Fili metallici tra due lastre di vetro
Buonasera a tutti, ho questo problema di fisica che non riesco a risolvere:
Tra due lastre di vetro sovrapposte sono inseriti dei fili metallici di diametro d = 0,600 μm che le separano. Considerando solo l'interferenza della luce riflessa dal- la superficie inferiore della lastra superiore e la luce riflessa dalla superficie superiore della lastra inferiore, determina se ciascuna delle seguenti lunghezze d'onda dà luogo a interferenza costruttiva oppure distruttiva:
a. λ= 600,0 nm b. λ= 800,0 nm c. λ= 343,0 nm
Qualcuno può aiutarmi? Grazie
Tra due lastre di vetro sovrapposte sono inseriti dei fili metallici di diametro d = 0,600 μm che le separano. Considerando solo l'interferenza della luce riflessa dal- la superficie inferiore della lastra superiore e la luce riflessa dalla superficie superiore della lastra inferiore, determina se ciascuna delle seguenti lunghezze d'onda dà luogo a interferenza costruttiva oppure distruttiva:
a. λ= 600,0 nm b. λ= 800,0 nm c. λ= 343,0 nm
Qualcuno può aiutarmi? Grazie
Risposte
Onda riflessa dalla superficie superiore + quella riflessa dalla superficie inferiore (con fase opportuna):
$$\sin\left(\frac{2\pi x }{\lambda} \right) + \sin\left(\frac{2\pi (x + 2d) }{\lambda} \right)=$$
$$\sin\left(\frac{2\pi x }{\lambda} \right) + \sin\left(\frac{2\pi x }{\lambda} \right)\cos\left(\frac{2\pi 2d }{\lambda} \right) + \cos\left(\frac{2\pi x }{\lambda} \right)\sin\left(\frac{2\pi 2d }{\lambda} \right)=$$
$$\sin\left(\frac{2\pi x }{\lambda} \right) \left(1 + \cos\left(\frac{2\pi 2d }{\lambda} \right)\right) + \cos\left(\frac{2\pi x }{\lambda} \right)\sin\left(\frac{2\pi 2d }{\lambda} \right)$$
Ampiezza < 1: interferenza distruttiva:
$$\sqrt{\left(1 + \cos\left(\frac{2\pi 2d }{\lambda} \right)\right)^2 + \sin^2\left(\frac{2\pi 2d }{\lambda} \right)} < 1$$
$$\left(1 + \cos\left(\frac{2\pi 2d }{\lambda} \right)\right)^2 + \sin^2\left(\frac{2\pi 2d }{\lambda} \right) < 1$$
$$\cos\left(\frac{2\pi 2d }{\lambda} \right) < -\frac{1}{2}$$
$$\frac{1}{3}+n < \frac{ 2d }{\lambda} < \frac{2}{3}+n$$
$$\frac{6d}{1+3n} > \lambda > \frac{6d}{2+3n}$$
$$n= 0 \rightarrow 3.6 \mu\text{m} > \lambda > 1.8 \mu\text{m}$$
$$n= 1 \rightarrow 0.9 \mu\text{m} > \lambda > 0.72 \mu\text{m}$$
$$n= 2 \rightarrow 0.514 \mu\text{m} > \lambda > 0.45 \mu\text{m}$$
$$n= 3 \rightarrow 0.36 \mu\text{m} > \lambda > 0.327 \mu\text{m}$$
La a. e' costruttiva, la c. , la b. sono distruttive.
$$\sin\left(\frac{2\pi x }{\lambda} \right) + \sin\left(\frac{2\pi (x + 2d) }{\lambda} \right)=$$
$$\sin\left(\frac{2\pi x }{\lambda} \right) + \sin\left(\frac{2\pi x }{\lambda} \right)\cos\left(\frac{2\pi 2d }{\lambda} \right) + \cos\left(\frac{2\pi x }{\lambda} \right)\sin\left(\frac{2\pi 2d }{\lambda} \right)=$$
$$\sin\left(\frac{2\pi x }{\lambda} \right) \left(1 + \cos\left(\frac{2\pi 2d }{\lambda} \right)\right) + \cos\left(\frac{2\pi x }{\lambda} \right)\sin\left(\frac{2\pi 2d }{\lambda} \right)$$
Ampiezza < 1: interferenza distruttiva:
$$\sqrt{\left(1 + \cos\left(\frac{2\pi 2d }{\lambda} \right)\right)^2 + \sin^2\left(\frac{2\pi 2d }{\lambda} \right)} < 1$$
$$\left(1 + \cos\left(\frac{2\pi 2d }{\lambda} \right)\right)^2 + \sin^2\left(\frac{2\pi 2d }{\lambda} \right) < 1$$
$$\cos\left(\frac{2\pi 2d }{\lambda} \right) < -\frac{1}{2}$$
$$\frac{1}{3}+n < \frac{ 2d }{\lambda} < \frac{2}{3}+n$$
$$\frac{6d}{1+3n} > \lambda > \frac{6d}{2+3n}$$
$$n= 0 \rightarrow 3.6 \mu\text{m} > \lambda > 1.8 \mu\text{m}$$
$$n= 1 \rightarrow 0.9 \mu\text{m} > \lambda > 0.72 \mu\text{m}$$
$$n= 2 \rightarrow 0.514 \mu\text{m} > \lambda > 0.45 \mu\text{m}$$
$$n= 3 \rightarrow 0.36 \mu\text{m} > \lambda > 0.327 \mu\text{m}$$
La a. e' costruttiva, la c. , la b. sono distruttive.
Grazie mille, molto esaustivo.
@ Marco Catania
Poichè questi esercizi, tipicamente, fanno riferimento all'interferenza completamente costruttiva e distruttiva, puoi concludere con le solite formule. Inoltre, poichè, quando la luce passa da un mezzo otticamente meno denso a un mezzo otticamente più denso:
il raggio riflesso subisce uno sfasamento di $\pi$, alla differenza di cammino geometrico $2d$ è necessario aggiungere $\lambda/2$. In definitiva:
Poichè questi esercizi, tipicamente, fanno riferimento all'interferenza completamente costruttiva e distruttiva, puoi concludere con le solite formule. Inoltre, poichè, quando la luce passa da un mezzo otticamente meno denso a un mezzo otticamente più denso:
$n_1 lt n_2$
il raggio riflesso subisce uno sfasamento di $\pi$, alla differenza di cammino geometrico $2d$ è necessario aggiungere $\lambda/2$. In definitiva:
Interferenza completamente costruttiva
$n=1, 2, ...$
$[2d+\lambda/2=n\lambda] rarr [\lambda=(4d)/(2n-1)]$
Interferenza completamente distruttiva
$n=1, 2, ...$
$[2d+\lambda/2=(2n+1)\lambda/2] rarr [\lambda=(2d)/n]$
(a)
Interferenza completamente distruttiva$: [n=2] rarr [\lambda=d]$
(b)
Interferenza completamente costruttiva$: [n=2] rarr [\lambda=4/3d]$
(c)
Interferenza completamente costruttiva$: [n=4] rarr [\lambda=4/7d]$
Grazie grazie ancora.
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