Fisica matematica...
fisica-matematica è na materia stupenda, ma io con le equazioni differenziali non vado proprio daccordo...
ho un peso p=200 grammi forza attaccato a una molla con origine in 0 che ha costante elstica pari a 20 grammi forza/centimetro
sapendo che sto peso al tempo = 0 è fermo nell'origine, calcolare y(t)
(la y è orientata verso il basso, praticamente come agisce la forza di gravità e ha origine in 0 come la molla)
devo risolvere questa eq diff?
$m*y''=p-h*y$ o è errata?
ho un peso p=200 grammi forza attaccato a una molla con origine in 0 che ha costante elstica pari a 20 grammi forza/centimetro
sapendo che sto peso al tempo = 0 è fermo nell'origine, calcolare y(t)
(la y è orientata verso il basso, praticamente come agisce la forza di gravità e ha origine in 0 come la molla)
devo risolvere questa eq diff?
$m*y''=p-h*y$ o è errata?
Risposte
Qui è solo questione di schematizzare correttamente le forze, le equazioni differenziali vengono dopo.
E' immediato convincersi che l'equazione che hai scritto è corretta. Infatti quando il corpo si trova al di sotto dell'origine (quindi $y>0$) sente una forza di richiamo verso l'alto, contraria alla forza peso, mentre quando si trova al di sopra (quindi $y<0$) la forza di richiamo è concorde con la forza peso.
E' immediato convincersi che l'equazione che hai scritto è corretta. Infatti quando il corpo si trova al di sotto dell'origine (quindi $y>0$) sente una forza di richiamo verso l'alto, contraria alla forza peso, mentre quando si trova al di sopra (quindi $y<0$) la forza di richiamo è concorde con la forza peso.
Grazie per la risposta volevo però chiedere se qualcuno conosce o sà dove posso trovare la dimostrazione di questo "teorema":
Se ho'eq differenziale di questo tipo: $a*x''(t)+v*x'(t)+k*x(t)=0$ e i coefficienti sono reali allora:
se $u(t)$ e $v(t)$ sono funzioni reali e $u(t)+i*v(t)$ è una soluzione dell'eq omogenea associata allora ciascuna delle funzioni $u(t)$ e $v(t)$ è soluzione reale dell'eq differenziale
Applicando sta cosa al problema sopra scritto con il metodo classico per la risoluzione di eq differenziali a coefficienti costanti:
$y(t) = c_1 e^(+i*sqrt(h/m)t) + c_2 e^(-i*sqrt(h/m)t)$
diventa invece:
$y(t) = c_1 cos(sqrt(h/m)t) + c_2 sin(sqrt(h/m)t)$
quando invece io avrei fatto:
dato che $r*e^(i phi) = r(cos(phi)+ i sin(phi))$
$y(t)=c_1(cos(sqrt(h/m)t)+ i sin(sqrt(h/m)t))+c_2(cos(sqrt(h/m)t)+ i sin(sqrt(h/m)t))$
$=> y(t)= (c_1+c_2)(cos(sqrt(h/m)t)+ i sin(sqrt(h/m)t))$ che ovviamente non è uguale...n'dò sta l'inghippo?
Se ho'eq differenziale di questo tipo: $a*x''(t)+v*x'(t)+k*x(t)=0$ e i coefficienti sono reali allora:
se $u(t)$ e $v(t)$ sono funzioni reali e $u(t)+i*v(t)$ è una soluzione dell'eq omogenea associata allora ciascuna delle funzioni $u(t)$ e $v(t)$ è soluzione reale dell'eq differenziale
Applicando sta cosa al problema sopra scritto con il metodo classico per la risoluzione di eq differenziali a coefficienti costanti:
$y(t) = c_1 e^(+i*sqrt(h/m)t) + c_2 e^(-i*sqrt(h/m)t)$
diventa invece:
$y(t) = c_1 cos(sqrt(h/m)t) + c_2 sin(sqrt(h/m)t)$
quando invece io avrei fatto:
dato che $r*e^(i phi) = r(cos(phi)+ i sin(phi))$
$y(t)=c_1(cos(sqrt(h/m)t)+ i sin(sqrt(h/m)t))+c_2(cos(sqrt(h/m)t)+ i sin(sqrt(h/m)t))$
$=> y(t)= (c_1+c_2)(cos(sqrt(h/m)t)+ i sin(sqrt(h/m)t))$ che ovviamente non è uguale...n'dò sta l'inghippo?
"zannas":
..n'dò sta l'inghippo?
ma, per esempio qui:
$y(t)=c_1(cos(sqrt(h/m)t)+ i sin(sqrt(h/m)t))+c_2(cos(sqrt(h/m)t)$ [size=200]$-$[/size] $i sin(sqrt(h/m)t))$
"mircoFN":
[quote="zannas"]..n'dò sta l'inghippo?
ma, per esempio qui:
$y(t)=c_1(cos(sqrt(h/m)t)+ i sin(sqrt(h/m)t))+c_2(cos(sqrt(h/m)t)$ [size=200]$-$[/size] $i sin(sqrt(h/m)t))$[/quote]e perchè?
Semplicemente perchè $e^{-i\theta} = \cos(-\theta) + i\sin(-\theta) = \cos(\theta) - i\sin(\theta)$.
Il fatto che dicevi prima discende semplicemente dalla linearità delle equazioni differenziali che consideri. Infatti definiamo $L$ l'operatore associato alla tua equazione differenziale. Se $x$ ed $y$ sono due soluzioni allora deve essere $L(x) = L(y) = 0$. Per la linearità di questo operatore hai anche che $L(c_1x+c_2y) = c_1L(x)+c_1L(y) = 0$, ovvero una qualsiasi combinazione lineare di queste soluzioni è ancora soluzione.
Quindi in particolare puoi costruirti una combinazione lineare di funzioni complesse che ti diano una funzione reale. Ad esempio se due soluzioni sono $x_1(t)=e^{iat}$ e $x_2(t)=e^{-iat}$ allora puoi considerare le combinazioni lineari $(x_1+x_2)/2 = \cos(at)$ e $(x_1-x_2)/(2i) = \sin(at)$.
Il fatto che dicevi prima discende semplicemente dalla linearità delle equazioni differenziali che consideri. Infatti definiamo $L$ l'operatore associato alla tua equazione differenziale. Se $x$ ed $y$ sono due soluzioni allora deve essere $L(x) = L(y) = 0$. Per la linearità di questo operatore hai anche che $L(c_1x+c_2y) = c_1L(x)+c_1L(y) = 0$, ovvero una qualsiasi combinazione lineare di queste soluzioni è ancora soluzione.
Quindi in particolare puoi costruirti una combinazione lineare di funzioni complesse che ti diano una funzione reale. Ad esempio se due soluzioni sono $x_1(t)=e^{iat}$ e $x_2(t)=e^{-iat}$ allora puoi considerare le combinazioni lineari $(x_1+x_2)/2 = \cos(at)$ e $(x_1-x_2)/(2i) = \sin(at)$.
Grazie....
cacchio eredir sei un genio! rispondi dappertutto (fisica, mate) e sempre eccellentemente! Grazie
cacchio eredir sei un genio! rispondi dappertutto (fisica, mate) e sempre eccellentemente! Grazie
Esagerato, per così poco! 
"Eredir":non è la prima volta che mi rispondi in modo eccellente..sei già laureato? o fai addirittura ricercatore?
Esagerato, per così poco!
"zannas":
non è la prima volta che mi rispondi in modo eccellente..sei già laureato? o fai addirittura ricercatore?
Sono al terzo anno di fisica, mi manca poco per prendere la laurea triennale.
Mi fa piacere che tu abbia questa buona opinione di me, però alla fine le questioni su cui ti ho risposto non sono così avanzate, molti utenti avrebbero potuto rispondere altrettanto bene (o meglio).
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