[Fisica 1] Sistema cannone-ammortizzatore
Ho un problema, ho iniziato a risolverlo ma mi sono bloccata, spero mi possiate aiutare. Ecco il problema e di seguito la mia soluzione (parziale):
Un cannone è solidamente fissato ad una slitta libera di scorrere senza attrito su un piano orizzontale. La canna è inclinata di un angolo $\alpha$ sull’orizzontale ed il sistema cannone-slitta ha massa complessiva $M$. La slitta è appoggiata ad un solido muro tramite un ammortizzatore che esercita una forza resistente proporzionale alla velocità di compressione $F=-bV$. Il cannone spara un proiettile di massa $m$, la cui velocità di uscita, misurata rispetto alla canna del cannone, vale (in modulo) $V_U$. Di quanto viene compresso l’ammortizzatore durante il rinculo del cannone?
Sol. L'unica forza esterna è $mg$ la quale ha componente unicamente verticale, quindi lungo $x$ non agiscono forze esterne $=>$ la quantità di moto lungo $x$ si conserva ovvero $\Delta P=0$ (dove $P=mv$ quantità di moto)
Scrivo la conservazione della quantità di moto lungo $x$:
Da qui mi ricavo la velocità di compressione $V$
A questo punto non so andare avanti, so però che il moto del cannone dopo l'esplosione sarà sicuramente uniformemente decelerato dato che, acquistata la velocità $V$, subisce l'azione dell'ammortizzatore la cui forza resistente è $F=-bV$. Quindi penso mi debba trovare una qualche relazione fra $x$ e $V$, e ponendo $V=0$ (il punto in cui si ferma) ottengo lo spostamento.
Vi ringrazio in anticipo
Un cannone è solidamente fissato ad una slitta libera di scorrere senza attrito su un piano orizzontale. La canna è inclinata di un angolo $\alpha$ sull’orizzontale ed il sistema cannone-slitta ha massa complessiva $M$. La slitta è appoggiata ad un solido muro tramite un ammortizzatore che esercita una forza resistente proporzionale alla velocità di compressione $F=-bV$. Il cannone spara un proiettile di massa $m$, la cui velocità di uscita, misurata rispetto alla canna del cannone, vale (in modulo) $V_U$. Di quanto viene compresso l’ammortizzatore durante il rinculo del cannone?
Sol. L'unica forza esterna è $mg$ la quale ha componente unicamente verticale, quindi lungo $x$ non agiscono forze esterne $=>$ la quantità di moto lungo $x$ si conserva ovvero $\Delta P=0$ (dove $P=mv$ quantità di moto)
Scrivo la conservazione della quantità di moto lungo $x$:
$MV=mV_{Ux}$
Da qui mi ricavo la velocità di compressione $V$
$V=\frac{m}{M}\cdot V_{Ux}=\frac{m}{M}\cdot V_U\cdot cos\alpha$
A questo punto non so andare avanti, so però che il moto del cannone dopo l'esplosione sarà sicuramente uniformemente decelerato dato che, acquistata la velocità $V$, subisce l'azione dell'ammortizzatore la cui forza resistente è $F=-bV$. Quindi penso mi debba trovare una qualche relazione fra $x$ e $V$, e ponendo $V=0$ (il punto in cui si ferma) ottengo lo spostamento.
Vi ringrazio in anticipo
Risposte
Ciao.
Se scrivi l'equazione della dinamica riferita al cannone, hai (assumendo $M$ come massa rinculante, il che equivale a trascurare la massa del proiettile):
$MA(t)=-bV(t)$___$ to$___$MV'(t)=-bV(t)$ ;
risolvi quest'ultima (è a variabili separabili, la soluzione è una velocità $V(t)$ che decresce esponenzialmente) tenendo conto che conosci la velocità all'istante $t=0$, cioè quello dello sparo; integri la velocità $V(t)$ rispetto al tempo tra $t=0$ e $t=+infty$ e trovi lo spazio percorso. Salvo miei errori, ovviamente.
"SaraSue":soltanto nell'istante dello sparo. Immediatamente dopo entra in gioco la forza impressa dalla parete contro cui è fissato l'ammortizzatore. Tra l'altro, per esser pignoli la massa che rincula dopo lo sparo è $M-m$ (il cannone privato del proiettile).
L'unica forza esterna è $ mg $
"SaraSue":assolutamente no, lo sarebbe se la forza impressa dall'ammortizzatore fosse costante, cosa che non è.
il moto del cannone dopo l'esplosione sarà sicuramente uniformemente decelerato
Se scrivi l'equazione della dinamica riferita al cannone, hai (assumendo $M$ come massa rinculante, il che equivale a trascurare la massa del proiettile):
$MA(t)=-bV(t)$___$ to$___$MV'(t)=-bV(t)$ ;
risolvi quest'ultima (è a variabili separabili, la soluzione è una velocità $V(t)$ che decresce esponenzialmente) tenendo conto che conosci la velocità all'istante $t=0$, cioè quello dello sparo; integri la velocità $V(t)$ rispetto al tempo tra $t=0$ e $t=+infty$ e trovi lo spazio percorso. Salvo miei errori, ovviamente.
Grazie delle delucidazioni. Comunque $M$ è la massa già priva di proiettile
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