Fasore e metodo simbolico
Buonasera, trovo un problema di concetto nel metodo simbolico dei fasori
Sostanzialmente da quanto ho capito il metodo permette di rappresentare una sinusoide prendendo solo la parte reale o immaginaria di un numero complesso (il fasore) che descrive il moto del vettore che spazza secondo la legge della funzione seno, ad esempio.
E' stato applicato ad un esempio di circuito RCL e con un generatore di $V(t)$, non disegno il cirrcuito perché è davvero semplice: generatore, resistenza, condensatore e induttanza prima di chiudersi sul generatore.
Scrive tale formula:
Notazione: $I_(Max)=I_M$
$V(t)=RI_Msin(\omegat)+1/C\intI_Msin(\omegat)dt+d(I_Msin(\omegat))/(dt)$
Da cui:
$V(t)=RI_Msin(\omegat)+1/(\omegaC)I_Msin(\omegat-pi/2)+\omegaLI_Msin(\omegat+pi/2)$ (1)
E fin qui tutto ok, poi la frase sibillina: Moltiplicare per j equivale a ruotare di $pi/2$, mentre per -j è la rotazione di $-pi/2$
Di seguito il mio ragionamento:
Nessun problema se non fosse che prende la (1) e la moltiplica per j (a seguire):
$V(t)=RI_Msin(\omegat)-j1/(\omegaC)I_Msin(\omegat)+j\omegaLI_Msin(\omegat)=(R+j(\omegaL-1/(\omegaC)))I_Msin(\omegat)$ da cui si trovano le varie impedenze. Tuttavia in realtà ha moltiplicato la parte immaginaria per j, non il fasore!
Il problema è proprio quel "moltiplicare per j", perché per quanto scrivevo nel quote in teoria dovrei moltiplicare il fasore (che è un numero complesso) e poi prenderne la parte complessa che ne consegue dopo la moltiplicazione per j (aka rotazione).
Mi aspettavo qualcosa del tipo:
$V(t)=RI_Msin(\omegat)-j1/(\omegaC)I_Mcos(\omegat)+j\omegaLI_Mcos(\omegat)$
Dove ho preso:
$(cos(\omegat+pi/2)+jsin(\omegat+pi/2))$, ho tolto la rotazione di pi/2 $(cos(\omegat)+jsin(\omegat))$
el'ho reintrodotta moltiplicandola per j: $j*(cos(\omegat)+jsin(\omegat))$ e prendendo la parte complessa dopo aver eseguito il prodotto, in tal caso è sì una rotazione.
Identicamente per $-pi/2$
Spero qualcuno possa aiutarmi, perché davvero non capisco la spiegazione del professore.
Grazie
Sostanzialmente da quanto ho capito il metodo permette di rappresentare una sinusoide prendendo solo la parte reale o immaginaria di un numero complesso (il fasore) che descrive il moto del vettore che spazza secondo la legge della funzione seno, ad esempio.
E' stato applicato ad un esempio di circuito RCL e con un generatore di $V(t)$, non disegno il cirrcuito perché è davvero semplice: generatore, resistenza, condensatore e induttanza prima di chiudersi sul generatore.
Scrive tale formula:
Notazione: $I_(Max)=I_M$
$V(t)=RI_Msin(\omegat)+1/C\intI_Msin(\omegat)dt+d(I_Msin(\omegat))/(dt)$
Da cui:
$V(t)=RI_Msin(\omegat)+1/(\omegaC)I_Msin(\omegat-pi/2)+\omegaLI_Msin(\omegat+pi/2)$ (1)
E fin qui tutto ok, poi la frase sibillina: Moltiplicare per j equivale a ruotare di $pi/2$, mentre per -j è la rotazione di $-pi/2$
Di seguito il mio ragionamento:
è corretto nel campo complesso, infatti:
$j(cos(\omegat)+jsin(\omegat))=(jcos(\omegat)+j*jsin(\omegat))=(-sin(\omegat)+jcos(\omegat))$
Ed è facile notare, usando gli angoli associati che considerando un angolo (argomento) aumentato di $pi/2$ (cioè una rotaione), equivale all'ultima della precedente:
$(cos(\omegat+pi/2)+jsin(\omegat+pi/2))=(-sin(\omegat)+jcos(\omegat))$
Nessun problema se non fosse che prende la (1) e la moltiplica per j (a seguire):
$V(t)=RI_Msin(\omegat)-j1/(\omegaC)I_Msin(\omegat)+j\omegaLI_Msin(\omegat)=(R+j(\omegaL-1/(\omegaC)))I_Msin(\omegat)$ da cui si trovano le varie impedenze. Tuttavia in realtà ha moltiplicato la parte immaginaria per j, non il fasore!
Il problema è proprio quel "moltiplicare per j", perché per quanto scrivevo nel quote in teoria dovrei moltiplicare il fasore (che è un numero complesso) e poi prenderne la parte complessa che ne consegue dopo la moltiplicazione per j (aka rotazione).
Mi aspettavo qualcosa del tipo:
$V(t)=RI_Msin(\omegat)-j1/(\omegaC)I_Mcos(\omegat)+j\omegaLI_Mcos(\omegat)$
Dove ho preso:
$(cos(\omegat+pi/2)+jsin(\omegat+pi/2))$, ho tolto la rotazione di pi/2 $(cos(\omegat)+jsin(\omegat))$
el'ho reintrodotta moltiplicandola per j: $j*(cos(\omegat)+jsin(\omegat))$ e prendendo la parte complessa dopo aver eseguito il prodotto, in tal caso è sì una rotazione.
Identicamente per $-pi/2$
Spero qualcuno possa aiutarmi, perché davvero non capisco la spiegazione del professore.
Grazie
Risposte
Non ha moltiplicato per $j$ ha estratto la fase dicendo che il seno diventa coseno, con relativo segno. O se preferisci ha moltiplicato per $j$ solo le quantità che serviva rifasare per raccogliere il seno.
Cerco di interpretare la risposta perché è la prima volta che vedo queste notazioni e non ci ho capito molto ammetto.
Questo non era un esecizio ma una parte della spigazione e non avendolo capito non capisco poi più nulla.
L'unica cosa certa è che scrive:
$V(t)=RI_Msin(\omegat)-j1/(\omegaC)I_Msin(\omegat)+j\omegaLI_Msin(\omegat)=(R+j(\omegaL-1/(\omegaC)))I_Msin(\omegat)$
In sostanza ha tolto la fase sfruttando le proprietà dei complessi
Ragiono solo su un termine, tanto poi è uguale per gli altri...
$\omegaLI_M(cos(\omegat+pi/2)+jsin(\omegat+pi/2))$ mi interessa la parte immaginaria,ma sfrutto la notazione complessa per poter scrivere:
$\omegaLI_M(cos(\omegat)+jsin(\omegat))(cos(pi/2)+jsin(pi/2))=\omegaLI_M(cos(\omegat),sin(\omegat))*j$
Da cui: $\omegaLI_M(jcos(\omegat)+j*jsin(\omegat))$
Quindi tenendo conto della sola parte complessa: $j\omegaLI_Mjsin(\omegat)$?
Ti ringrazio.
Questo non era un esecizio ma una parte della spigazione e non avendolo capito non capisco poi più nulla.
L'unica cosa certa è che scrive:
$V(t)=RI_Msin(\omegat)-j1/(\omegaC)I_Msin(\omegat)+j\omegaLI_Msin(\omegat)=(R+j(\omegaL-1/(\omegaC)))I_Msin(\omegat)$
In sostanza ha tolto la fase sfruttando le proprietà dei complessi
Ragiono solo su un termine, tanto poi è uguale per gli altri...
$\omegaLI_M(cos(\omegat+pi/2)+jsin(\omegat+pi/2))$ mi interessa la parte immaginaria,ma sfrutto la notazione complessa per poter scrivere:
$\omegaLI_M(cos(\omegat)+jsin(\omegat))(cos(pi/2)+jsin(pi/2))=\omegaLI_M(cos(\omegat),sin(\omegat))*j$
Da cui: $\omegaLI_M(jcos(\omegat)+j*jsin(\omegat))$
Quindi tenendo conto della sola parte complessa: $j\omegaLI_Mjsin(\omegat)$?
Ti ringrazio.
Un giro troppo largo stai confondendo pure me, molto semplicemente sul piano complesso e in notazione esponenziale
$j=e^(j\pi/2)=cos(\pi/2)+j sin(\pi/2)$ che è la rotazione di 90°(sempre nel piano complesso) )che manda il seno nel coseno, con il giusto segno a seconda dello sfasamento.
$j=e^(j\pi/2)=cos(\pi/2)+j sin(\pi/2)$ che è la rotazione di 90°(sempre nel piano complesso) )che manda il seno nel coseno, con il giusto segno a seconda dello sfasamento.
Ok, perfetto, manda il seno nel coseno, e quello che hai scritto mi pare sia quello che scrivevo nell'ultimo messaggio, solo non capisco poi come si ritrovi col seno alla fine.
Il passaggio sarebbe: $\omegaLI_M(jcos(\omegat)+j*jsin(\omegat))$ di cui prende la parte complessa $\omegaLI_Mjsin(\omegat))$?
Non capisco la frase manda il seno nel coseno, perché alloradovrebbe essere:
$\omegaLI_M(jcos(\omegat)+j*jsin(\omegat))=\omegaLI_M(-sin(\omegat)+jcos(\omegat))$ e prendendo la parte complessa sarebbe il coseno e non il seno: $\omegaLI_Mjcos(\omegat))$
Non riesco a capire epslicitamente cosa prenda, insomma i passaggi espliciti.
Il passaggio sarebbe: $\omegaLI_M(jcos(\omegat)+j*jsin(\omegat))$ di cui prende la parte complessa $\omegaLI_Mjsin(\omegat))$?
Non capisco la frase manda il seno nel coseno, perché alloradovrebbe essere:
$\omegaLI_M(jcos(\omegat)+j*jsin(\omegat))=\omegaLI_M(-sin(\omegat)+jcos(\omegat))$ e prendendo la parte complessa sarebbe il coseno e non il seno: $\omegaLI_Mjcos(\omegat))$
Non riesco a capire epslicitamente cosa prenda, insomma i passaggi espliciti.
Esci un attimo fuori da questo problema con tutte queste costanti e fumo negli occhi. Considera il piano complesso. Prendi un punto sull'asse reale. Moltiplicalo per j e finisci sull'asse immaginario. Questa è la rotazione. Ora un punto generico moltiplicato per j finisce nel ruotato di 90° e poi per trigonometria ti accorgi che il seno è diventato il coseno cambiato di segno ed il coseno diventa seno. Disegnati la circonferenza sul piano e confronta gli angoli, non so diversamente come dirlo.
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