Fase invariante di Lorentz

[Dal2]

Ciao ragazzi, volevo chiedervi se riuscite a spiegarmi perché la fase di un'onda è un invariante di Lorentz, cioè perché non cambia sotto trasformazioni di Lorentz tra sistemi inerziali. Ho trovato spiegazioni online ma sempre poco chiare, fanno riferimento solo al fatto che la fase viene determinata tramite conteggio di creste dell'onda, ma proprio non riesco a capire il passaggio logico che porta da questo al fatto che la fase sia invariante, e nemmeno capisco per quale motivo la fase venga determinata dal conteggio di creste dell'onda (in che modo può essere fatto se la fase è una grandezza continua mentre il conteggio delle creste è discreto?). Grazie in anticipo per il vostro tempo.

[Studente Anonimo]

Perché una generica trasformazione di Lorentz dal sistema di riferimento inerziale $S$ al sistema di riferimento inerziale $barS$:

$((bart),(barx),(bary),(barz))=((a_(11),a_(12),a_(13),a_(14)),(a_(21),a_(22),a_(23),a_(24)),(a_(31),a_(32),a_(33),a_(34)),(a_(41),a_(42),a_(43),a_(44)))((t),(x),(y),(z))$

non altera la forma dell'operatore di d'Alembert:

$1/c^2del_(bart)^2-del_(barx)^2-del_(bary)^2-del_(barz)^2=1/c^2del_(t)^2-del_(x)^2-del_(y)^2-del_(z)^2$

Per questo motivo, una soluzione, nel sistema di riferimento inerziale $S$, del tipo:

$A_0e^(i(\omegat-k_x x-k_y y-k_z z))$

deve trasformarsi in una soluzione, nel sistema di riferimento inerziale $barS$, del tipo:

$A_0e^(i(bar\omegabart-bark_x barx-bark_y bary-bark_z barz))$

con:

$\omegat-k_x x-k_y y-k_z z=bar\omegabart-bark_x barx-bark_y bary-bark_z barz$

Per quanto riguarda il conteggio delle creste, se fatto per il calcolo della frequenza o della lunghezza d'onda, entrambe non invarianti, non mi sembra corretto. Vero è che bisognerebbe leggere le spiegazioni di cui parli con maggiore cognizione di causa.

[4131]

Ma in generale quella che tu denoti con [tex]A_0[/tex] può trasformare rispetto al gruppo di Lorentz, se il campo in questione non è uno scalare (eg. vettore o spinore). Esempio

[tex]A^{\mu}=A_0^{\mu}e^{\mathsf{i}\phi}\rightsquigarrow A'^{\mu}=({\Lambda^{\mu}}_{\rho}{A_0}^{\rho})e^{\mathsf{i}\phi}.[/tex]

Se uno è pronto ad accettare che in meccanica quantistica [tex]p^\mu=\hbar k^\mu[/tex], allora [tex]k^\mu[/tex] è un 4-vettore così come lo è [tex]p^\mu[/tex], e la fase è un prodotto scalare [tex]k^\mu x^\nu\eta_{\mu\nu}[/tex], quindi necessariamente deve essere uno scalare.

Il discorso del contare i massimi di un'onda viene dal libro di elettrodinamica classica di Jackson[nota]pagg. 519,529, 3a ed.[/nota], e penso sia di tipo "costruttivista": sappiamo che [tex]\phi=k^\mu x_\mu[/tex] è uno scalare, [tex]x^{\mu}[/tex] è un 4-vettore, quindi [tex]k^\mu[/tex] è un 4-vettore rispetto al gruppo di Lorentz, e trasforma come tale.

[Studente Anonimo]

"413":
Ma in generale quella che tu denoti con [tex]A_0[/tex] può trasformare rispetto al gruppo di Lorentz, se il campo in questione non è uno scalare ...

Ovviamente, visto che si chiedevano delucidazioni solo sulla fase, ho discusso il caso più semplice.