Fisica II: Carica nello spazio
Ciao a tutti, vi posto un nuovo problema di fisica II.
Una carica globalmente neutra e` distribuita nello spazio in modo che la carica positiva abbia
densità (spaziale) \(\displaystyle ρ(x) = ρ0 e^(−x/λ) \) per x > 0 e la carica negativa sia sulla superficie x = 0 con densità uniforme −σ.
(scusate ma ho avuto problemi nel mettere l'esponente di e^..)
ρ0,σ date.
Quanto vale la d.d.p. tra i punti x1 = λ e x2 = −λ ?
Una carica globalmente neutra e` distribuita nello spazio in modo che la carica positiva abbia
densità (spaziale) \(\displaystyle ρ(x) = ρ0 e^(−x/λ) \) per x > 0 e la carica negativa sia sulla superficie x = 0 con densità uniforme −σ.
(scusate ma ho avuto problemi nel mettere l'esponente di e^..)
ρ0,σ date.
Quanto vale la d.d.p. tra i punti x1 = λ e x2 = −λ ?
Risposte
Esercizio non banale... butta giù almeno qualche idea, così che ti si possa dare una mano...
Allora, ragionando con gli assi cartesiani, dovrebbe essere così: tutta la parte di carica positiva sta per \(\displaystyle x>0 \), e tutta la carica negativa sta per \(\displaystyle x=0 \). Questo dà carica neutra, e quindi a sinistra, ovvero per \(\displaystyle x<0 \), dovrei avere campo elettrico assente. Avevo pensato di considerare una nuova \(\displaystyle σ \), data da \(\displaystyle ρ dx \), integrandola sulla parte destra del piano, ovvero da 0 fino a λ. Trovavo così il campo elettrico. Sulla parte sinistra del piano, ovvero per \(\displaystyle x=-λ \)avevo pensato ad un potenziale nullo, in quanto tutta la carica che sta a destra è globalmente neutra. \(\displaystyle λ \) inoltre è facile da trovare: basta fare il rapporto tra \(\displaystyle σ/ρ \), trovando così la larghezza caratteristica.
Help
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Non sono d'accordo che a sinistra il campo sia nullo. Una distribuzione di cariche a somma zero non implica che il campo sia nullo...
E quindi, come potrei calcolarlo il potenziale per x<0, precisamente nel punto x=-λ ?
Io porrei la condizione $\phi(0)=0$. Poi applicherei Poisson per trovare la forma matematica del potenziale a sinistra e a destra dello zero. Poi troverei il campo a sinistra e a destra. Poi applicherei Gauss per legare un po' di costanti di integrazione che sono venute fuori nel contempo. Poi troverei $\sigma$. Infine troverei la ddp. Beh, un lavorone... 
Il campo è nullo a sinistra. Non è banale, ma si può vedere (legge di Gauss).
Comunque vale $\nabla^2 \phi =- \rho/ \epsilon$ che per $x>0$ dà:
$\phi''(x) = - \rho_0 e^{-x/\lambda}$
che fornisce
$\phi(x) = - \lambda^2 \rho_0 e^{-x/\lambda} + A x + B$
$B$ si elimina subito perché è non fisica. Per $x\rightarrow \infty$ si deve avere che $\phi$ è una costante, dunque $A=0$. A sinistra di $x=0$, $\phi$ è una costante (perché il campo è nullo).
Quindi la d.d.p. fra $X=0$ e $x_2$ è semplicemente $ - \lambda^2 \rho_0 (1-\frac{1}{e})$ (se non ho sbagliato i calcoli, ricontrollali), che è ovviamente la stessa che fra $x_1$ e $x_2$.
Comunque vale $\nabla^2 \phi =- \rho/ \epsilon$ che per $x>0$ dà:
$\phi''(x) = - \rho_0 e^{-x/\lambda}$
che fornisce
$\phi(x) = - \lambda^2 \rho_0 e^{-x/\lambda} + A x + B$
$B$ si elimina subito perché è non fisica. Per $x\rightarrow \infty$ si deve avere che $\phi$ è una costante, dunque $A=0$. A sinistra di $x=0$, $\phi$ è una costante (perché il campo è nullo).
Quindi la d.d.p. fra $X=0$ e $x_2$ è semplicemente $ - \lambda^2 \rho_0 (1-\frac{1}{e})$ (se non ho sbagliato i calcoli, ricontrollali), che è ovviamente la stessa che fra $x_1$ e $x_2$.
Grazie, grazie, grazie!!!!
Non mi ero accorto di una cosa: ma la costante \(\displaystyle ε \) se ne va?
No, non è che se ne va, è che me la sono persa. Rimettila pure
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