Fisica della Materia
Studiando il comportamento di un gas in presenza di un campo gravitazionale mi sono imbattuto in passaggio non molto chiaro.
ipotizzando la presenza di un campo gravitazionale lungo l'asse [tex]z[/tex] una molecola di massa [tex]m[/tex] possiede un energia di potenziale del tipo [tex]mgz[/tex]. Quindi l'energia sarà:
[tex]u=mgz + \frac{1}{2m} ({p_x}^2 + {p_y}^2 + {p_z}^2)[/tex]
Allora:
[tex]\frac{d^6 N}{N}= \frac{{dx} \space {dy} \space {e^{\frac{-mgz}{kT}}} \space {dz} \space {e^{\frac{-p^2}{kT}}} \space {dp_x} \space {dp_y} \space {dp_z}}{\int{\int{dx \space dy} \int {e^{\frac{-mgz}{kT}}} \space {dz} \int {e^{\frac{-p^2}{kT}}} \space {dp_x} \space {dp_y}\space {dp_z} }}[/tex]
facendo gli integrali su tutte le variabili tranne [tex]z[/tex] otteniamo la distribuzione delle molecole in funzione della posizione [tex]z[/tex] :
[tex]\frac{dN_z}{N}= \frac{{e^{\frac{-mgz}{kT}} \space {dz}}}{\int_{0}^{\infty}e^{\frac{-mgz}{kT}} \space {dz}} = \frac{mg}{kT} \space e^{\frac{-mgz}{kT}} \space dz[/tex]
Non mi è chiaro proprio questo ultimo passaggio.
Potreste spiegarmi come fa ad ottenere l'ultima equazione?
Grazie
ipotizzando la presenza di un campo gravitazionale lungo l'asse [tex]z[/tex] una molecola di massa [tex]m[/tex] possiede un energia di potenziale del tipo [tex]mgz[/tex]. Quindi l'energia sarà:
[tex]u=mgz + \frac{1}{2m} ({p_x}^2 + {p_y}^2 + {p_z}^2)[/tex]
Allora:
[tex]\frac{d^6 N}{N}= \frac{{dx} \space {dy} \space {e^{\frac{-mgz}{kT}}} \space {dz} \space {e^{\frac{-p^2}{kT}}} \space {dp_x} \space {dp_y} \space {dp_z}}{\int{\int{dx \space dy} \int {e^{\frac{-mgz}{kT}}} \space {dz} \int {e^{\frac{-p^2}{kT}}} \space {dp_x} \space {dp_y}\space {dp_z} }}[/tex]
facendo gli integrali su tutte le variabili tranne [tex]z[/tex] otteniamo la distribuzione delle molecole in funzione della posizione [tex]z[/tex] :
[tex]\frac{dN_z}{N}= \frac{{e^{\frac{-mgz}{kT}} \space {dz}}}{\int_{0}^{\infty}e^{\frac{-mgz}{kT}} \space {dz}} = \frac{mg}{kT} \space e^{\frac{-mgz}{kT}} \space dz[/tex]
Non mi è chiaro proprio questo ultimo passaggio.
Potreste spiegarmi come fa ad ottenere l'ultima equazione?
Grazie
Risposte
Si tratta di calcolare l'integrale generalizzato che compare al denominatore:
$\int_0^(+oo)e^((-mgz)/(kT))dz=(kT)/(mg)$
$\int_0^(+oo)e^((-mgz)/(kT))dz=(kT)/(mg)$
@speculor
ok, quello mi trovo, ma tutto il resto della roba che fine fa???
ok, quello mi trovo, ma tutto il resto della roba che fine fa???
Si semplifica, avendo gli stessi integrali nelle variabili $(x,y,p_x,p_y,p_z)$ sia al numeratore che al denominatore.
@speculor
mmmmm scusa ma sopra non è integrato e sotto si... com'è possibile che si semplifichi?... credo che mi sono perso qualcosa di matematico! XD
mmmmm scusa ma sopra non è integrato e sotto si... com'è possibile che si semplifichi?... credo che mi sono perso qualcosa di matematico! XD
"brianthechem":
[tex][\frac{d^6 N}{N}=...] [\frac{dN_z}{N}=...][/tex]
Se hai utilizzato notazioni diverse, devono essere espressioni diverse. In ogni modo, se sei interessato alla sola distribuzione rispetto alla variabile $z$, indipendentemente dal valore delle altre variabili, devi integrare anche al numeratore rispetto a quest'ultime.
ti spiego, questi sono appunti presi dalle dispense di un prof.
non capisco come mai lui dice:
"facendo gli integrali su tutte le variabili tranne z otteniamo la distribuzione delle molecole in funzione della posizione
z "
e passa da un'espressione all'altra... e cmq, se dice di integrare, integro numeratore e denominatore, no?... mica solo uno o solo l'altro!... per questo non capisco!... XD
non capisco come mai lui dice:
"facendo gli integrali su tutte le variabili tranne z otteniamo la distribuzione delle molecole in funzione della posizione
z "
e passa da un'espressione all'altra... e cmq, se dice di integrare, integro numeratore e denominatore, no?... mica solo uno o solo l'altro!... per questo non capisco!... XD
L'elemento di probabilità è il seguente:
$f(x,y,z,p_x,p_y,p_z)dxdydzdp_xdp_ydp_z=(e^(-H/(kT))dxdydzdp_xdp_ydp_z)/(\int\int\int\int\int\inte^(-H/(kT))dxdydzdp_xdp_ydp_z)$
Al denominatore troverai sempre l'integrale rispetto a tutte le variabili del modello, si tratta del fattore di normalizzazione. Del resto, se integri la densità di probabilità rispetto a tutte le variabili, e solo ora si tratta di svolgere gli integrali al numeratore, devi ottenere $1$. Viceversa, se sei interessato all'elemento di probabilità rispetto alla sola variabile $z$, indipendentemente dal valore delle altre variabili, devi integrare al numeratore rispetto alle variabili che non ti interessano. Sono concetti che dovresti aver studiato durante il corso di Teoria della probabilità.
$f(x,y,z,p_x,p_y,p_z)dxdydzdp_xdp_ydp_z=(e^(-H/(kT))dxdydzdp_xdp_ydp_z)/(\int\int\int\int\int\inte^(-H/(kT))dxdydzdp_xdp_ydp_z)$
Al denominatore troverai sempre l'integrale rispetto a tutte le variabili del modello, si tratta del fattore di normalizzazione. Del resto, se integri la densità di probabilità rispetto a tutte le variabili, e solo ora si tratta di svolgere gli integrali al numeratore, devi ottenere $1$. Viceversa, se sei interessato all'elemento di probabilità rispetto alla sola variabile $z$, indipendentemente dal valore delle altre variabili, devi integrare al numeratore rispetto alle variabili che non ti interessano. Sono concetti che dovresti aver studiato durante il corso di Teoria della probabilità.
è quello che mi manca! 
... ho questo corso di fisica della materia che presuppone un sacco di conoscenze che non ho acquisito in corsi precedenti.... cioè è un corso messo lì veramente a cavolo, nonostante sia davvero interessante!... purtroppo certe basi mi mancano... cmq credo di aver capito il problema!... se integro sopra, ho 1 per tutte le variabili che non sono z e mirimane e elevato ecc ecc...dz, se integro sotto ho 1 che mi deriva dall'integrazione delle altre variabili, e l'integrale in dz mi rimane (che è quello che da kT/mg) giusto?...
... ho questo corso di fisica della materia che presuppone un sacco di conoscenze che non ho acquisito in corsi precedenti.... cioè è un corso messo lì veramente a cavolo, nonostante sia davvero interessante!... purtroppo certe basi mi mancano... cmq credo di aver capito il problema!... se integro sopra, ho 1 per tutte le variabili che non sono z e mirimane e elevato ecc ecc...dz, se integro sotto ho 1 che mi deriva dall'integrazione delle altre variabili, e l'integrale in dz mi rimane (che è quello che da kT/mg) giusto?...
"brianthechem":
...se integro sopra, ho 1 per tutte le variabili che non sono z e mirimane e elevato ecc ecc...dz, se integro sotto ho 1 che mi deriva dall'integrazione delle altre variabili, e l'integrale in dz mi rimane (che è quello che da kT/mg) giusto?...
Quasi. Non è necessario che ogni integrale rispetto alle variabili diverse da $z$ valga $1$. Quale che sia questo valore, esso si semplifica, comparendo sia al numeratore che al denominatore.
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