[Fisica generale II] Chiarimento geometrico
Ciao a tutti,
sto avendo a che fare con i primi problemi sulla forza elettrostatica e quando si tratta di utilizzare la formula
$F= (1/(4*pi*epsilon_0))((q_1*q_2)/r^2)$ per cariche poste "diagonalmente".
Cito il problema n° 1.3 del libro "Elementi di Fisica - Elettromagnetismo", Seconda edizione (Mazzoldi, Nigro, Voci):
Due cariche uguali $q= 2*10^-8 C$ sono poste a distanza $2a= 5 cm$. ... b) (calcolare) la forza $F_y$ sulla stessa carica $q_0= 10^-10 C$ posta a distanza $y= 1 cm$ dal centro lungo l'asse delle due cariche.
NB.: nel riportare il mio svolgimento ho omesso volontariamente le unità di misura per agevolarmi lo scrivere
Inizialmente ho pensato di trovare $L= sqrt(a^2 + y^2)= sqrt(2,5^2 + 1^2)= sqrt(7,25)$ avevo scritto la formula poi la formula per la componente proveniente da una delle due cariche come
$F_y= (1/(4*pi*epsilon_0))((q*q_0)/L^2)= 9*10^9*(4*10^-14*10^-2)/(sqrt(7,25))^2$
Ma il libro mi dà una soluzione diversa di cui non ho proprio capito tutti i fattori che la compongono
$F_y= ((2q*q_0)/(4*pi*epsilon_0))(y/(a^2 + y^2)^(3/2))$
Il 2 accanto alle cariche $q*q_0$ l'ho attribuito al fatto che tale formula va considerata per entrambe le cariche sull'asse $x$; quello che ho difficoltà a capire è la $y$ al numeratore di $y/(a^2 + y^2)^(3/2)$ e perché il denominatore è elevato a $3/2$, non dovrebbe essere elevato a $2/2 =1$?
Qual è l'errore dell'algebra/geometria in cui sono incappato?
Thank you in advance.
sto avendo a che fare con i primi problemi sulla forza elettrostatica e quando si tratta di utilizzare la formula
$F= (1/(4*pi*epsilon_0))((q_1*q_2)/r^2)$ per cariche poste "diagonalmente".
Cito il problema n° 1.3 del libro "Elementi di Fisica - Elettromagnetismo", Seconda edizione (Mazzoldi, Nigro, Voci):
Due cariche uguali $q= 2*10^-8 C$ sono poste a distanza $2a= 5 cm$. ... b) (calcolare) la forza $F_y$ sulla stessa carica $q_0= 10^-10 C$ posta a distanza $y= 1 cm$ dal centro lungo l'asse delle due cariche.
NB.: nel riportare il mio svolgimento ho omesso volontariamente le unità di misura per agevolarmi lo scrivere
Inizialmente ho pensato di trovare $L= sqrt(a^2 + y^2)= sqrt(2,5^2 + 1^2)= sqrt(7,25)$ avevo scritto la formula poi la formula per la componente proveniente da una delle due cariche come
$F_y= (1/(4*pi*epsilon_0))((q*q_0)/L^2)= 9*10^9*(4*10^-14*10^-2)/(sqrt(7,25))^2$
Ma il libro mi dà una soluzione diversa di cui non ho proprio capito tutti i fattori che la compongono
$F_y= ((2q*q_0)/(4*pi*epsilon_0))(y/(a^2 + y^2)^(3/2))$
Il 2 accanto alle cariche $q*q_0$ l'ho attribuito al fatto che tale formula va considerata per entrambe le cariche sull'asse $x$; quello che ho difficoltà a capire è la $y$ al numeratore di $y/(a^2 + y^2)^(3/2)$ e perché il denominatore è elevato a $3/2$, non dovrebbe essere elevato a $2/2 =1$?
Qual è l'errore dell'algebra/geometria in cui sono incappato?
Thank you in advance.
Risposte
Il discorso è che va fatta una somma vettoriale delle forze.
Si vede intuitivamente che le componenti delle due forze che sono orientate secondo l'asse x si cancellano tra di loro e rimane solo la componente orientata secondo x.
Ora questa componente è proprio $y/(\sqrt(a^2+y^2))$ ciò il fattore estraneo che trovi nella soluzione.
cioè questo fattore è la sola componente secondo l'asse y diviso per l'intensità di tutto il vettore.
Si vede intuitivamente che le componenti delle due forze che sono orientate secondo l'asse x si cancellano tra di loro e rimane solo la componente orientata secondo x.
Ora questa componente è proprio $y/(\sqrt(a^2+y^2))$ ciò il fattore estraneo che trovi nella soluzione.
cioè questo fattore è la sola componente secondo l'asse y diviso per l'intensità di tutto il vettore.
Quinzio, mi è chiaro che i contributi di $x$ non vadano calcolati, pertanto ne ho omesso qualsiasi ragionamento a riguardo.
Tornando al fattore "estraneo", avevo capito il fatto che fosse coinvolto nell'intensità del vettore, tuttavia vorrei sapere perché c'è la $y$ al numeratore e perché il denominatore è elevato alla $3/2$.
Quando ho provato a risolvere il problema ho pensato bastasse unicamente il teorema di Pitagora per sapere la lunghezza di $L$ e mettere quest'ultimo come distanza al denominatore, nella formula della forza elettrostatica
Inserendo $L$ nella formula della forza elettrostatica la radice quadrata si semplificherebbe con l'elevazione al quadrato della distanza imposta proprio dalla formula, ma evidentemente qualcosa è errato in questo ragionamento dato che non mi trovo con la soluzione proposta dal libro.
A qualcuno è chiaro il punto della questione?
Tornando al fattore "estraneo", avevo capito il fatto che fosse coinvolto nell'intensità del vettore, tuttavia vorrei sapere perché c'è la $y$ al numeratore e perché il denominatore è elevato alla $3/2$.
Quando ho provato a risolvere il problema ho pensato bastasse unicamente il teorema di Pitagora per sapere la lunghezza di $L$ e mettere quest'ultimo come distanza al denominatore, nella formula della forza elettrostatica
"Slidybb":
$ L= sqrt(a^2 + y^2)= sqrt(2,5^2 + 1^2)= sqrt(7,25) $
Inserendo $L$ nella formula della forza elettrostatica la radice quadrata si semplificherebbe con l'elevazione al quadrato della distanza imposta proprio dalla formula, ma evidentemente qualcosa è errato in questo ragionamento dato che non mi trovo con la soluzione proposta dal libro.
A qualcuno è chiaro il punto della questione?
Ciao slidy,
provo a rispondere da una angolazione più "geometrica"
Entrambe le cariche $q$ esercitano sulla carica $q_0$ una certa forza $F_1$ e $F_2$ che hanno lo stesso modulo e si trovano lungo la direzione che congiunge ciascuna carica $q$ con il punto in cui si trova $q_0$. Facendo il disegno dovresti trovarti. Ecco volendo sommare queste due forze possiamo applicare la regola del parallelogramma che si insegna alle scuole medie. Sei d'accordo che il nostro parallelogramma è un rombo e noi vogliamo trovare la sua diagonale minore? Sei d'accordo che possiamo riconoscere nel rombo un triangolo simile al triangolo $q-q_0-0$ che ha per ipotenusa il vettore F generato da una singola carica $q$ e per cateto minore metà della diagonale ($F_y$) del rombo che stiamo cercando? Sei d'accordo che $F:F_y=L:y$? Qundi risolvendo la proporzione: $F_y=(F*y)/L$?Sei d'accordo che il modulo del vettore che stiamo cercando vale $2F_y$? Che $L=sqrt(a^2+y^2)$ cioè $r$ nella legge di Coulomb? Ora proviamo a mettere insieme tutto:
$F=2F_y=2(F*y)/L=2*1/(4piepsilon_0)*(q*q_0*y)/(L^2*L)=2*1/(4piepsilon_0)*(q*q_0*y)/((a^2+y^2)(sqrt(a^2+y^2)))=2*1/(4piepsilon_0)*(q*q_0*y)/((a^2+y^2)^(3/2))$
provo a rispondere da una angolazione più "geometrica"
Entrambe le cariche $q$ esercitano sulla carica $q_0$ una certa forza $F_1$ e $F_2$ che hanno lo stesso modulo e si trovano lungo la direzione che congiunge ciascuna carica $q$ con il punto in cui si trova $q_0$. Facendo il disegno dovresti trovarti. Ecco volendo sommare queste due forze possiamo applicare la regola del parallelogramma che si insegna alle scuole medie. Sei d'accordo che il nostro parallelogramma è un rombo e noi vogliamo trovare la sua diagonale minore? Sei d'accordo che possiamo riconoscere nel rombo un triangolo simile al triangolo $q-q_0-0$ che ha per ipotenusa il vettore F generato da una singola carica $q$ e per cateto minore metà della diagonale ($F_y$) del rombo che stiamo cercando? Sei d'accordo che $F:F_y=L:y$? Qundi risolvendo la proporzione: $F_y=(F*y)/L$?Sei d'accordo che il modulo del vettore che stiamo cercando vale $2F_y$? Che $L=sqrt(a^2+y^2)$ cioè $r$ nella legge di Coulomb? Ora proviamo a mettere insieme tutto:
$F=2F_y=2(F*y)/L=2*1/(4piepsilon_0)*(q*q_0*y)/(L^2*L)=2*1/(4piepsilon_0)*(q*q_0*y)/((a^2+y^2)(sqrt(a^2+y^2)))=2*1/(4piepsilon_0)*(q*q_0*y)/((a^2+y^2)^(3/2))$
Al punto di vista "geometrico" di gio73, aggiungo anche quello "trigonometrico".
Chiamiamo $\alpha$ l'angolo tra l'asse $y$ e la retta per $q$ e $q_0$. Poiché $L$ è l'ipotenusa del triangolo rettangolo che ha per vertici $q$, l'origine assi e $q_0$, si ha subito che $L\cos \alpha=y$ e quindi $\cos \alpha=\frac{y}{L}$. La forza cercata (cioè la forza risultante lungo $y$) è quindi:
\(\displaystyle F_y=2F\cos \alpha=2F\frac{y}{L}=2\frac{qq_0}{4\pi\epsilon_0 L^2}\frac{y}{L}=2\frac{qq_0}{4\pi\epsilon_0}(\frac{y}{L^3})=2\frac{qq_0}{4\pi\epsilon_0}(\frac{y}{(a^2+y^2)^{\frac{3}{2}}}) \)
Chiamiamo $\alpha$ l'angolo tra l'asse $y$ e la retta per $q$ e $q_0$. Poiché $L$ è l'ipotenusa del triangolo rettangolo che ha per vertici $q$, l'origine assi e $q_0$, si ha subito che $L\cos \alpha=y$ e quindi $\cos \alpha=\frac{y}{L}$. La forza cercata (cioè la forza risultante lungo $y$) è quindi:
\(\displaystyle F_y=2F\cos \alpha=2F\frac{y}{L}=2\frac{qq_0}{4\pi\epsilon_0 L^2}\frac{y}{L}=2\frac{qq_0}{4\pi\epsilon_0}(\frac{y}{L^3})=2\frac{qq_0}{4\pi\epsilon_0}(\frac{y}{(a^2+y^2)^{\frac{3}{2}}}) \)
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