
$-m L^2/6 ddot theta k= L cos theta j x (Phi_(A1) i + Phi_(A3) k) + L sin theta j x (Phi_(B2) j + Phi_(B3) k) + L/2 (sin theta i + cos theta j ) x (-mg j)$

svolgendo i calcoli:
$-m L^2/6 ddot theta k = L (-cos theta Phi_(A1) k + cos theta Phi_(A3) i) + L sin theta (Phi_(B2) K - Phi_(B3) j - mgL/2 sin theta k$

poiettando sugli assi coordinati:
lungo i:
$0=L cos theta Phi_(A3)$

da cui Phi_(A3)=0

lungo j:
$ 0=L sin theta Phi_(B3) $
da cui da cui Phi_(B3)=0


questi risultati erano intuibili non essendoci forza fuori dal piano.

lungo K

$-m L^2/6 ddot theta =-L cos theta Phi_(A1) + L sin theta Phi_(B2) - mgL/2 sin theta $


da cui hai tutte le equazioni per studiare il moto. Ora troveremo la pura....

[Conte_De_Saint_venant]

Riepilogo le equazioni a disposizione:

1) $mL/2 [cos theta ddot theta - sin theta dot theta^2]=Phi_(A1)$
2) $mL/2 [-sin theta ddot theta - cos theta dot theta^2]=-mg + Phi_(B2)$
3)$-m L^2/6 ddot theta k=-L cos theta Phi_(A1) + L sin theta Phi_(B2) - mgL/2 sin theta$
4)$ Phi_(B3)=Phi_(A3)=0$

sostituisco la 1 e la 2 nella 3 e ho l'equazione differenziale pura:

$-m L^2/6 ddot theta = -L cos (theta)* mL/2 [cos theta ddot theta - sin theta dot theta^2] + L sin theta * {mL/2 [-sin theta ddot theta - cos theta dot theta^2]+mg}- mgL/2 sin theta$


$-m L^2/6 ddot theta=-mL^2/2 ddot theta + mgL/2 sin theta$
$-1/3 m L^2 ddot theta -mgL/2 sin theta=0$
$L/3 ddot theta + g/2 sin theta=0$


con le altre due equazioni ti studi le reazioni vincolari.

[Conte_De_Saint_venant]

Dato che il sistema è conservativo ti do un altro metodo per il calcolo della equaione pura del moto.

Determino la langrangiana del sistema:

Energia Cinetica:(3° Teorema di KONIG)
$ T=1/2 m (v_g)^2 + 1/2 I_(Gz) * dot theta^2$

sostituendo i valori prima trovati:

$ T=1/2 m L^2/4 dot theta^2 ( cos^2 theta + sin^2 theta) + 1/2 mL^2/12 * dot theta^2= (3/24+1/24)*mL^2 dot theta^2=1/6mL^2 dot theta^2$

L'energia potenziale è:
$U=-mg (L/2 cos theta)$


La langrangiana è=

$L=T+U=1/6mL^2 dot theta^2-mg (L/2 cos theta)$



L'equazione differenziale pura del moto è:

$d/dt (d/(d dot theta) L) -d/(dtheta)L=0$

$ 1/3 mL^2 ddot theta + mgL/2 sin theta=0$


semplificando sopra dovrebbe uscire lo stesso...

[Conte_De_Saint_venant]

Ancora per concludere potremmo anche ricavare un integrale primo dlla conservazine dell'energia meccanica:

$E(t)=T-U=T+V=1/6 mL^2 dot theta^2 + mg (L/2 cos theta))$

$ d/dt ( 1/6 mL^2 dot theta^2 + mg (L/2 cos theta))=0$

Se conosci le condizioni iniziali puoi ottenere l'equazione del moto in cui compare olo la derivata prima, questo comporta una maggiore stabilità dell'algoritmo risolutivo l'equazione differenziale.

Spero di esserti stato utile.
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Ciao