[EX]svuotamento sbarra rotante con fluido dentro

[ansawo]

Un tubo orizzontale AB di lunghezza l ruota con
velocità angolare costante ω intorno ad un asse
verticale fisso OO’ che passa per l’estremità A
(vedi figura). Il tubo è riempito di un fluido ideale.
L’estremità A è aperta, l’estremità B presenta un
foro di diametro estremamente piccolo (rispetto a
cosa?). Trovare la velocità del fluido uscente in
funzione dell’ “altezza” della colonna h.
Cosa si può dire sul tempo totale di svuotamento
del tubo?

allego anche qua il link per la figura

http://www2.ing.unipi.it/g.triggiani/fi ... 2-0203.pdf

per la risoluzione ho pensato

intanto, che il forellino di uscita del fluido deve essere piccolo rispetto la sezione del tubo che ruota, così da aver in ogni istante una velocità di discesa del fluido ancora dentro trascurabile

poi mi sono messo nel sistema di riferimento ruotante, e praticamente il fluido invece di essere in un campo gravitazionale, è sottoposto alla forza centrifuga

quindi applicando bernoulli tra un punto sul pelo dell'acqua e un punto sul forellino di uscita si ha

$P_0 + \rho a_c h = P_0 + 1/2 \rho v^2$

con $a_c$ = accelerazione centrifuga

viene quindi

$ v = \omega sqrt(2(l-h)h)$

per quanto riguarda il tempo di svuotamento, più il foro è piccolo più è tendente a infinito...non dandoti la sezione del forellino non si può dire quanto sia ...

confermate il ragionamento?

*edit avevo sbagliato nella scrittura di alcune formule

[ansawo]

niente?

[Sk_Anonymous]

"eugeniobene58":
Per quanto riguarda il tempo di svuotamento...

Indicando con $$ la sezione del tubo e con $$ la sezione del foro, nell'ipotesi che $[s/S]$ sia molto minore dell'unità, potresti calcolare il tempo di svuotamento e farne il limite per $[s/S->0]$. Sempre che l'integrale sia fattibile s'intende.

[ansawo]

ci ho pensato un pochetto

se la velocità di uscita è quella che davvero ho trovato, per il tempo di svuotamento si ha che

$-(dV_(OL))/(dt)= v_(out) s$ con s la sezione del foto

$- S (dh)/(dt) = s \omega sqrt(2Lh - h^2)$

separando le variabili, e risolvendo rispetto a t si ottiene

$t = \int_{0}^{h} 1/(\omega sqrt(2Lh - h^2)) dh S/s$

questo integrale si può risolvere in quanto è una frazione, ma non è più di tanto interessante la forma esplicita...

si può notare che converge sia per $h \to 0$ che per $h \to L$...direi che quindi che, per $s/S \to 0$ il tempo tende a infinito

[Sk_Anonymous]

"eugeniobene58":
...se la velocità di uscita è quella che davvero ho trovato...

In effetti, mi sembra che tu abbia sbagliato qualcosa:

$[p_1-1/2rhoomega^2r_1^2+1/2rhov_1^2=p_2-1/2rhoomega^2r_2^2+1/2rhov_2^2] rarr$

$rarr [p_0-1/2rhoomega^2(l-h)^2=p_0-1/2rhoomega^2l^2+1/2rhov^2] rarr$

$rarr [-omega^2(l-h)^2=-omega^2l^2+v^2] rarr$

$rarr [v=omegasqrt(h(2l-h))]$

anche se, nell'ultimo messaggio, mi sembra che tu abbia utilizzato il mio stesso risultato. Per quanto riguarda il tempo di svuotamento:

$[svdt=-Sdh] rarr [somegasqrt(h(2l-h))dt=-Sdh] rarr [dt=-S/(somega)1/sqrt(h(2l-h))dh] rarr$

$rarr [t=S/(somega)\int_{0}^{l}1/sqrt(h(2l-h))dh]$

Insomma, il tuo estremo d'integrazione superiore non è corretto, probabilmente una svista.

"eugeniobene58":
...il tempo tende a infinito.

Concordo. A maggior ragione se l'integrale non fosse stato convergente per $[h->0^+]$.

[ansawo]

dei tuoi conti non capisco varie cose. come mai il $-1/2$ davanti al termine con $\rho \omega ^2$, e come mai, al membro sinistro, hai messo il termine $-1/2 \rho \omega ^2 l^2$....ma se il punto in cui applichi bernoulli lo prendi proprio li sul bordo, non è nullo quel termine?

[Sk_Anonymous]

Non sono proprio un esperto in materia, ma se adatti la nota equazione $[p+rhogh+1/2rhov^2=C]$ al tuo caso, si tratta di sostituire il termine $[rhogh]$, energia potenziale gravitazionale per unità di volume, con il termine $[-1/2rhoomega^2r^2]$, energia potenziale centrifuga per unità di volume, essendo $[r]$ la distanza dall'asse di rotazione. Per questo motivo il termine destro, non sinistro, dovrebbe valere $[-1/2rhoomega^2l^2]$. Scusa ma, non hai ottenuto anche tu lo stesso risultato?

[ansawo]

a...io nei conti non so come mai ma ho fatto un casino tremendo...per come l'ho impostato io non torna nemmeno il risultato che ho scritto inizialmente, che poi ho magicamente trasformato in un altro risultato ancora ...

[ansawo]

non disturbo ulteriormente, ci ragionerò su...