Fisica 1: Un dubbio teorico su un passaggio nelle formule del moto rototraslatorio
Salve, in attesa dei risultati della prova scritta di fisica 1, sto preparando l'orale e rivedendo una cosa mi è venuto un dubbio su come giustificare un passaggio. Nel ricavare le equazioni del moto tra due sistemi di riferimento in cui uno è non inerziale e subisce un moto roto-traslatorio, a un certo punto ci troviamo a fare questi passaggi: "
$ x i +yj+zk-X i-Yj-Zk=x'u_1+y'u_2+z'u_3 => v_x i+v_y j+v_zk-V_x i- V_y j-V_z k= v_x'u_1+v'_y u_2+v_z' u_3+x' (du_1)/(dt)+y'(du_2)/(dt)+z'(du_3)/dt $
dove $x,y,z$ sono le coordinate del punto nel primo sistema di riferimenot, $X,Y,Z$ sono le coordinate dell'origine del nuovo sistema di riferimento nel vecchio sistema,$x',y',z'$ sono le coordinate del punto nel nuovo sistema di riferimento, $u_1, u_2, u_3$ sono dei vettori ortonormali di questo sistema di riferimento che si sta muovendo di un moto roto-traslatorio e sostanzialmente a un certo punto il professore osserva che $v= \omega ^^ r$ e dunque $(du_l)/(dt)=\omega ^^ u_l$ $\forall l \in {1,2,3}$. Questo è il passaggio che effettivamente non mi è chiaro, ovvero quella relazione tra velocità e raggio non vale solo in un moto circolare, inoltre non vale per la velocità e poi come passa esattamente alle derivate dei vettori della base del nuovo riferimento... Forse è un dubbio banale, ma non trovo come giustificarlo formalmente. Se non vi reca disturbo potreste togliermi questo dubbio?
P.s: ma poi quei tre vettori, sono i vettori della base mobile di Frenet?
$ x i +yj+zk-X i-Yj-Zk=x'u_1+y'u_2+z'u_3 => v_x i+v_y j+v_zk-V_x i- V_y j-V_z k= v_x'u_1+v'_y u_2+v_z' u_3+x' (du_1)/(dt)+y'(du_2)/(dt)+z'(du_3)/dt $
dove $x,y,z$ sono le coordinate del punto nel primo sistema di riferimenot, $X,Y,Z$ sono le coordinate dell'origine del nuovo sistema di riferimento nel vecchio sistema,$x',y',z'$ sono le coordinate del punto nel nuovo sistema di riferimento, $u_1, u_2, u_3$ sono dei vettori ortonormali di questo sistema di riferimento che si sta muovendo di un moto roto-traslatorio e sostanzialmente a un certo punto il professore osserva che $v= \omega ^^ r$ e dunque $(du_l)/(dt)=\omega ^^ u_l$ $\forall l \in {1,2,3}$. Questo è il passaggio che effettivamente non mi è chiaro, ovvero quella relazione tra velocità e raggio non vale solo in un moto circolare, inoltre non vale per la velocità e poi come passa esattamente alle derivate dei vettori della base del nuovo riferimento... Forse è un dubbio banale, ma non trovo come giustificarlo formalmente. Se non vi reca disturbo potreste togliermi questo dubbio?
P.s: ma poi quei tre vettori, sono i vettori della base mobile di Frenet?
Risposte
Stiamo parlando di vettori, anche se non mettiamo la freccia sopra.
Che significa $v=omegatimesr$ ? Significa che : $ (dr)/(dt) =omega times r$ . Qui $omega$ è la velocità angolare del riferimento mobile, che può anche essere solo istantanea.
La relazione scritta vale qualunque sia il vettore $r$, che dobbiamo immaginare solidale al riferimento mobile. Per esempio, se al posto di $r$ mettiamo il vettore momento angolare $L$ , che supponiamo non vari nel riferimento mobile , la derivata temporale di $L$ nel rif fisso vale :
$(dL)/(dt) = omega times L $
da qui, un certo Eulero è arrivato alle sue equazioni per il moto di un corpo rigido con un punto fisso.
No, sono i versori della terna mobile, e quelle sono le formule di Poisson, che forse non sono argomento di Fisica1, ma di Meccanica Razionale , o Fisica Matematica. Però é strano che tu conosca la terna intrinseca di Frenet, e non le formule di Poisson.
ci sono molti thread su questo argomento, fa’ una ricerca.
Che significa $v=omegatimesr$ ? Significa che : $ (dr)/(dt) =omega times r$ . Qui $omega$ è la velocità angolare del riferimento mobile, che può anche essere solo istantanea.
La relazione scritta vale qualunque sia il vettore $r$, che dobbiamo immaginare solidale al riferimento mobile. Per esempio, se al posto di $r$ mettiamo il vettore momento angolare $L$ , che supponiamo non vari nel riferimento mobile , la derivata temporale di $L$ nel rif fisso vale :
$(dL)/(dt) = omega times L $
da qui, un certo Eulero è arrivato alle sue equazioni per il moto di un corpo rigido con un punto fisso.
ma poi quei tre vettori, sono i vettori della base mobile di Frenet?
No, sono i versori della terna mobile, e quelle sono le formule di Poisson, che forse non sono argomento di Fisica1, ma di Meccanica Razionale , o Fisica Matematica. Però é strano che tu conosca la terna intrinseca di Frenet, e non le formule di Poisson.
ci sono molti thread su questo argomento, fa’ una ricerca.
Grazie per la risposta. Ora ho anche trovato qualche riferimento (ogni volta che uso questa parole penso a Geometria) da leggere. Comunque il motivo per cui conosco la base di Frenet è semplicemente perchè al 4 liceo "studiai" per conto mio Geometria 2 sul Sernesi che ne parlava (fatto sta che mi ricordo poche definizioni messe in croce). Quando poi ti riferisci a Euler ti riferisci alle equazioni cardinali?
Le equazioni di Eulero sono le equazioni del moto di un CR con un punto fisso, e derivano dalla seconda equazione cardinale della dinamica , per la quale $ M_e=(dL)/(dt)$ . Le trovi scritte in questo post; il momento di forze esterne qui non è nullo, le sue componenti sono al secondo membro.
TI consiglio anche questa dispensa , che per Fisica1 é avanzata; trovi le stesse eq di Eulero al paragrafo 3.3.1 , in cui il momento delle forze esterne è nullo.
TI consiglio anche questa dispensa , che per Fisica1 é avanzata; trovi le stesse eq di Eulero al paragrafo 3.3.1 , in cui il momento delle forze esterne è nullo.
Grazie nuovamente per la risposta.
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