Filo rettilineo

[francalanci]

In un filo rettilineo infinitamente lungo, di raggio >>R scorre corrente che non è uniformemente distribuita:
la sua densità J dipende dalla distanza r dall’asse del filo secondo la legge:
$J(r)=J_0*exp[−(r/R)^2]$ .
dove J0 è una costante assegnata ed r è la distanza dall’asse di simmetria.
Scrivere l’espressione del campo magnetico B(r) prodotto da tale corrente; dire se esistono punti in cui
divB≠0; dire se esistono punti in cui rotB≠0, indicando eventualmente a quali punti ci si riferisce in caso
affermativo o spiegando perché non esistono in caso negativo.
Io lo risolverei cosi:
mi ricavo la corrente sapendo che J(r)=I(r) / A quindi $I(r)=J(r)*A$ ovvero $I(r)=J(r)*pi*r^2$ Il campo magnetico di un filo infinitamente lungo è$B(r)=(mu_0*i)/(2*pi*r)$ quindi $B(r)=mu_0*(J_0*exp[−(r/R)^2]*pi*r^2)/(2*pi*r)$ che si può scrivere come $B(r)=mu_0*(J_0*exp[(r/R)^2]*r)/(2)$. La $nablaB!=0 " " \nexists r $ invece per il rotore $rotB!=0 " " AAr $ è corretto il ragionamento??

[francalanci]

la $nablaB!=0$ non può essere per la legge di maxwel mentre rispetto all asse del filo il $rotB$ è sempre diverso da zero qualsiasi sia R.è corretto il ragionamento e i conti fatti sopra?

[Sk_Anonymous]

La corrente che fluisce attraverso una generica sezione circolare di raggio $[0<=r<=R]$ vale:

$I(r)=\int_{0}^{r}drJ_0e^(−r^2/R^2)2pirdr=2piJ_0\int_{0}^{r}dre^(−r^2/R^2)rdr=$

$=2piJ_0[-R^2/2e^(−r^2/R^2)]_(0)^(r)=2piJ_0(-R^2/2e^(−r^2/R^2)+R^2/2)=piR^2J_0(1-e^(−r^2/R^2))$

Ora, vista la simmetria, per determinare il campo magnetico puoi utilizzare il teorema di Ampère:

$[0<=r<=R] rarr [B(r)2pir=mu_0I(r)] rarr [B(r)2pir=mu_0piR^2J_0(1-e^(−r^2/R^2))] rarr [B(r)=(mu_0R^2J_0)/2(1-e^(−r^2/R^2))/r]$

$[r>=R] rarr [B(r)2pir=mu_0I(R)] rarr [B(r)2pir=mu_0piR^2J_0(1-1/e)] rarr [B(r)=(mu_0R^2J_0)/2(1-1/e)/r]$

"francalanci":
$[I(r)=J(r)A] rarr [I(r)=J(r)pir^2]$

Solo se la densità di corrente fosse stata costante. Viceversa, devi integrare.