[Fisica II] Flusso del vettore di Poynting e variazione di energia in un condensatore piano

[astrolabio95]

Un condensatore a facce parallele è in carica. Il condensatore è costituito da una coppia di piaste circolari identiche di raggio b e separate dalla distanza d .
Trovare un'espressione del vettore di Poynting e dimostrare che il suo flusso nella regione tra le piastre è pari alla variazione dell'energia immagazzinata nel condensatore.

Allora per calcolare il vettore di Poynting ho bisogno di ricavare il campo elettrico e il campo magnetico nella regione tra le due piastre.

Campo elettrico

Il campo elettrico tra le due piastre ha espressione:

\(E_0=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}\)

dove in questo caso

\(\sigma=\frac{Q}{A}=\frac{Q}{\pi b^{2}}\)

Dunque il campo elettrico è:

\(E_0=\frac{Q}{\pi b^2\varepsilon_0}\)

Campo magnetico


Per trovare il campo magnetico utilizziamo la Legge di Ampere-Maxwell

\(\oint \overrightarrow{B_0}\cdot d\overrightarrow{l}=\mu_0(I_c+\varepsilon_0\frac{d\Phi(E_0)}{dt})\)

Ovviamente in questo caso non ci sono correnti concatenate e la legge di Ampere-Maxwell si riduce a:

\(\oint \overrightarrow{B_0}\cdot d\overrightarrow{l}=\mu_0\varepsilon_0\frac{d\Phi(E_0)}{dt}\)

Devo quindi calcolare la variazione del flusso del campo elettrico.

Calcoliamo il flusso che sarà:

\(\Phi(E_0)=\int_A \overrightarrow{E_0}\cdot d\overrightarrow{A}=\frac{Q}{\pi b^2\varepsilon_0}\int_A dA= \frac{Q}{\varepsilon_0}\)

Dunque la variazione di flusso sarà:

\(\frac{d\Phi(E_0)}{dt}=\frac{dQ}{\varepsilon_0dt}=\frac{I}{\varepsilon_0}\)

E quindi a secondo membro nell'equazione di Ampere-Maxwell avremo:

$\mu_0I $

Calcoliamo ora l'integrale curvilineo a primo membro.

Consideriamo una circonferenza di raggio b . Le linee di campo del campo magnetico saranno tangenti a tale circonferenza e pertanto:

\(\oint \overrightarrow{B_0}\cdot d\overrightarrow{l}= \oint B_0\hat{n}\cdot dl\hat{t}=B_0\oint dl=B_0 2 \pi b\)

Eguagliando i due membri e risolvendo a $B_0$ avremo dunque:

\(B_0=\frac{\mu_0 I}{2\pi b}\)

Il modulo vettore di Poynting sarà pertanto:

\(S= \frac{1}{2} \frac{E_0 B_0}{\mu_0}= \frac{QI}{4 \pi^2 b^3 \varepsilon_0}\)

Mentre per quanto riguarda il verso, se consideriamo una terna ortonormale levogira, con il campo magnetico nella direzione delle y positive, il campo elettrico delle x negative, allora per la regola della mano destra il vettore \(\overrightarrow{S}\) sarà orientato in direzione delle z negative:

\(\overrightarrow{S}=-\frac{QI}{4 \pi^2 b^3 \varepsilon_0}\hat{k}\)

Calcoliamo il flusso nella regione tra le due piastre, ovvero devo considerare il cilindro di volume $ V=\pib^2d $.

Calcolo la divergenza del vettore di Poynting:

\(\overrightarrow{\nabla}\cdot\overrightarrow{S}=-\frac{QI}{4 \pi^2 b^3 \varepsilon_0}\)

Pertanto il suo flusso sarà:

\(\int_V \overrightarrow{\nabla}\cdot\overrightarrow{S}dV=-\frac{QI}{4 \pi^2 b^3 \varepsilon_0}\int_VdV=-\frac{QId}{4 \pi b \varepsilon_0 }\)

Ora l'energia immagazzinata nel condensatore è:

\(U=\frac{1}{2}\varepsilon_0 E_{0}^{2}\)

Adesso ricordando che il campo elettrico è pari a :

\(E_0=\frac{Q}{\pi b^2\varepsilon_0}\)

Allora il suo quadrato sarà:

\(E_{0}^{2}= \frac{Q^2}{\pi^{2} b^4\varepsilon_{0}^{2}}\)

Facendone la derivata otteniamo:

\(\frac{dU}{dt}= \frac{1}{2} \frac{dQ^2}{\pi^2 b^4 \varepsilon_0dt}= \frac{I}{\pi^2 b^4 \varepsilon_0}\)

Che però non è uguale al flusso del vettore di Poynting

Qualcuno sa dirmi dove sbaglio?

Grazie

[RenzoDF]

Giusto un paio di considerazioni "al volo"; premesso che non vedo il motivo di scomodare la divergenza per il calcolo del flusso di S [nota]Visto che S è costante in modulo e normale alla superficie laterale del cilindro in ogni suo punto.[/nota], direi che il tuo errore consiste nell'averla considerata costante nel volume e nel non averla determinata via coordinate cilindriche una volta espresso S in funzione del generico raggio 0 Mi sembra poi che tu abbia dimenticato il volume nel calcolo dell'energia immagazzinata nel condensatore via energia specifica del campo elettrico e visto che non hai precisato ma probabilmente sottinteso un particolare, ti chiedo: perché non hai considerato anche l'energia associata al campo magnetico ma solo a quello elettrico?
BTW e anche quel 1/2.

[astrolabio95]

"RenzoDF":Giusto un paio di considerazioni "al volo"; premesso che non vedo il motivo di scomodare la divergenza per il calcolo del flusso di S [nota]Visto che S è costante in modulo e normale alla superficie laterale del cilindro in ogni suo punto.[/nota], direi che il tuo errore consiste nell'averla considerata costante nel volume e nel non averla determinata via coordinate cilindriche una volta espresso S in funzione del generico raggio 0 Mi sembra poi che tu abbia dimenticato il volume nel calcolo dell'energia immagazzinata nel condensatore via energia specifica del campo elettrico e visto che non hai precisato ma probabilmente sottinteso un particolare, ti chiedo: perché non hai considerato anche l'energia associata al campo magnetico ma solo a quello elettrico?
BTW e anche quel 1/2.

Ciao ti ringrazio molto per avermi risposto.
Il testo chiedeva esplicitamente l'energia elettrica accumulata dal condensatore e per questo ho utilizzato quella.
Per quanto riguarda l'1/2 ho considerato il valore massimo dei campi elettrico e magnetico.
Cito il Tipler che scrive

$|S|=1/2(E_0B_0)/(\mu_0)$

[RenzoDF]

L'energia accumulata in un condensatore non può essere "quella", suppongo concorderai che sarà funzione del volume del condensatore, no? ... quella indicata è l'energia specifica $w $ associata al campo elettrico in $J/m^3$ e per ricavare quella complessiva dovrai integrare $w dv$ su tutto il volume $V$.

Per quanto riguarda quel 1/2, non confonderti con il caso di un'onda elettromagnetica; nel nostro caso il campo elettrico non ha un massimo, in quanto cresce linearmente in funzione del tempo.

[astrolabio95]

"RenzoDF":L'energia accumulata in un condensatore non può essere "quella", suppongo concorderai che sarà funzione del volume del condensatore, no? ... quella indicata è l'energia specifica $w $ associata al campo elettrico in $J/m^3$ e per ricavare quella complessiva dovrai integrare $w dv$ su tutto il volume $V$.

Per quanto riguarda quel 1/2, non confonderti con il caso di un'onda elettromagnetica; nel nostro caso il campo elettrico non ha un massimo, in quanto cresce linearmente in funzione del tempo.

Ok ci ho riprovato però c'è ancora qualcosa che non va..

Avevo commesso due sbagli:

-non avevo moltiplicato la densità di energia elettrica per il volume del cilindro.
La variazione quindi diventa:

\(\frac{dU}{dt}=\frac{Id}{\pi b^2 \varepsilon_0}\)

-avevo considerato il flusso in maniera sbagliata e non attraverso la superficie laterale. Corretto diventa:

\(\Phi(S)=\frac{QId}{\pi b^2 \varepsilon_0}\)

Le due espressioni sono identiche al netto di quel Q

Non lo so, può considerarsi una sorta di fattore di proporzionalità?

[astrolabio95]

Forse ho commesso un altro errore grossolano.
Nel valutare la derivata dell'energia ho un termine

\( \frac{dQ^2}{dt}\)

posso scrivere così?:

\(\frac{dQ^2}{dt}=2Q\frac{dQ}{dt}=2QI\)

Con il 2 che si semplifica con l'1/2 che è presente nella formula dell'energia per unità di volume.

[RenzoDF]

Direi che se dai risposta alla domanda che ti ho rivolto nel mio primo intervento tutto si chiarirà.

[astrolabio95]

"RenzoDF":Direi che se dai risposta alla domanda che ti ho rivolto nel mio primo intervento tutto si chiarirà.

Penso di aver capito, non so se hai dato un'occhiata al mio ultimo intervento. Avevo commesso un errore di calcolo che credo di aver risolto.
Comunque il tuo intervento è stato prezioso, avevo tralasciato alcune cose fondamentali.

[RenzoDF]

"astrolabio95":... La variazione quindi diventa:

\(\frac{dU}{dt}=\frac{Id}{\pi b^2 \varepsilon_0}\)

Come potrebbe? Non è nemmeno dimensionalmente corretta.

"astrolabio95":... Corretto diventa:

\(\Phi(S)=\frac{QId}{\pi b^2 \varepsilon_0}\) ?

Su questa concordo.

[RenzoDF]

"astrolabio95":...
Comunque il tuo intervento è stato prezioso, avevo tralasciato alcune cose fondamentali.

Non vorrei sembrare ripetitivo, ma potresti dirmi cosa avevi implicitamente assunto nella tua soluzione ... a proposito della modalità di "carica" del condensatore?

Te lo chiedo perchè questo thread può servire ad altri non solo a te.

[astrolabio95]

"RenzoDF":Non vorrei sembrare ripetitivo, ma potresti dirmi cosa avevi implicitamente assunto nella tua soluzione ... a proposito della modalità di "carica" del condensatore?

Te lo chiedo perchè questo thread può servire ad altri non solo a te.

Allora scriverò tutti i passaggi:

Dunque ho considerato l'energia elettrica immagazzinata tra le piastre del condensatore. Questa ha espressione:

$U_e=1/2\varepsilon_0E^2Ad$

Dove Ad è il volume della regione tra le due piastre.

Il campo elettrico ha espressione:

$E=(Q)/(\pib^2\varepsilon_0)$

che elevato al quadrato diventa:

$E^2=(Q^2)/(\pi^2b^4\varepsilon_(0)^(2))$

Quindi l'energia diventa:

$U_e=(Q^2d)/(2\pib^2\varepsilon_0)$

La sua derivata sarà dunque:

$(dU_e)/(dt)=(dQ^2)/(dt)(d)/(2\pib^2epsilon_0)=(QId)/(pib^2epsilon_0)$

[RenzoDF]

Scusa ma non vedo risposta alla mia domanda, intendevo riferirmi alla corrente di carica del condensatore e al perché non consideri nel tuo calcolo anche l'energia immagazzinata nel campo magnetico.

[astrolabio95]

"RenzoDF":Scusa ma non vedo risposta alla mia domanda, intendevo riferirmi alla corrente di carica del condensatore e al perché non consideri nel tuo calcolo anche l'energia immagazzinata nel campo magnetico.

Perché dovrei? Non sono uguali?
$ U_e=1/2\varepsilon_0E_0^2=1/2\varepsilon_0c^2B_0^2=1/2\varepsilon_0 1/(\varepsilon_0\mu_0)B_0^2=1/2 B_0^2/\mu_0=U_m $

[RenzoDF]

Direi che continui a confonderti con la densità di energia dell'onda elettromagnetica.