Fisica Matematica
Ciao a tutti, volevo rendervi partecipi di un problema che mi fa impazzire...!
Allora, stavamo studiando il moto parabolico, in particolare la traettoria. Abbiamo preso come sistema di riferimento un piano cartesiano Oxy dove l'asse delle ascisse rappresentava lo spostamento orizzontale, mentre quello delle ordinate lo spostamento verticale. Abbiamo posto x0=0 e y0=0 .
Consideravamo anche l'angolo di lancio iniziale, che chiamerò alfa (a). Riferendosi ad alfa come al parametro, ottenevamo un fascio di parabole.
Infatti mettendo a sistema le equazioni del moto ottengo:
x=t*v*cos(a)
y=t*v*sen(a) -(gt^2)/2
Ricavando t ottengo il fascio:
y= x*tan(a)- (1/2)*g*(x^2)/((v^2)*(cos(a))^2)
Ah, dimenticavo di dire che v è la velocità iniziale. Con v*cos(a) e v*sen(a) indico rispettivamente la componente orizzontale e verticale di v.
Il problema è il seguente: trovare la curva che contiene tutto il fascio. Allora, osservazione importante: il lancio di gittata massima è quello con a=pi/4 . Inoltre, lanci effettuati con angoli complementari disegnano parabole che hanno le medesime intersezioni con l'asse delle ascisse (esempio: se lancio con un angolo di 60° o di 30° la palla cadrà nello stesso punto, solo che nel primo caso arriverà più in alto).
Quindi, ho considerato il caso limite di a=pi/2 e ottengo il primo punto per cui dovrebbe passare la fatidica curva che "contiene" il fascio : (0, (v^2)/2g) . Inoltre con a=pi/4 ottengo che al massimo la palla arriverà nel punto ((v^2)/g , 0). Ho solo questi 2 punti appartenenti alla curva che cerco. Inoltre so che deve essere tangente a tutte le parabole del fascio con a appartenente all'intervallo [pi/4, pi/2].
La soluzione è la parabole di equazione y=(-g/2v^2)*(x^2) + (v^2)/2g .
Si può verificare. Ora, il mio problema è questo: io ho trovato che si trattava di una parabola perchè sapevo a priori che si trattava di una conica.. Il prof mi ha detto "Lo sapevi perchè te l'ho detto io; DIMOSTRALO!" .. Come devo fare? Contate che ho appena iniziato il I anno di Matematica, quindi citate metodi elementari (lo dico perchè mi sono stati citati problemi di Cauchy e via dicendo...)...
Grazie!!
Paola
Allora, stavamo studiando il moto parabolico, in particolare la traettoria. Abbiamo preso come sistema di riferimento un piano cartesiano Oxy dove l'asse delle ascisse rappresentava lo spostamento orizzontale, mentre quello delle ordinate lo spostamento verticale. Abbiamo posto x0=0 e y0=0 .
Consideravamo anche l'angolo di lancio iniziale, che chiamerò alfa (a). Riferendosi ad alfa come al parametro, ottenevamo un fascio di parabole.
Infatti mettendo a sistema le equazioni del moto ottengo:
x=t*v*cos(a)
y=t*v*sen(a) -(gt^2)/2
Ricavando t ottengo il fascio:
y= x*tan(a)- (1/2)*g*(x^2)/((v^2)*(cos(a))^2)
Ah, dimenticavo di dire che v è la velocità iniziale. Con v*cos(a) e v*sen(a) indico rispettivamente la componente orizzontale e verticale di v.
Il problema è il seguente: trovare la curva che contiene tutto il fascio. Allora, osservazione importante: il lancio di gittata massima è quello con a=pi/4 . Inoltre, lanci effettuati con angoli complementari disegnano parabole che hanno le medesime intersezioni con l'asse delle ascisse (esempio: se lancio con un angolo di 60° o di 30° la palla cadrà nello stesso punto, solo che nel primo caso arriverà più in alto).
Quindi, ho considerato il caso limite di a=pi/2 e ottengo il primo punto per cui dovrebbe passare la fatidica curva che "contiene" il fascio : (0, (v^2)/2g) . Inoltre con a=pi/4 ottengo che al massimo la palla arriverà nel punto ((v^2)/g , 0). Ho solo questi 2 punti appartenenti alla curva che cerco. Inoltre so che deve essere tangente a tutte le parabole del fascio con a appartenente all'intervallo [pi/4, pi/2].
La soluzione è la parabole di equazione y=(-g/2v^2)*(x^2) + (v^2)/2g .
Si può verificare. Ora, il mio problema è questo: io ho trovato che si trattava di una parabola perchè sapevo a priori che si trattava di una conica.. Il prof mi ha detto "Lo sapevi perchè te l'ho detto io; DIMOSTRALO!" .. Come devo fare? Contate che ho appena iniziato il I anno di Matematica, quindi citate metodi elementari (lo dico perchè mi sono stati citati problemi di Cauchy e via dicendo...)...
Grazie!!
Paola
Risposte
Il metodo che conosco non e' completamente elementare
ma ritengo che il procedimento da te indicato non
sia del tutto generale in quanto si affida a casi
particolari e questo non da' la certezza che esso sia valido sempre.
Il procedimento che invece ti allego e' quello adoperato
per cercare l'inviluppo (che' di questo si tratta) di una famiglia
di curve la cui equazione dipenda da un parametro variabile.
In sintesi si tratta di eliminare tale parametro tra l'equazione
della famiglia e la derivata di tale equazione (se cosi' si
puo' dire) rispetto al parametro.Nel nostro caso si ha:
Ciao.
ma ritengo che il procedimento da te indicato non
sia del tutto generale in quanto si affida a casi
particolari e questo non da' la certezza che esso sia valido sempre.
Il procedimento che invece ti allego e' quello adoperato
per cercare l'inviluppo (che' di questo si tratta) di una famiglia
di curve la cui equazione dipenda da un parametro variabile.
In sintesi si tratta di eliminare tale parametro tra l'equazione
della famiglia e la derivata di tale equazione (se cosi' si
puo' dire) rispetto al parametro.Nel nostro caso si ha:
Ciao.
Non si vede nulla .
Camillo
Camillo
Da me si vede!
Potrebbe essere un problema col tuo FireWall camillo...
Potrebbe essere un problema col tuo FireWall camillo...
Mi dispiace se non si vede l'immagine allegata:ho seguito
la solita procedura su ImageShack che tante altre volte
e' andata perfettamente.Comunque prova a fare la derivata
dell'equazione della parabola rispetto al parametro "a".
Dovresti avere che:
tan(a)=v0^2/(xg) e poi sostituire nell'equazione della
parabola medesima.
Ciao.
la solita procedura su ImageShack che tante altre volte
e' andata perfettamente.Comunque prova a fare la derivata
dell'equazione della parabola rispetto al parametro "a".
Dovresti avere che:
tan(a)=v0^2/(xg) e poi sostituire nell'equazione della
parabola medesima.
Ciao.
Adesso si vede bene.
Camillo
Camillo
Mi piace come metodo!! Grazie mille... Qualcuno ha altre idee? [:)] Giusto per sapere se esistono altre strade percorribili..!
Paola
Paola
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