Fisica I [Conservazione Energia Mecc e Newton]

[manfryx]

Ciao a tutti !!!
Una pallina, attaccata ad un filo il cui estremo è fissato ad un perno, percorre una circonferenza verticale centrata sul perno. Facendo l'ipotesi che l'energia totale del sistema pallina-Terra rimanga costante, si mostri che la tensione del filo nella posizione più bassa è maggiore della tensione del filo nella posizione più alta di sei volte il peso della pallina...

Io ho inizialmente applicato la seconda legge di Newton alla pallina nelle due posizioni:

Posizione Alta: \(\displaystyle Ta+mg=m(Va^2/R) \)
Posizione Bassa: \(\displaystyle Tb-mg=m(Vb^2/R) \)

Ora però non capisco come impostare l'equazione di conservazione dell'energia meccanica...
Qualcuno può aiutarmi?

Grazie

[MiceneSagitter]

Ciao, questa è la mia prima risposta, quindi spero di essere chiaro:

Per la conservazione dell'energia, abbiamo che la somma di En. Cinetica ed En. Potenziale rimane costante, quindi calcoliamole...

$E_B=mgh_B$
$E_A=mgh_A$

Se fai un disegno noti subito che

$h_A=2R+h_B$

Quindi

$E_A=E_B+2mgR$


Per l'energia cinetica invece abbiamo:

$\tau_B=\frac{1}{2}mV_B^2$
$\tau_A=\frac{1}{2}mV_A^2$

E per la conservazione dell'energia abbiamo:

$E_A+\tau_A = E_B+\tau_B \Rightarrow E_B+2mgR+\tau_A = E_B+\tau_B \Rightarrow \tau_B=\tau_a+2mgR$

A questo punto se sostituiamo le velocità quadre abbiamo

$\frac{1}{2}mV_B^2=\frac{1}{2}mV_A^2+2mgR$

Ora calcoliamo le tensioni. Ovviamente la tensione del filo è sempre diretta dalla pallina verso il centro della circonferenza, ed è quella che tiene appunto la pallina lungo la circonferenza e "non la fa scappare via". Se fai un disegno noti che la tensione del filo nel punto A(quello in alto), è concorde con la forza peso della pallina. Entrambe si oppongono alla forza centrifuga della pallina stessa.
Viceversa nel punto B, la tensione del filo deve opporsi e contrastare sia la forza centrifuga che la forza peso della pallina.

Ricordando che possiamo calcolare la forza centrifuga come:

$F_c = m\omega^2R \Rightarrow F_c = m\frac{V^2}{R}$

essendo

$V=\omega R$

Allora possiamo definire le tensioni nei fili come

$T_A = m\frac{V_A^2}{R}-mg$
$T_B = m\frac{V_B^2}{R}+mg$

da queste ultime ricaviamo le velocità quadre

$V_A^2 = (T_A+mg)\frac{R}{m}$
$V_B^2 = (T_B-mg)\frac{R}{m}$

E sostituendole nell'equazione della conservazione dell'energia che avevamo lasciato in sospeso otteniamo:

$\frac{1}{2}m(T_B-mg)\frac{R}{m} = \frac{1}{2}m(T_A+mg)\frac{R}{m} + 2mgR$

e semplificando tutto abbiamo

$T_B = T_A+6mg$

[Sk_Anonymous]

[xdom="speculor"]Sposto in Fisica.[/xdom]