FEM indotta su una spira
Salve a tutti.
Il testo dell'esercizio è il seguente:
Il mio ragionamento è stato il seguente.
Conosco il campo magnetico generato da un filo rettilineo infinitamente lungo:
\(\displaystyle B = \frac{\mu_0i}{2\pi R} \)
La "R" è la distanza del punto nel quale calcolo il campo magnetico...quindi la distanza del filo dalla spira?
Il primo lato o il secondo lato più lontano? Non so quale distanza prendere.
Ora mi trovo il flusso di B tramite:
\(\displaystyle \Phi(B) = \int{\vec{B} \cdot \vec{ds}}\)
Qui ho un altro problema..."ds" quale distanza sarebbe? Non riesco ad applicare bene le formule.
Alla fine, una volta che calcolo B, mi trovo la FEM indotta sostituendo la i e derivando:
\(\displaystyle \varepsilon_i = -\frac{d[\Phi(B)]}{dt}\)
Risolvo il problema con la legge di Ohm dato che ho la resistenza della spira e e la FEM indotta,
posso trovarmi la corrente nella spira:
\(\displaystyle \varepsilon_i = Ri \)
Come ragionamento dovrebbe essere giusto.
Il problema sono quelle due distanze.
Mi potete dare una mano?
Il testo dell'esercizio è il seguente:
Un filo rettilineo infinitamente lungo è percorso da una corrente \(\displaystyle i(t) = Kt\).
Una spira conduttrice quadrata di resistenza R e lato d, è disposta parallelamente al filo ad una distanza 2d da esso.
Calcolare la corrente che scorre nella spira.
Il mio ragionamento è stato il seguente.
Conosco il campo magnetico generato da un filo rettilineo infinitamente lungo:
\(\displaystyle B = \frac{\mu_0i}{2\pi R} \)
La "R" è la distanza del punto nel quale calcolo il campo magnetico...quindi la distanza del filo dalla spira?
Il primo lato o il secondo lato più lontano? Non so quale distanza prendere.
Ora mi trovo il flusso di B tramite:
\(\displaystyle \Phi(B) = \int{\vec{B} \cdot \vec{ds}}\)
Qui ho un altro problema..."ds" quale distanza sarebbe? Non riesco ad applicare bene le formule.
Alla fine, una volta che calcolo B, mi trovo la FEM indotta sostituendo la i e derivando:
\(\displaystyle \varepsilon_i = -\frac{d[\Phi(B)]}{dt}\)
Risolvo il problema con la legge di Ohm dato che ho la resistenza della spira e e la FEM indotta,
posso trovarmi la corrente nella spira:
\(\displaystyle \varepsilon_i = Ri \)
Come ragionamento dovrebbe essere giusto.
Il problema sono quelle due distanze.
Mi potete dare una mano?
Risposte
Per la tua prima domanda sì, è la distanza della spira dal filo ma tieni presente che devi tenerne conto nell'integrazione del campo non è un valore da mettere in $B$ e basta.
Per il $ds$ attento non è una distanza ma un elemento d'area. Puoi scomporlo in $d\cdot dr$ ed integri.
Per il $ds$ attento non è una distanza ma un elemento d'area. Puoi scomporlo in $d\cdot dr$ ed integri.
Per la tua prima domanda sì, è la distanza della spira dal filo ma tieni presente che devi tenerne conto nell'integrazione del campo non è un valore da mettere in $B$ e basta.
Per il $ds$ attento non è una distanza ma un elemento d'area. Puoi scomporlo in $d\cdot dr$ ed integri.
Grazie per la risposta.
Se R quindi è la distanza dal filo (il coseno del prodotto scalare è 0 in quanto B e ds hanno stessa direzione):
\( \displaystyle \Phi(B) = \int{\vec{B} \cdot \vec{ds}} = \int{\frac{\mu_0i}{2\pi R}} dR = \frac{\mu_0i}{2\pi } \int{\frac{dR}{R}} \)
L'integrale lo farei quindi da 2d a 3d ottenendo:
\(\displaystyle \Phi(B) = \frac{\mu_0i}{2\pi} \log(\frac{3}{2}) \)
Sostituendo il valore di \(\displaystyle i(t) = Kt \):
\(\displaystyle \Phi(B) = \frac{\mu_0Kt}{2\pi} \log(\frac{3}{2}) \)
Da qui in poi derivo il flusso tramite la legge di Faraday e poi mi trovo la FEM indotto.
E' giusto come procedura?
Sì hai mancato la $d$ nel flusso però.
"Nikikinki":
Sì hai mancato la $d$ nel flusso però.
In quale passaggio?
Non me la ritrovo
Quando hai integrato, l'area infinitesima è $dR$ moltiplicato per $d$. Altrimenti è una distanza non un'area.
"Nikikinki":
Quando hai integrato, l'area infinitesima è $dR$ moltiplicato per $d$. Altrimenti è una distanza non un'area.
Hai ragione!
Grazie per le dritte
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