Fisica 1-Puro rotolamento

[pisanivito]

Due sfere omogenee di massa $M_1$ e $M_2$ sono poste su un piano inclinato $\theta$ e collegati tra loro tramite un filo inestensibile parallelo al piano inclinato come in figura. La sfera di massa $M_2$ ha raggio esterno $R_2$, ed una scanalatura di raggio $r_2$ attorno al quale e avvolta la fune- Sul cilindro di massa $M_1$ e di raggio $R_1$ è applicata una forza $F$ tramite una scanalatura posta a distanza $r_1$. Sapendo che entrambi gli oggetti sono omogenei e la loro scanalatura non ha alcuna influenza sul calcolo dei rispettivi momenti di inerzia, e che entrambi si muovono con moto di puro rotolamento, determinare: A) Il valore dell'accelerazione del centro di massa dei due oggetti, B) Le forze d'attrito su ciascuno dei due oggetti, C) Il lavoro compiuto per far avanzare il cilindro $M_1$ di una distanza d
Prendendo in considerazione un sistema di riferimento con y perpendicolare al piano inclinato e x parallello e positivo al senso del moto:
Ecco il diagramma a corpo libero:

Il corpo $M_1$ avrà questa configurazione:
\( \begin{cases} -T-f_1+F-M_1gsen\theta = M_1a_1 \\ -R_1T + Rf_1-r_1F=\frac{2}{5}M_1R_1^2\frac{a_1}{R_1} \end{cases} \)
Il corpo $M_2$ la seguente:
\( \begin{cases} T+f_2-M_2gsen\theta = M_2a_2 \\ r_2T-R_2f_2=\frac{2}{5}M_2R_2^2\frac{a_2}{R_2} \\ \end{cases} \)
Ora arriva il problema.. se vorrei mettere tutto a sistema, comunque mi mancherebbe un equazione per risolverlo.. disporrei di un sistema di 4 equazioni in 5 incognite.. come uscirne?
Grazie in anticipo

[fender97]

Agli estremi della fune l'accelerazione è la stessa.
Sia P il punto in cui la fune si innesta sul corpo $M_1$ e sia Q il punto in cui la fune si innesta su $M_2$.

Chiamando $a_P$ l'accelerazione del punto P si ha che $a_P = \alpha_1 * 2R_1$.
Sia $a_Q$ l'accelerazione del punto P si ha che $a_Q = \alpha_2 * (R_2+r_2)$.

Ora poni $a_P$ = $a_Q$ e hai la quinta equazione
Attenzione : io ho preso come polo dei momenti i punti d'appoggio delle sfere con il piano, di conseguenza le accelerazioni sono calcolate rispetto a quei punti (che puoi chiamare A e B). Se prendi come polo il CM delle sfere allora

$a_P = \alpha_1 * R_1$.
$a_Q = \alpha_2 * r_2$.

Magari ricontrolla i conti, non sono mai affidabile a riguardo.

[pisanivito]

Ciao, quindi, tenendo conto dell'accelerazione del cm, e tenendo conto che le due accelerazioni sono eguali avrò questo sistema, giusto?
\( \begin{cases} -T-f_1+F-M_1gsen\theta=M_1(\alpha_1R_1) \\ -R_1T+Rf_1-r_1F=\frac{2}{5}M_1R_1^2(\frac{a_{cm}}{R_1}) \\ T+f_2-M_2gsen\theta=M_2(\alpha_2r_2) \\ r_2T-R_2f_2=\frac{2}{5}M_2R_2^2\frac{a_{cm}}{r_2} \\ \alpha_1R_1=\alpha_1r_2 \end{cases} \)

[fender97]

Ho fatto del caos anche io, scusami. Per il calcolo delle accelerazioni preferisco sempre prendere come sistema di riferimento i punti A e B (punto di contatto con il piano) per questo semplice motivo: è fermo e rappresentano un buon punto per l'origine di un sistema di riferimento inerziale. Il CM delle sfere è in generale un S.D.R. non inerziale e non mi ci trovo. In ogni caso, utilizzando le tue scelte:
\(
\begin{cases}
-T-f_1+F-M_1gsen\theta=M_1a_1 \\
-R_1T+R_1f_1-r_1F=\frac{2}{5}M_1R_1^2\frac{a_1}{R_1}\\
T+f_2-M_2gsen\theta=M_2a_2 \\
r_2T-R_2f_2=\frac{2}{5}M_2R_2^2\frac{a_2}{R_2}\\
\end{cases}
\)

C'erano un paio di indici fuori posto. Attenzione: l'accerelazione dei punti P e Q è la stessa, ma non quella dei centri di massa.
L'accelerazione di P e Q vale:
$a_P = a_1 + \alpha_1R_1$
$a_Q = a_2 + \alpha_2 r_2$
I valori che ti ho fornito nel messaggio precedente sono sbagliati, in quanto non ho tenuto conto del fatto che il CM è un SDRNI.
Ogni sfera ha la propria accelerazione del CM $a_1 != a_2$.
$a_1 = \alpha_1 R_1$
$a_2 = \alpha_2 R_2$

Adesso poni $a_P = a_Q$
$ a_1 + \alpha_1R_1 = a_2 + \alpha_2 r_2$

e poi risolvi in funzione di quel che preferisci e ottieni la quinta equazione del tuo sistema. A titolo esplicativo puoi arrivare a questo risultato:
$a_1 = a_2/2(1+r_2/R_2)$
ciò ti fa capire come le accelerazioni delle due sfere siano effettivamente diverse

[pisanivito]

Sarebbe consono quindi spezzare il sistema. Tenendo conto del sistema del corpo $M_1$ potrei scrivere:
\( \begin{cases} F-f_1-T-M_1gsen\theta=M_1a_1 \\ R_1f_1-R_1T-r_1F=(\frac{2}{5}M_1R_1^2)\frac{a_1}{R_1} \\ a_1=\frac{2}{5}(1+\frac{r_2}{R_2})\end{cases} \)
Risolvendo ottengo (salvo errori):
\( \begin{cases} T=F\frac{R_1-r_1}{R_1}+\frac{3}{5}M_1a_2(1+\frac{r_2}{R_2})-\frac{1}{2}M_1gsen\theta \\ f_1=F+\frac{4}{5}M_1a_2(1+\frac{r_2}{R_2})-\frac{1}{2}M_1gsen\theta \\ a_1=\frac{a_2}{2}(1+\frac{r_2}{R_2}) \end{cases} \)
La traccia richiede le relazioni di ambedue le accelerazioni dei cm. Ora come dovrò procedere? Visto che mi trovo ad avere $a_1$ in funzione di $a_2$?
Sento che ci siamo quasi

[fender97]

Devi cercare di isolare $a_1$ o $a_2$ in una qualsiasi delle equazioni Si tratta solo di algebra, qualunque metodo di risoluzione tu proponga è corretto.

[fender97]

"pritt":Sarebbe consono quindi spezzare il sistema.

Non so bene cosa tu intenda per spezzare il sistema, ma hai bisogno di tutte le relazioni (equazioni) del sistema per risolverlo, specialmente per quanto riguarda l'incognita $T$. Fossi in te ricaverei dal sistema due equazioni che descrivono $T$ e le porrei uguali. Allora dovresti raggiungere la soluzione più velocemente che in qualunque altro modo

[pisanivito]

Generalmente vado per sostituzione.. purtroppo non ho conoscenza di ulteriori metodi di riduzione.. Ho visto che ci sono metodi di riduzione, ma applicati a sistemi di due equazioni.. Ho provato a prendere due equazioni che descrivono T (ho scelto le prime due equazioni di $M_1$ a questo punto le ho uguagliate..ma adesso dove dovrei inserire questa relazione risultante? Mi spiegheresti questi benedetti metodi di riduzione??Il prof ha sempre utilizzato il metodo per sostituzione

[fender97]

In realtà sostituzione va benissimo, ed in questo caso è la soluzione più veloce visto che ogni equazione è piuttosto diversa da tutte le altre. Di norma per risolvere i sistemi io

1) Scelgo due equazioni che contengono un incognita in comune.
2) Isolo una in funzione dell'altra (nel tuo caso userei $T$)
3) Sostituisco la variabile che ho isolato nell'altra equazione.
4) Ripeto per tutte le variabili.

Tu prova, se vuoi poi provo a risolverti il sistema con matlab (non ho voglia di farlo a mano)

[pisanivito]

Allora, se non ho capito male:
Questo è il nostro sistema:
\( \begin{cases} -T-f_1+F-M_1gsen\theta=M_1a_1 \\ -R_1T+R_1f_1-r_1F=\frac{2}{5}M_1R_1a_1 \\ T+f_2-M_2gsen\theta=M_2a_2 \\ r_2T-R_2f_2=\frac{2}{5}M_2R_2a_2 \\ a_1=\frac{a_2}{2}(1+\frac{r_2}{R_2}) \end{cases} \)
------
1. Step- Scelgo due equazione dal sistema, che abbiano due incognite in comune.
Nel mio caso, T è presente nelle prime due equazioni, perciò isolo in funzione dell'altra.
Dalle prime due ottengo:
\( \begin{cases} T=F-f_1-M_1gsen\theta-M_1a_1 \\ \frac{2}{5}M_1R_1a_1+r_1F=R_1(2f_1-F+M_1gsen\theta+M_1a_1) \end{cases} \)
Nel sistema precedente ho gia sostituito il valore di T.
Quindi dovrei effettuare lo stesso ragionamento per tutte le n variabili.

Al termine avrò n (in base al numero delle incognite) sistemi di due equazioni con:
-Prima equazione contenente l'incognita isolata;
-Seconda equazione contenete la relazioni che vien fuori dalla sostituzione del valore che ha assunto l'incognita nell'isolamento;

Adesso dovrò mettere a sistema le n equazioni rispettive alle incognite isolate?
Tipo: dopo aver sviluppato, per ogni incognita, l'isolamento e la sostituzione del valore assunto nella seconda equazione, mi ritroverò ad avere,in questo caso 5 sistemi da due equazioni l'una.

Mettendo a sistema le 5 relazioni isolate,
\( \begin{cases} T=F-f_1-M_1gsen\theta-M_1a_1 \\ f_2=M_2a_2+M_2gsen\theta-T \\ a_1=\frac{a_2}{2}(1+\frac{r_2}{R_2}) \\ a_2=\frac{2R_2a_1}{R_2+r_2} \\ f_1=F-M_1gsen\theta-T-M_1a_1 \end{cases} \)
mi basterà andare per sostituzione?
Poichè $a_1$ è in funzione di $a_2$ se vado a sostituire, mi si annulla.. (proprio perche è dipendente da $a_2$)

[fender97]

\( \begin{cases} -T-f_1+F-M_1gsen\theta=M_1a_1 \\ -R_1T+R_1f_1-r_1F=\frac{2}{5}M_1R_1a_1 \\ T+f_2-M_2gsen\theta=M_2a_2 \\ r_2T-R_2f_2=\frac{2}{5}M_2R_2a_2 \\ a_1=\frac{a_2}{2}(1+\frac{r_2}{R_2}) \end{cases} \)

Partiamo da qui.

Proviamo a seguire un'altra strada, ovvero isolare $a_2$, o meglio, ottenere un'espressione di $a_2$ in funzione di soli termini noti ($r_1, r_2, R_1, R_2, M_1, M_2, F$ ecc).
Innanzitutto facciamo "sparire" $a_1$ dal nostro sistema. Al suo posto ci inseriremo $a_1=\frac{a_2}{2}(1+\frac{r_2}{R_2})$. Il sistema diventa
\( \begin{cases} -T-f_1+F-M_1gsen\theta=M_1\frac{a_2}{2}(1+\frac{r_2}{R_2}) \\ -R_1T+R_1f_1-r_1F=\frac{2}{5}M_1R_1\frac{a_2}{2}(1+\frac{r_2}{R_2}) \\ T+f_2-M_2gsen\theta=M_2a_2 \\ r_2T-R_2f_2=\frac{2}{5}M_2R_2a_2 \end{cases} \)

Ora guardiamo l'equazione 3) visto che è la più breve. Essa contiene $T, f_2$. Cerchiamo delle altre equazioni che ci consentano di esprimere $T, f_2$ in funzione della sola $a_2$.
Dalla 4) ricavo $f_2 = r_2/R_2T-\frac{2}{5}M_2R_2a_2/R_2 = r_2/R_2T-\frac{2}{5}M_2a_2 $. Qui dentro mi compare ancora T. Allora devo cercare di esplicare T in funzione di $a_2$.

Dalla 1) ricavo che $T = -f_1+F-M_1gsen\theta - M_1\frac{a_2}{2}(1+\frac{r_2}{R_2})$. Ma ecco che si intromette $f_1$.

Allora dalla 2) mi ricavo $f_1 = T + r_1/R_1F + \frac{2}{5}M_1\frac{a_2}{2}(1+\frac{r_2}{R_2}) $.

Ora posso partire con la sostituzione vera e propria. Sostituisco in $T = -f_1+F-M_1gsen\theta - M_1\frac{a_2}{2}(1+\frac{r_2}{R_2})$ l'equazione $f_1 = T + r_1/R_1F + \frac{2}{5}M_1\frac{a_2}{2}(1+\frac{r_2}{R_2}) $.

Così facendo dovrai ri-isolare $T$, ma l'avrai in funzione della sola $a_2$. Procedi così a ritroso e troverai la soluzione.
Questo è il metodo che di solito seguo io, non è ortodosso, ma mi sono abituato a ragionare così. In pratica scelgo un'incognita, la isolo e vado ad esplicitare tutte le altre variabili in funzione di quella sola incognita. Infine le sostituisco e trovo l'incognita.

[pisanivito]

grazie di tutto

[fender97]

Di nulla