[Fisica II]f.e.m. indotta su sbarretta da un filo percorso da corrente
Salve, riporto un esercizio di fisica 2 per me irrisolvibile per via delle mie lacune concettuali e del fatto che trovo il testo estremamente confusionario e per niente chiaro.
testo:
"Una sbarretta conduttrice di lunghezza b si muove con velocità v costante e ortogonale ad un filo rettilineo indefinito percorso dalla corrente i. Calcolare la tensione ai capi della sbarretta in funzione della distanza r dal filo. Ripetere il calcolo quando la sbarretta si muove con velocità costante e parallela al filo e l'estremo piuù vicino al filo dista da questo r."
Le soluzioni del libro sono:
a) nel primo caso, in cui è esplicitamente detto che la barretta è ortogonale al filo:
$\epsilon_{1} = \int _{0} ^{b} \vec v \times \vec B * \vec {ds} = {\mu_{0} i v b} / {2 \pi r}$
b) nel secondo caso, in cui la velocità della sbarretta adesso è parallela al filo:
$\epsilon_{2} = \int _{r} ^{r+b} \vec v \times \vec B * \vec {ds} = - {\mu_{0} i v} / {2 \pi} \int _{r} ^{r+b} {dr}/r = - {\mu_{0} i v} / {2 \pi} ln(1 + b/r) $
Ho due domande, una di tipo concettuale e un'altra che riguarda il testo dell'esercizio.
Il termine ds che compare nella formula $\epsilon_{1} = \oint \vec v \times \vec B * \vec {ds} $ che descrive la forza elettromotrice indotta dal campo magnetico prodotto da un conduttore, all'interno del quale circola una corrente i, su un altro che si muove di velocità v rispetto al primo, è riferito al percorso che quest'ultima fa all'interno del conduttore che genera il campo oppure al tratto ds infinitesimo di cui si sposta l'altro conduttore, sul quale agisce il campo magnetico generato dal primo?
in parole povere riferendoci a questo esercizio...
Nel primo caso a) il termine ds che compare nell'integrale "scorre" lungo il filo ($\vec {ds} = ds \hat u _{t}$) oppure lungo la sbarretta ($\vec {ds} = ds \hat u _{r}$) ? Suppongo che "scorra" lungo il filo (anche perché se fosse $\vec {ds} = ds \hat u _{r}$ significherebbe che il termine $v \times \vec B * \vec {ds}$ sarebbe nullo).
Nel secondo caso, prima di tutto, dal problema non si capisce se la sbarretta sia anch'essa parallela al filo oppure perpendicolare. In ogni caso questa volta ottengo che, essendo la velocità $\vec v = v \hat u_{t} $ diretta parallelamente al filo, dalla relazione vettoriale $ \vec v \times \vec B * \vec {ds} $ ottengo che se $\ vec {ds}$ deve essere anche questa volta diretto lungo il verso della corrente nel filo ($\vec {ds} = ds \hat u _{t}$), tale relazione deve esser uguale al vettore nullo... per cui se voglio ottenere un risultato diverso da 0 devo suppore che ds sia orientato lungo $\hat u _{r}$...
al di la dei miei dubbi concettuali, non si capisce se nel secondo caso la sbarretta sia ancora perpendicolare o parallela al filo (anche perché dati i miei dubbi non sono in grado di interpretare il risultato del libro, perché non ho capito come sono posizionate tra loro le grandezze in gioco).
Vi ringrazierei infinitamente se mi aiutaste a capire.
testo:
"Una sbarretta conduttrice di lunghezza b si muove con velocità v costante e ortogonale ad un filo rettilineo indefinito percorso dalla corrente i. Calcolare la tensione ai capi della sbarretta in funzione della distanza r dal filo. Ripetere il calcolo quando la sbarretta si muove con velocità costante e parallela al filo e l'estremo piuù vicino al filo dista da questo r."
Le soluzioni del libro sono:
a) nel primo caso, in cui è esplicitamente detto che la barretta è ortogonale al filo:
$\epsilon_{1} = \int _{0} ^{b} \vec v \times \vec B * \vec {ds} = {\mu_{0} i v b} / {2 \pi r}$
b) nel secondo caso, in cui la velocità della sbarretta adesso è parallela al filo:
$\epsilon_{2} = \int _{r} ^{r+b} \vec v \times \vec B * \vec {ds} = - {\mu_{0} i v} / {2 \pi} \int _{r} ^{r+b} {dr}/r = - {\mu_{0} i v} / {2 \pi} ln(1 + b/r) $
Ho due domande, una di tipo concettuale e un'altra che riguarda il testo dell'esercizio.
Il termine ds che compare nella formula $\epsilon_{1} = \oint \vec v \times \vec B * \vec {ds} $ che descrive la forza elettromotrice indotta dal campo magnetico prodotto da un conduttore, all'interno del quale circola una corrente i, su un altro che si muove di velocità v rispetto al primo, è riferito al percorso che quest'ultima fa all'interno del conduttore che genera il campo oppure al tratto ds infinitesimo di cui si sposta l'altro conduttore, sul quale agisce il campo magnetico generato dal primo?
in parole povere riferendoci a questo esercizio...
Nel primo caso a) il termine ds che compare nell'integrale "scorre" lungo il filo ($\vec {ds} = ds \hat u _{t}$) oppure lungo la sbarretta ($\vec {ds} = ds \hat u _{r}$) ? Suppongo che "scorra" lungo il filo (anche perché se fosse $\vec {ds} = ds \hat u _{r}$ significherebbe che il termine $v \times \vec B * \vec {ds}$ sarebbe nullo).
Nel secondo caso, prima di tutto, dal problema non si capisce se la sbarretta sia anch'essa parallela al filo oppure perpendicolare. In ogni caso questa volta ottengo che, essendo la velocità $\vec v = v \hat u_{t} $ diretta parallelamente al filo, dalla relazione vettoriale $ \vec v \times \vec B * \vec {ds} $ ottengo che se $\ vec {ds}$ deve essere anche questa volta diretto lungo il verso della corrente nel filo ($\vec {ds} = ds \hat u _{t}$), tale relazione deve esser uguale al vettore nullo... per cui se voglio ottenere un risultato diverso da 0 devo suppore che ds sia orientato lungo $\hat u _{r}$...
al di la dei miei dubbi concettuali, non si capisce se nel secondo caso la sbarretta sia ancora perpendicolare o parallela al filo (anche perché dati i miei dubbi non sono in grado di interpretare il risultato del libro, perché non ho capito come sono posizionate tra loro le grandezze in gioco).
Vi ringrazierei infinitamente se mi aiutaste a capire.
Risposte
Se il testo è letteralmente questo, è effettivamente poco chiaro.
Secondo me, se si assume che una tensione ci debba essere, dato che la f.e.m. indotta è perpendicolare alla velocità, occorre che, quando la velocità è ortogonale al filo (primo caso) la sbarretta sia parallela; nel secondo caso, velocità parallela al filo, sbarretta ortogonale al filo.
Secondo me, se si assume che una tensione ci debba essere, dato che la f.e.m. indotta è perpendicolare alla velocità, occorre che, quando la velocità è ortogonale al filo (primo caso) la sbarretta sia parallela; nel secondo caso, velocità parallela al filo, sbarretta ortogonale al filo.
Bene, quindi in generale ciò significa che riguardo la formula $\epsilon_{1} = \oint \vec v \times \vec B * \vec {ds} $ il termine $\vec ds$ è riferito al conduttore (sbarretta) soggetto al campo magnetico esercitato dall'altro conduttore (filo) in cui scorre una certa corrente i. Confermi o è concettualmente errato questo ragionamento?
Se voglio calcolare la f.e.m. in QUEL conduttore significa che ds è un tratto infinitesimo di quel conduttore (in questo caso, un tratto infinitesimo della sbarretta), è satto?
Se voglio calcolare la f.e.m. in QUEL conduttore significa che ds è un tratto infinitesimo di quel conduttore (in questo caso, un tratto infinitesimo della sbarretta), è satto?
Giusto 
Grandioso grazie mille!
ciao, volevo chiederti se potresti farmi vedere lo svolgimento del calcolo dei due integrali grazie
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