Fisica 2 - Esercizio Condensatore e Solenoide
Ciao a tutti,
volevo sapere se qualcuno mi può dare delle delucidazioni riguardo al seguente esercizio di Fisica 2:
Si consideri un condensatore piano ad armature circolari di raggio R=5cm distanti d=1mm. Il campo elettrico all'esterno è nullo e all'interno è uniforme e vale inizialmente $E_0 = 10^13$ V/m.
1) Determinare l'energia immagazzinata nel condensatore
Se il campo elettrico oscilla periodicamente nel tempo come $E= E_0 \cos{\omega t}$ con $\omega = \pi$ rad/s, applicando la legge di Ampere-Maxwell:
2) determinare la circuitazione del campo magnetico lungo una circonferenza di raggio r = 6cm parallela alle armature con centro sull'asse del condensatore;
3) determinare il massimo valore del campo magnetico indotto a distanza r = 6cm dall'asse del condesatore.
Si consideri ora un solenoide di lunghezza L = 50cm e raggio R = 5cm. Il campo magnetico all'esterno è nullo e all'interno è uniforme e vale inizialmente $B_0= 0,1$ T.
4) determinare l'energia immagazzinata nel solenoide.
Se il campo magnetico oscilla periodicamente nel tempo come $B = B_0 \cos{\omega t}$ con $\omega = \pi$ rad/s, applicando la legge di Faraday-Henry:
5) determinare la circuitazione del campo elettrico lungo una circonferenza di raggio r = 4cm parallela alle spire del solenoide con centro sull'asse del solenoide.
Se una spira circolare di raggio $r_0$ = 4cm e resistenza pari a $1\Omega$ viene posta intorno al solenoide con asse parallelo all'asse del solenoide, detto T il periodo di oscillazione del campo magnetico:
6) determinare l'andamento della corrente indotta nella spira e la quantità di carica totale che ha atrraversato la spira dopo un tempo pari a T/4 dall'intante t=0.
I punti 1) e 4) credo che sia corretto risolverli utilizzando le seguenti formule:
$\frac{1}{2} C*V^2$ e $\frac{1}{2} L*i^2$
mi creano problemi i punti 2), 3), 5), 6), se non sbaglio le leggi da utilizzare sono le seguenti:
Ampere-Maxwell: $C(B) = \mu _0 * (i + \varepsilon _0 * \frac{d\Phi _E}{dt})$
Faraday-Henry: $\oint E * dl = - \frac{d}{dt} [\int B * ds]$
però non riesco a giungere alle soluzioni richieste, molto probabilmente mi blocco su delle banalità.
volevo sapere se qualcuno mi può dare delle delucidazioni riguardo al seguente esercizio di Fisica 2:
Si consideri un condensatore piano ad armature circolari di raggio R=5cm distanti d=1mm. Il campo elettrico all'esterno è nullo e all'interno è uniforme e vale inizialmente $E_0 = 10^13$ V/m.
1) Determinare l'energia immagazzinata nel condensatore
Se il campo elettrico oscilla periodicamente nel tempo come $E= E_0 \cos{\omega t}$ con $\omega = \pi$ rad/s, applicando la legge di Ampere-Maxwell:
2) determinare la circuitazione del campo magnetico lungo una circonferenza di raggio r = 6cm parallela alle armature con centro sull'asse del condensatore;
3) determinare il massimo valore del campo magnetico indotto a distanza r = 6cm dall'asse del condesatore.
Si consideri ora un solenoide di lunghezza L = 50cm e raggio R = 5cm. Il campo magnetico all'esterno è nullo e all'interno è uniforme e vale inizialmente $B_0= 0,1$ T.
4) determinare l'energia immagazzinata nel solenoide.
Se il campo magnetico oscilla periodicamente nel tempo come $B = B_0 \cos{\omega t}$ con $\omega = \pi$ rad/s, applicando la legge di Faraday-Henry:
5) determinare la circuitazione del campo elettrico lungo una circonferenza di raggio r = 4cm parallela alle spire del solenoide con centro sull'asse del solenoide.
Se una spira circolare di raggio $r_0$ = 4cm e resistenza pari a $1\Omega$ viene posta intorno al solenoide con asse parallelo all'asse del solenoide, detto T il periodo di oscillazione del campo magnetico:
6) determinare l'andamento della corrente indotta nella spira e la quantità di carica totale che ha atrraversato la spira dopo un tempo pari a T/4 dall'intante t=0.
I punti 1) e 4) credo che sia corretto risolverli utilizzando le seguenti formule:
$\frac{1}{2} C*V^2$ e $\frac{1}{2} L*i^2$
mi creano problemi i punti 2), 3), 5), 6), se non sbaglio le leggi da utilizzare sono le seguenti:
Ampere-Maxwell: $C(B) = \mu _0 * (i + \varepsilon _0 * \frac{d\Phi _E}{dt})$
Faraday-Henry: $\oint E * dl = - \frac{d}{dt} [\int B * ds]$
però non riesco a giungere alle soluzioni richieste, molto probabilmente mi blocco su delle banalità.
Risposte
2) flusso di E (il segno è arbitrario visto che non dice il verso della circonferenza): $E_0 cos(omega t ) pi R^2$
derivi, moltiplichi per la costante e ottieni la circuitazione di B
3) il massimo di una funzione sinusoidale
5) è il duale del punto 2, basta calcolare il flusso di B attraverso una circonferenza di raggio 4 cm e derivare
6) legge di faraday-henry (ricavi la corrente dal valore della resistenza una volta trovata la tensione)
derivi, moltiplichi per la costante e ottieni la circuitazione di B
3) il massimo di una funzione sinusoidale
5) è il duale del punto 2, basta calcolare il flusso di B attraverso una circonferenza di raggio 4 cm e derivare
6) legge di faraday-henry (ricavi la corrente dal valore della resistenza una volta trovata la tensione)
Grazie per l'aiuto.
Per maggior chiarezza:
Al punto 1) ho utilizzato questa formula:
$L = \frac{1}{2}*\varepsilon*A*d*E^2$
Per i punti 2) e 5) ho utilizzato queste:
$\ointE*dl = -\int\frac{dB}{dT}*\hat{n}*ds$
$\ointB*dl = \mu_0*i$ con $i = \intJ*\hat{n}*ds$ che è uguale a $\varepsilon_0*\int\frac{dE}{dt}*\hat{n}*ds$
è corretto?
Per il punto 4) è corretto procedere così?
$\frac{1}{2}*\frac{B^2}{\mu_o}*V$
Al punto 1) ho utilizzato questa formula:
$L = \frac{1}{2}*\varepsilon*A*d*E^2$
Per i punti 2) e 5) ho utilizzato queste:
$\ointE*dl = -\int\frac{dB}{dT}*\hat{n}*ds$
$\ointB*dl = \mu_0*i$ con $i = \intJ*\hat{n}*ds$ che è uguale a $\varepsilon_0*\int\frac{dE}{dt}*\hat{n}*ds$
è corretto?
Per il punto 4) è corretto procedere così?
$\frac{1}{2}*\frac{B^2}{\mu_o}*V$
sì mi pare ok. le derivate è meglio se le tieni fuori dall'integrale: se hai una superficie che varia nel tempo, altrimenti, il risultato non torna corretto. in questa situazione comunque era indifferente
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