Fisica II: elettrostatica ESERCIZIO
L' esercizio è il 3.19 del Mazzoldi.
" Tra due superfici concentriche cilindriche indefinite coassiali, di raggi R1 e R2, è distribuita una carica con densità costante (volumetrica) \( \rho \) .
Determinare l' espressione del campo E(r) in funzione della distanza r dall' asse del sistema. "
Ora, io ho provato a svolgerlo ma che dire... credo di non aver capito come si calcola la carica qr all' interno della superficie scelta quando applico Gauss..
Dobbiamo distinguere tre casi: r < R1; r > R2 e R1 < r < R2
Intanto come superficie chiusa scelgo una superficie cilindrica di raggio r da O, centro del sistema che si trova sull' asse dello stesso...
Prendendo uno dei tre casi precedenti, ad esempio R1 < r < R2 , applicando il teorema di Gauss mi viene fuori che il flusso del campo attraverso la superficie chiusa scelta è pari qr / ε0
E qui mi blocco.. nel senso che i miei calcoli non corrispondono a quelli del libro e in particolare a tutti quelli che h trovato in rete.. Dove sbaglio ?
Per calcolare la carica qr interna al cilindro considerato ho pensato che devo considerare la carica distribuita con densità costante \( \rho \) contenuta in un cilindro di raggio pari a ( r - R1 ) .. quindi il volume di un cilindro con raggio pari a questo è \( \pi \) h (r-R1)^2, con h altezza del cilindro considerato... Moltiplicando per \( \rho \) dovrei trovare la carica contenuta...
E invece, no! Non è così.. Sembra che la carica corretta contenuta sia data qr=\( \rho \) \( \pi \) h (r^2 - R1^2) cioè come se considerasse due cilindri: uno di raggio r (più grande) e uno di raggio R1 (più piccolo) e calcolasse la differenza di questi volumi... Ma non mi torna troppo bene...
Mi spiegate dove sbaglio nel ragionamento ?
Grazie a tutti
" Tra due superfici concentriche cilindriche indefinite coassiali, di raggi R1 e R2, è distribuita una carica con densità costante (volumetrica) \( \rho \) .
Determinare l' espressione del campo E(r) in funzione della distanza r dall' asse del sistema. "
Ora, io ho provato a svolgerlo ma che dire... credo di non aver capito come si calcola la carica qr all' interno della superficie scelta quando applico Gauss..
Dobbiamo distinguere tre casi: r < R1; r > R2 e R1 < r < R2
Intanto come superficie chiusa scelgo una superficie cilindrica di raggio r da O, centro del sistema che si trova sull' asse dello stesso...
Prendendo uno dei tre casi precedenti, ad esempio R1 < r < R2 , applicando il teorema di Gauss mi viene fuori che il flusso del campo attraverso la superficie chiusa scelta è pari qr / ε0
E qui mi blocco.. nel senso che i miei calcoli non corrispondono a quelli del libro e in particolare a tutti quelli che h trovato in rete.. Dove sbaglio ?
Per calcolare la carica qr interna al cilindro considerato ho pensato che devo considerare la carica distribuita con densità costante \( \rho \) contenuta in un cilindro di raggio pari a ( r - R1 ) .. quindi il volume di un cilindro con raggio pari a questo è \( \pi \) h (r-R1)^2, con h altezza del cilindro considerato... Moltiplicando per \( \rho \) dovrei trovare la carica contenuta...
E invece, no! Non è così.. Sembra che la carica corretta contenuta sia data qr=\( \rho \) \( \pi \) h (r^2 - R1^2) cioè come se considerasse due cilindri: uno di raggio r (più grande) e uno di raggio R1 (più piccolo) e calcolasse la differenza di questi volumi... Ma non mi torna troppo bene...
Mi spiegate dove sbaglio nel ragionamento ?
Grazie a tutti
Risposte
"Desirio":
Per calcolare la carica qr interna al cilindro considerato ho pensato che devo considerare la carica distribuita con densità costante \( \rho \) contenuta in un cilindro di raggio pari a ( r - R1 )
No, il volume da considerare non è un cilindro pieno, ma ha una cavità centrale, per cui la base non è un cerchio, ma una corona circolare, e la sua area non è $pi(r-R_!)^2$ ma $pi(r^2 - R_1^2)$
Hai ragione, ci stavo ripensando ora... E mi sono accorta che non avevo capito proprio la traccia del problema.. Perchè sul libro c'è una figura relativa al problema un pò fuorviante... Mi sono immaginata tutta un' altra cosa... !!! Adesso ho capito, che ho due gusci cilindrici con lo stesso asse uno di raggio R1 e uno di raggio R2... Nel cilindro piccolo non c'è carica, mentre fra le superfici abbiamo la carica con la densità indicata... Quindi torna tutto! Grazie
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