[Fisica 2] Un dipolo elettrico di momento $p$

smaug1
Un dipolo elettrico di momento $p$ si trova al centro della distanza $d$ tra due cariche positive $q_1 = q_2 = q$. Calcolare la forza che agisce sul dipolo elettrico.

Si può risovere facendo $F = p\ (\partial E) / (\partial x)$ ? ma non riesco a capire come trovare il campo elettrico, con Gauss, ma come?

Grazie

Risposte
Sk_Anonymous
"smaug":
Un dipolo elettrico di momento $p$ si trova al centro della distanza $d$ tra due cariche positive $q_1 = q_2 = q$. Calcolare la forza che agisce sul dipolo elettrico.

Si può risovere facendo $F = p\ (\partial E) / (\partial x)$ ? ma non riesco a capire come trovare il campo elettrico, con Gauss, ma come?

Grazie

Il campo elettrico direi che è quello generato dalle due cariche puntiformi, quindi credo basti il principio di sovrapposizione.
Ma poi... Questo dipolo non si sa nemmeno com'è diretto rispetto alla congiungente le due cariche?

smaug1
è diretto dalla carica di sinistra a quella di destra!Ok devo usare il principio di sovrapposizione ma in quale punto devo calcolare il campo? che distanza devo usare per entrambe le cariche?

Sk_Anonymous
"smaug":
è diretto dalla carica di sinistra a quella di destra!Ok devo usare il principio di sovrapposizione ma in quale punto devo calcolare il campo? che distanza devo usare per entrambe le cariche?

Io farei riferimento alla figura in basso di questo disegno

In assenza di altre informazioni, considererei il dipolo di dimensioni trascurabili rispetto a quelle della distanza tra le cariche, e dunque individuabile esattamente nel mezzo tra esse, quindi calcolerei lì il campo. Il campo elettrico in quel punto, è facile convincersi, è nullo. Direi che la forza è nulla.

smaug1
aspetta un attimo, il dipolo si trova al centro delle due cariche entrambe positive, diretto da $q_1$ a $q_2$ (da sinista a destra) nello stesso direzione e verso dell'asse x e quindi credo anche parallelamente al campo, e non capisco dove calcolare il campo e perchè!

Grazie mille

Sk_Anonymous
"smaug":
aspetta un attimo, il dipolo si trova al centro delle due cariche entrambe positive, diretto da $q_1$ a $q_2$ (da sinista a destra) nello stesso direzione e verso dell'asse x e quindi credo anche parallelamente al campo, e non capisco dove calcolare il campo e perchè!

Grazie mille

Io lo avrei calcolato dove si trova il dipolo, quindi nel centro.
Sto pensando adesso, però, che di mezzo c'è un gradiente, quindi non credo basti. :-D
Ora finisco di studiare le mie cose, dopo torno qui.
Buono studio!

Sk_Anonymous
Ho pensato questo.
Costruisci un sistema di riferimento con l'origine nel mezzo tra le due cariche, con asse $x$ diretto verso destra (verso $q_2$) e asse $y$ a questo ortogonale diretto verso l'alto, con versori rispettivamente $i$ e $k$.
Supponiamo che il dipolo \(p=pi+0j\) sia posizionato nel punto $P(x,y)$ e le cariche in $q_1 (-a,0)$ e $q_2 (a,0)$. Il campo elettrico generato in $P$ dalle due cariche vale, per il principio di sovrapposizione (mi scuso per le parentesi quadre praticamente invisibili...)
\[E(x,y)=kq[\frac{(x+a)i+yj}{((x+a)^2+y^2)^{3/2}}+\frac{(x-a)i+yj}{((x-a)^2+y^2)^{3/2}}]\]
Se non sono andato di fori e ho scritto bene le cose, vale effettivamente $E(0,0)=0$.
Si calcola ora $p * E$, ottenendo
\[p \cdot E = kqp[\frac{(x+a)}{((x+a)^2+y^2)^{3/2}}+\frac{(x-a)}{((x-a)^2+y^2)^{3/2}}]\]
Calcolandone il gradiente, cioè $F$, verrà un'espressione antiestetica...
Ad occhio, quando questa verrà calcolata nell'origine (dove si trova il tuo dipolo!) mi sembra che possa venir $0$, ma non ho voglia di fare i calcoli ora. Falli tu e vediamo cosa succede!

EDIT. In alternativa, si poteva fare (con $p_x=p$ essendo il tuo dipolo orientato lungo $x$)
\[F_x=p\frac{\partial E_x}{\partial x}=0\]
\[F_y=p\frac{\partial E_x}{\partial y}=0\]
che è poi la stessa cosa che ho scritto sopra, solo fatta con un passaggio in meno (e diversa da quella proposta da te ad inizio discussione)!

Sk_Anonymous
Ti torna?

smaug1
non ho capito bene cosa hai fatto, ma la soluzione è che la forza non è uguale a zero...

Sk_Anonymous
"smaug":
non ho capito bene cosa hai fatto, ma la soluzione è che la forza non è uguale a zero...

Il conto finale non l'ho fatto quindi ci sta che possa aver proceduto bene! :-D
Ho calcolato il campo elettrostatico generato dalle due cariche in un generico punto $P(x,y)$. Poi calcolerei quale forza verrebbe esercitata sul tuo dipolo se fosse posizionato in quel generico punto e, infinite, quale risultato viene nell'origine, ovvero dove è effettivamente il dipolo.
I conti non li ho fatti, sicché non so dirti il risultato finale...

smaug1
i conti neanche io li ho fatti perché prima vorrei capire bene come si risolveva l'esercizio! Quindi hai calcolato il campo elettrico per il principio di sovrapposizione in un punto generico interno alla distanza delle cariche o no? Per calcolare la forza sul dipolo basta moltiplicare il valore del campo nel punto dove sta il dipolo per il dipolo stesso? Quindi conviene porre l'origine del sistema al centro della distanza delle cariche...

Sk_Anonymous
"smaug":
i conti neanche io li ho fatti perché prima vorrei capire bene come si risolveva l'esercizio! Quindi hai calcolato il campo elettrico per il principio di sovrapposizione in un punto generico interno alla distanza delle cariche o no?

In un punto generico, non necessariamente nella striscia tra le due cariche. Comunque sì, ho applicato il principio di sovrapposizione.
"smaug":
Per calcolare la forza sul dipolo basta moltiplicare il valore del campo nel punto dove sta il dipolo per il dipolo stesso?

No, è il gradiente del prodotto scalare tra dipolo e campo in quel punto. Per questo ho corretto subito la mia prima, ingenua e sbagliata, soluzione. Se si deve fare il gradiente non basta conoscere il campo in un solo punto!
"smaug":
Quindi conviene porre l'origine del sistema al centro della distanza delle cariche...

Io ho fatto così, sì, dato che il tuo dipolo verrebbe così a trovarsi nel punto di coordinate $(0,0)$. Mi sembra comodo. Ovviamente puoi scegliere il sistema come ti pare!

smaug1
capito!

Se prendo il sistema centrato nella carica di sinistra ho:

$F = p \partial / (\partial x) (kq / x^2 - kq / (d-x)^2)$ dove nello specifico però $x = d/2$ e il campo sarebbe nullo, no? lì c'è un meno perchè la carica di destra genere un campo antiparallelo alla prima...e perchè la forza deve venire diversa da zero e nello specifico negativa?

Sk_Anonymous
"smaug":
capito!

Se prendo il sistema centrato nella carica di sinistra ho:

$F = p \partial / (\partial x) (kq / x^2 - kq / (d-x)^2)$ dove nello specifico però $x = d/2$ e il campo sarebbe nullo, no? lì c'è un meno perchè la carica di destra genere un campo antiparallelo alla prima...e perchè la forza deve venire diversa da zero e nello specifico negativa?

Mi pare possa andare. Giustamente hai calcolato il campo elettrostatico solo nei punti dell'asse $x$, facendo una bestiale semplificazione rispetto a come avevo fatto io. :-D
Mi pare sia corretto, sì.
L'idea che io seguirei sarebbe questa.

smaug1
Grazie mille per la disponibilità!

ho capito il concetto, però perchè il testo dice che $F = - 8pq / (\pi \varepsilon_0\ d^3)$ ?

Sk_Anonymous
"smaug":
Grazie mille per la disponibilità!

ho capito il concetto, però perchè il testo dice che $F = - 8pq / (\pi \varepsilon_0\ d^3)$ ?

A me viene proprio così infatti...

Sk_Anonymous
Infatti la tua $F$ è
\[F=\frac{pq}{4\pi\varepsilon_0} [\frac{-2}{x^3}-\frac{-2\cdot(-1)}{(d-x)^3}]\]
che calcolata in $x=d/2$ (ovvero dove si trova il tuo dipolo) mi pare faccia proprio come il tuo libro.

smaug1
ho sbagliato a fare la derivata :oops:

Grazie ancora!

Sk_Anonymous
"smaug":
ho sbagliato a fare la derivata :oops:

Grazie ancora!

Di nulla. Mi dispiace di averti confuso le idee all'inizio; motivo in più per non fidarsi della pancia ma di fare sempre i conti fino alla fine! :-D
Per il futuro ricordarti (anzi, ricordiamoci! :-D ) che di mezzo c'è il gradiente, cosa che in un post ti eri dimenticato, motivo per cui non basta calcolare il campo in un punto (cosa che chiedevi ad inizio discussione e che anche io mi ero scordato), poiché bisogna conoscere il campo almeno in un intorno di quel punto!
Ciao!

smaug1
:D ma cosa studi?

Sk_Anonymous
"smaug":
:D ma cosa studi?

Fisica, ma sono al secondo anno, quindi queste cose le sto studiando adesso, non ho dato l'esame.
Come mai me lo chiedi?

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