[Fisica II] Corrente di spostamento
Sto affrontando lo studio della corrente di spostamento e mi piacerebbe verificare se ho afferrato il concetto.
Allora consideriamo un circuito RC in fase di carica. Esso sarà attraversato da una corrente $I(t)$ variabile nel tempo.
FIG.1
Vogliamo adesso calcolare la circuitazione del campo magnetico \(\overrightarrow{B}\) e per farlo considero la curva chiusa $\gamma$ come in figura 1. Dal Teorema di Ampére sappiamo che
$\oint_\gamma$\(\overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{s}=\mu_oI\)
che nel caso considerato in figura 1 sarà diverso da zero in quanto la superficie intercetta la corrente ad essa concatenata $I(t)$ .
Ovviamente questo calcolo deve essere indipendente dalla superficie che scegliamo che abbia come contorno $\gamma$.
Scegliamo quindi adesso una superficie come in figura 2 e calcoliamone la circuitazione:
FIG.2
$\oint_\gamma$\(\overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{s}= 0\)
In quanto questa nuova superficie NON intercetta alcuna corrente.
E' evidente dunque il paradosso che Maxwell risolse inserendo il contributo del campo elettrico \(\overrightarrow{E(t)}\) tra le armature del condensatore.
Infatti, man mano che la corrente $I(t)$ circola nel circuito, questa depositerà una carica $+Q(t)$ sull'armatura di sinistra e quindi (per induzione) una carica $-Q(t)$ su quella di destra. Ciò dunque genererà un campo elettrico \(\overrightarrow{E(t)}\) il cui flusso attraverso la superficie di figura 2 è:
\(\phi(\overrightarrow{E(t)})=\)$\int_(S2)$\(\overrightarrow{E(t)}\cdot d\overrightarrow{S_2}\)$=\int_(S2)$\( \frac{\sigma(t)}{\epsilon_o}\hat{n}\cdot d\overrightarrow{S_2}=\frac{Q(t)}{\epsilon_o} \)
Derivando quest'ultima espressione rispetto al tempo ottengo:
\(I_s=\frac{dQ(t)}{dt}= \varepsilon _0\frac{d\phi(\overrightarrow{E})}{dt}\).
Che Maxwell chiamò corrente di spostamento.
Arriviamo quindi alla Legge di Ampere-Maxwell:
$\oint_\gamma$ \(\overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{s}\)=$\mu_0(I_(ch)+$\(\varepsilon _0\frac{d\phi(\overrightarrow{E})}{dt})\).
e ne deduciamo che, così come un campo magnetico variabile genera un campo elettrico, così un campo elettrico variabile ne genera uno magnetico.
E' giusta la mia interpretazione?
Grazie a chiunque mi risponderà.
Allora consideriamo un circuito RC in fase di carica. Esso sarà attraversato da una corrente $I(t)$ variabile nel tempo.
FIG.1
Vogliamo adesso calcolare la circuitazione del campo magnetico \(\overrightarrow{B}\) e per farlo considero la curva chiusa $\gamma$ come in figura 1. Dal Teorema di Ampére sappiamo che
$\oint_\gamma$\(\overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{s}=\mu_oI\)
che nel caso considerato in figura 1 sarà diverso da zero in quanto la superficie intercetta la corrente ad essa concatenata $I(t)$ .
Ovviamente questo calcolo deve essere indipendente dalla superficie che scegliamo che abbia come contorno $\gamma$.
Scegliamo quindi adesso una superficie come in figura 2 e calcoliamone la circuitazione:
FIG.2
$\oint_\gamma$\(\overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{s}= 0\)
In quanto questa nuova superficie NON intercetta alcuna corrente.
E' evidente dunque il paradosso che Maxwell risolse inserendo il contributo del campo elettrico \(\overrightarrow{E(t)}\) tra le armature del condensatore.
Infatti, man mano che la corrente $I(t)$ circola nel circuito, questa depositerà una carica $+Q(t)$ sull'armatura di sinistra e quindi (per induzione) una carica $-Q(t)$ su quella di destra. Ciò dunque genererà un campo elettrico \(\overrightarrow{E(t)}\) il cui flusso attraverso la superficie di figura 2 è:
\(\phi(\overrightarrow{E(t)})=\)$\int_(S2)$\(\overrightarrow{E(t)}\cdot d\overrightarrow{S_2}\)$=\int_(S2)$\( \frac{\sigma(t)}{\epsilon_o}\hat{n}\cdot d\overrightarrow{S_2}=\frac{Q(t)}{\epsilon_o} \)
Derivando quest'ultima espressione rispetto al tempo ottengo:
\(I_s=\frac{dQ(t)}{dt}= \varepsilon _0\frac{d\phi(\overrightarrow{E})}{dt}\).
Che Maxwell chiamò corrente di spostamento.
Arriviamo quindi alla Legge di Ampere-Maxwell:
$\oint_\gamma$ \(\overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{s}\)=$\mu_0(I_(ch)+$\(\varepsilon _0\frac{d\phi(\overrightarrow{E})}{dt})\).
e ne deduciamo che, così come un campo magnetico variabile genera un campo elettrico, così un campo elettrico variabile ne genera uno magnetico.
E' giusta la mia interpretazione?
Grazie a chiunque mi risponderà.
Risposte
Si, mi pare giusto
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