FISICA 2 (sbarretta che scorre su guide)
Una sbarretta di massa M e lunghezza L ha gli estremi a contatto con
due guide verticali poste sul piano yz lungo le quali possono scorrere
senza incontrare attrito. La sbarretta si sposta in presenza della gravità
g=(0,0,−g) e di un campo magnetico omogeneo B=B0(1, −1, −1). La
sbarretta è costituita da un ottimo conduttore, mentre le due guide sono
costituite di filo avente resistività r e sezione s. Le due guide sono
connesse alla quota z=0 ad un generatore di forza elettromotrice e0.
a) Determinare la quota z alla quale la sbarretta può stare ferma
all’equilibrio.
b) Determinare la potenza termica dissipata per mantenere
l’equilibrio di cui al quesito precedente.
c) Scrivere l’accelerazione della sbarretta assumendo che essa sia ad
una generica quota z e si muova ad una generica velocità vz.
Ho trovato la resistenza $R= ρL/S; ε=fem=BLv; I=ε/R= BvSL/ρ;$
Imposto l'equazione di moto: $Md^2z/(dt^2)=BLI -Mg;$ Risolvo l'equazione differenziale del primo ordine ed ottengo la velocità di discesa, quindi imposto $ΔEk= ΔU 1/2M(vd)^2=Mvdz$, dove z è la quota all'equilibrio. Esplicito rispetto a z.
È CORRETTO? non so come proseguire con il secondo e il terzo punto.
Grazie in anticipo
due guide verticali poste sul piano yz lungo le quali possono scorrere
senza incontrare attrito. La sbarretta si sposta in presenza della gravità
g=(0,0,−g) e di un campo magnetico omogeneo B=B0(1, −1, −1). La
sbarretta è costituita da un ottimo conduttore, mentre le due guide sono
costituite di filo avente resistività r e sezione s. Le due guide sono
connesse alla quota z=0 ad un generatore di forza elettromotrice e0.
a) Determinare la quota z alla quale la sbarretta può stare ferma
all’equilibrio.
b) Determinare la potenza termica dissipata per mantenere
l’equilibrio di cui al quesito precedente.
c) Scrivere l’accelerazione della sbarretta assumendo che essa sia ad
una generica quota z e si muova ad una generica velocità vz.
Ho trovato la resistenza $R= ρL/S; ε=fem=BLv; I=ε/R= BvSL/ρ;$
Imposto l'equazione di moto: $Md^2z/(dt^2)=BLI -Mg;$ Risolvo l'equazione differenziale del primo ordine ed ottengo la velocità di discesa, quindi imposto $ΔEk= ΔU 1/2M(vd)^2=Mvdz$, dove z è la quota all'equilibrio. Esplicito rispetto a z.
È CORRETTO? non so come proseguire con il secondo e il terzo punto.
Grazie in anticipo
Risposte
"Ninasognalaluna":
È CORRETTO?
Mi pare di no.
In primo luogo, hai calcolato la resistenza che avrebbe la sbarretta se fosse del materiale di cui sono costituite le guide verticali. Invece il testo mi pare vada interpretato nel senso di considerare la sbarretta un conduttore ideale ($R=0$) mentre le resistenza è offerta dai due tratti delle guide compresi tra il piano $Oxy$ e la quota $z$ a cui si trova la sbarretta.
In secondo luogo, non ho capito perché per cercare la posizione di equilibrio (a sbarretta ferma) imposti l'equazione del moto quando basta imporre che sia nulla la risultante delle forze agenti sulla sbarretta. Le quali mi pare siano: $M vec(g)$ dovuta al peso, una $vec(F)$ dovuta al campo magnetico di modulo $iBL sin theta$, essendo $i$ la corrente che circola nella sbarretta e $theta$ l'angolo tra la sbarretta e $vec(B)$, ed una reazione da parte delle guide per annullare la componente della forza $vec(F)$ diversa da quella lungo l'asse $z$ (nell'ipotesi, ovviamente, che le guide rimangano immobili). Salvo miei errori.
OK, avevo inizialmente eguagliato la forza gravitazionale con la forza magnetica. Il problema è che dovrei avere $I(z)$ per poter trovare la quota. Quindi ho difficoltà a trovare la resistenza. Qual è la lunghezza dei tratti tra $Oxy$ e $z$? $B$ è diretto lungo l'asse delle $x$ per la regola della mano destra?
Se le guide sono verticali, la lunghezza dei tratti che vanno dal piano $Oxy$ alla quota $z$ a me sembra che sia $z$, che ne dici? Quindi la resistenza è esprimibile in funzione dell'incognita $z$, ed altrettanto dicasi quindi per la corrente. L'imporre che la risultante delle forze (meglio: la componente verticale della risultante delle forze, se la reazione delle guide ci permette di infischiarcene di cosa succede nelle altre direzioni) sia nulla ti permette scrivere un'equazione in cui l'unica incognita è appunto $z$.
Invece questa:
$vec(B)$ è diretto secondo le componenti che sono date dal testo, $(1, -1, -1)$ è un vettore orientato in un modo piuttosto facile da immaginare.
Invece questa:
"Ninasognalaluna":non l'ho proprio capita.
$ B $ è diretto lungo l'asse delle $ x $ per la regola della mano destra?
$vec(B)$ è diretto secondo le componenti che sono date dal testo, $(1, -1, -1)$ è un vettore orientato in un modo piuttosto facile da immaginare.
grazie! Gentilissimo. Considero i due tratti come due resistenze uguali in serie? Sarebbe fantastico se potesse aiutarmi anche con gli altri punti. 
Per la potenza dissipata (date la f.e.m., la resistenza e a questo punto anche la corrente) direi che basta usare una delle espressioni ad hoc che conosci sicuramente.
Per la terza domanda, se non si tenesse in conto il fenomeno dell'autoinduzione basterebbe considerare la forza risultante sulla sbarretta, data dalla somma del peso $M vec(g)$ con la componente lungo l'asse $z$ della forza magnetica sulla medesima, la stessa che hai espresso in funzione di $z$ per risolvere il punto (a). Volendo (anzi, dovendo) tener conto anche di fenomeni induttivi, devi però considerare, oltre alla f.e.m. $e_0$ del generatore che alimenta il sistema, anche di quella data dalla variazione di flusso magnetico attraverso il rettangolo delimitato dalle guide e dalla sbarretta.
Per la terza domanda, se non si tenesse in conto il fenomeno dell'autoinduzione basterebbe considerare la forza risultante sulla sbarretta, data dalla somma del peso $M vec(g)$ con la componente lungo l'asse $z$ della forza magnetica sulla medesima, la stessa che hai espresso in funzione di $z$ per risolvere il punto (a). Volendo (anzi, dovendo) tener conto anche di fenomeni induttivi, devi però considerare, oltre alla f.e.m. $e_0$ del generatore che alimenta il sistema, anche di quella data dalla variazione di flusso magnetico attraverso il rettangolo delimitato dalle guide e dalla sbarretta.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo