Fino a quanti gradi è lecito parlare di piccole oscillazioni?
salve ragazzi, come ho scritto nel titolo della discussione la mia domanda riguarda le piccole oscillazioni. L'approssimazione di per se l ho capita ma vorrei sapere fino a quanti gradi è lecito ultizzarla, insomma queste oscillazioni quanto devono essere piccole?
Non so se sono nella sezione giusta ma è un tipo di approssimazione che in fisica ricorre spesso.
Grazie a chi sarà così gentile da rispondermi.
Ciao
Non so se sono nella sezione giusta ma è un tipo di approssimazione che in fisica ricorre spesso.
Grazie a chi sarà così gentile da rispondermi.
Ciao
Risposte
La risposta più sicura che ti si può dare è : dipende!
Di quali oscillazioni parli? Di quelle di un pendolo semplice, tanto per fare un esempio familiare agli studenti del primo anno di Fisica? Nella equazione differenziale che si ricava dalla legge del moto, si dice : se l'angolo $\theta$ è "piccolo" , posso assumere l'angolo stesso al posto di $sen \theta$ ….e si prosegue.
Prova a vedere tu stesso, con la macchinetta calcolatrice, quanto vale $sen \theta$ per angoli di 1º , 2º , 3º ….., e poi paragonali col valore in radianti degli stessi angoli : vedrai che differiscono di "poco" .
Ti accontenta sostituire il valore dell'angolo in radianti al posto del suo seno, supponendo che quel "poco" abbia scarsa influenza sul risultato? E allora sei a posto.
Ma ci possono essere casi in cui è sufficiente una approssimazione ancora più grossolana, o al contrario casi in cui è richiesta una maggiore accuratezza.
Perciò : dipende!
Di quali oscillazioni parli? Di quelle di un pendolo semplice, tanto per fare un esempio familiare agli studenti del primo anno di Fisica? Nella equazione differenziale che si ricava dalla legge del moto, si dice : se l'angolo $\theta$ è "piccolo" , posso assumere l'angolo stesso al posto di $sen \theta$ ….e si prosegue.
Prova a vedere tu stesso, con la macchinetta calcolatrice, quanto vale $sen \theta$ per angoli di 1º , 2º , 3º ….., e poi paragonali col valore in radianti degli stessi angoli : vedrai che differiscono di "poco" .
Ti accontenta sostituire il valore dell'angolo in radianti al posto del suo seno, supponendo che quel "poco" abbia scarsa influenza sul risultato? E allora sei a posto.
Ma ci possono essere casi in cui è sufficiente una approssimazione ancora più grossolana, o al contrario casi in cui è richiesta una maggiore accuratezza.
Perciò : dipende!
Alla risposta di navigatore (che saluto) aggiungerei la mia: il calcolo esatto del periodo del pendolo è cosa decisamente complicata, che porta ad un risultato esprimibile come serie di potenze dell'ampiezza angolare $theta_0$ del pendolo, i cui primi termini sono:
$T=2 pi sqrt(l/g)*(1+1/16 theta_0^2+11/3072 theta_0^4+...)$.
Ciò significa che l'errore relativo che commetti limitando lo sviluppo al termine di grado zero (cioè prendendo $T=sqrt(l/g)$) è dell'ordine di $1/16 theta_0^2$ ; ad esempio, per un'ampiezza angolare di $18°$, ovvero $pi/10$, l'errore relativo è dell'ordine di $1/16 pi^2/100 approx 0.0062$, poco più del 6 per mille.
$T=2 pi sqrt(l/g)*(1+1/16 theta_0^2+11/3072 theta_0^4+...)$.
Ciò significa che l'errore relativo che commetti limitando lo sviluppo al termine di grado zero (cioè prendendo $T=sqrt(l/g)$) è dell'ordine di $1/16 theta_0^2$ ; ad esempio, per un'ampiezza angolare di $18°$, ovvero $pi/10$, l'errore relativo è dell'ordine di $1/16 pi^2/100 approx 0.0062$, poco più del 6 per mille.
Grazie per i saluti Palliit, che ricambio di cuore 
E grazie anche per l'aggiunta molto accurata che hai scritto, e che non tutti i libri di Fisica riportano, anche perché generalmente agli inizi del corso di Fisica gli studenti non conoscono ancora lo sviluppo in serie di potenze di certe funzioni !
E grazie anche per l'aggiunta molto accurata che hai scritto, e che non tutti i libri di Fisica riportano, anche perché generalmente agli inizi del corso di Fisica gli studenti non conoscono ancora lo sviluppo in serie di potenze di certe funzioni !
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