Ex.Fisica II,moto particelle in campo magnetico
metto il file pdf per completezza, cmq l'esercizio è questo
S rappresenta una sorgente che, ad un istante fi ssato, emette un gran
numero di particelle cariche (uguali a quella data) in ogni direzione, tutte con velocita ini-
ziale di modulo $v_0$; eè presente un campo magnetico uniforme $\vec B$ parallelo alla congiungente
SP.
3. Quali particelle potranno passare per il punto P ?
http://www.df.unipi.it/~penco/Ing/Mecc/ ... /PS08T.pdf
questo è il rimando all'esercizio completo
comunque non serve sapere cosa chiedeva prima. quando dice particelle uguali a quella data, vuol dire particelle di cui si conosce la massa e la carica. poi S è allineato nello spazio a un punto P, e la distanza tra S e P vale $l$ ed è nota
...io è un po' che ci ragiono e sono arrivato alla conclusione che solo quella che viene lanciata lungo la congiungente raggiunga P. solo che, come si sa, quando negli esercizi fanno certe domande, vuol dire che la risposta non è solo quella ovvia
dico che secondo me è una sola perchè tutte queste particelle che vengono lanciate da S si muoveranno su eliche con asse la congiungente SP. e quindi mi viene un po difficile pensare che altre particelle possano passare per P. vorrebbe dire che esiste una particella che, muovendosi su un elica, ha una traiettoria che o è tangente o interseca (una o infinite volte) SP.
ho provato anche a risolvere il problema a testa bassa con le equazioni del moto, ma è un macello e quindi non è di certo il modo migliore per procedere
S rappresenta una sorgente che, ad un istante fi ssato, emette un gran
numero di particelle cariche (uguali a quella data) in ogni direzione, tutte con velocita ini-
ziale di modulo $v_0$; eè presente un campo magnetico uniforme $\vec B$ parallelo alla congiungente
SP.
3. Quali particelle potranno passare per il punto P ?
http://www.df.unipi.it/~penco/Ing/Mecc/ ... /PS08T.pdf
questo è il rimando all'esercizio completo
comunque non serve sapere cosa chiedeva prima. quando dice particelle uguali a quella data, vuol dire particelle di cui si conosce la massa e la carica. poi S è allineato nello spazio a un punto P, e la distanza tra S e P vale $l$ ed è nota
...io è un po' che ci ragiono e sono arrivato alla conclusione che solo quella che viene lanciata lungo la congiungente raggiunga P. solo che, come si sa, quando negli esercizi fanno certe domande, vuol dire che la risposta non è solo quella ovvia
dico che secondo me è una sola perchè tutte queste particelle che vengono lanciate da S si muoveranno su eliche con asse la congiungente SP. e quindi mi viene un po difficile pensare che altre particelle possano passare per P. vorrebbe dire che esiste una particella che, muovendosi su un elica, ha una traiettoria che o è tangente o interseca (una o infinite volte) SP.
ho provato anche a risolvere il problema a testa bassa con le equazioni del moto, ma è un macello e quindi non è di certo il modo migliore per procedere
Risposte
"eugeniobene58":
metto il file pdf per completezza, cmq l'esercizio è questo
S rappresenta una sorgente che, ad un istante fi ssato, emette un gran
numero di particelle cariche (uguali a quella data) in ogni direzione, tutte con velocita ini-
ziale di modulo $v_0$; eè presente un campo magnetico uniforme $\vec B$ parallelo alla congiungente
SP.
3. Quali particelle potranno passare per il punto P ?
http://www.df.unipi.it/~penco/Ing/Mecc/ ... /PS08T.pdf
questo è il rimando all'esercizio completo
comunque non serve sapere cosa chiedeva prima. quando dice particelle uguali a quella data, vuol dire particelle di cui si conosce la massa e la carica. poi S è allineato nello spazio a un punto P, e la distanza tra S e P vale $l$ ed è nota
...io è un po' che ci ragiono e sono arrivato alla conclusione che solo quella che viene lanciata lungo la congiungente raggiunga P. solo che, come si sa, quando negli esercizi fanno certe domande, vuol dire che la risposta non è solo quella ovvia
Ok, un punto a tuo favore.
dico che secondo me è una sola perchè tutte queste particelle che vengono lanciate da S si muoveranno su eliche con asse la congiungente SP.
Nooo, è qui che sbagli. La retta SP è sul bordo dell'elica, non è l'asse. Cioè se immagini il cilindro che contiene l'elica, la retta SP è sul cilindro.
e quindi mi viene un po difficile pensare che altre particelle possano passare per P. vorrebbe dire che esiste una particella che, muovendosi su un elica, ha una traiettoria che o è tangente o interseca (una o infinite volte) SP.
ho provato anche a risolvere il problema a testa bassa con le equazioni del moto, ma è un macello e quindi non è di certo il modo migliore per procedere
Ma no che non è un macello... dai
da dove sei partito ?
cavolo! credevo che la congiungente fosse l'asse, mentre invece, come hai detto te è diciamo una generatrice del cilindro che contiene l'elica intera.
ma infatti mi torna! appena la particella parte con velocità $v_0$ sente subito la forza magnetica che la fa curvare. se partisse dall'asse vorrebbe dire che prima si dovrebbe muovere in linea retta, e poi curvare. che sciocco
comunque per quanto riguarda le equazioni del moto, bè, le particelle sentono la forza di lorentz, quella $\vec F = q \vec v xx \vec B$ con v velocità quindi, se si svolge il prodotto vettoriale si trovano le 3 equazioni del moto. ah prendo un riferimento con asse x parallelo la congiungente che punta verso destra, y perpendicolare a x sullo stesso piano del foglio che punta verso l'alto e z in modo che la terna sia destrorsa. con questo riferimento viene che $\vec B = B_0 \hat i$
$\{(m \ddot x = 0),(m \ddot y = qB_0 \dot z),(m \ddot z = qB_0 \dot y):}$
...che in effetti non sono un gran macello. ma infatti mi sono confuso. altre equazioni venivano un macello riguardanti il moto in un campo magnetico...
per la risoluzione comunque cosa devo fare? vabbe lasciando perdere quella su $\hat i$. derivo per esempio quella su y e la sostituisco $\ddot z$ in quella su z?
per quanto riguarda poi le condizioni al contorno...io pensavo di scrivere che la velocità iniziale fosse $v_0 \hat r$ con $\hat r = sin\theta cos\phi \hat i + sin\theta sin\phi \hat j + cos\theta \hat k$ con $\theta$ l'angolo con l'asse z e $\phi$ l'angolo tra la proiezione del raggio su xy e l'asse x presi positivi in senso antiorario. usare insomma le coordinate sferiche piuttosto che scrivere che $\vec v = a\hat i +b\hat j + c\hat k$, e che $a^2+b^2+c^2=v_0^2$
imponendo poi delle condizioni che legano periodo, velocità di traslazione e altre cose in modo che sia assicurato il passaggio per il punto si trovano gli angoli giusti
io ho ipotizzato che le particelle partissero anche non solo sul piano in figura, ma secondo voi va bene?
sono stato un po' puntiglioso nel definire le cose, spero mi perdoniate
ma infatti mi torna! appena la particella parte con velocità $v_0$ sente subito la forza magnetica che la fa curvare. se partisse dall'asse vorrebbe dire che prima si dovrebbe muovere in linea retta, e poi curvare. che sciocco
comunque per quanto riguarda le equazioni del moto, bè, le particelle sentono la forza di lorentz, quella $\vec F = q \vec v xx \vec B$ con v velocità quindi, se si svolge il prodotto vettoriale si trovano le 3 equazioni del moto. ah prendo un riferimento con asse x parallelo la congiungente che punta verso destra, y perpendicolare a x sullo stesso piano del foglio che punta verso l'alto e z in modo che la terna sia destrorsa. con questo riferimento viene che $\vec B = B_0 \hat i$
$\{(m \ddot x = 0),(m \ddot y = qB_0 \dot z),(m \ddot z = qB_0 \dot y):}$
...che in effetti non sono un gran macello. ma infatti mi sono confuso. altre equazioni venivano un macello riguardanti il moto in un campo magnetico...
per la risoluzione comunque cosa devo fare? vabbe lasciando perdere quella su $\hat i$. derivo per esempio quella su y e la sostituisco $\ddot z$ in quella su z?
per quanto riguarda poi le condizioni al contorno...io pensavo di scrivere che la velocità iniziale fosse $v_0 \hat r$ con $\hat r = sin\theta cos\phi \hat i + sin\theta sin\phi \hat j + cos\theta \hat k$ con $\theta$ l'angolo con l'asse z e $\phi$ l'angolo tra la proiezione del raggio su xy e l'asse x presi positivi in senso antiorario. usare insomma le coordinate sferiche piuttosto che scrivere che $\vec v = a\hat i +b\hat j + c\hat k$, e che $a^2+b^2+c^2=v_0^2$
imponendo poi delle condizioni che legano periodo, velocità di traslazione e altre cose in modo che sia assicurato il passaggio per il punto si trovano gli angoli giusti
io ho ipotizzato che le particelle partissero anche non solo sul piano in figura, ma secondo voi va bene?
sono stato un po' puntiglioso nel definire le cose, spero mi perdoniate
un'altra cosa. se per risolvere faccio come dico io, ottengo una equazione diff del 3° ordine, quindi mi servono 3 condizioni iniziali. ho posizione e velocità. ma per quanto riguarda accelerazione posso dire che l'accelerazione iniziale è nulla?
Niente equazioni del III ordine...
Quando hai a che fare con questi moti circolari, ricordati queste 3 equazioni (la seconda e la terza sono derivate della prima)
$x=Xcos(\omegat)$
$v=-X\omega \sin(\omegat)$
$a=-X\omega^2 \cos(\omegat)$
che cosa sono ? se prendi ad esempio il tuo elettrone che compie un moto circolare e proietti il moto su un asse (x oppure y),
queste 3 equazioni ti danno posizione, velocità, accelerazione.
Se prendi il max di queste 3 eq. hai
$max(x)=X$
$max(v)=X\omega$
$max(a)=X\omega^2$
bisognerebbe fare una cosa più rigorosa con l'analisi vettoriale, ma funziona anche così.
quindi deve essere che
$(max(a))/(max(v))=\omega$
abbiamo $\omega$ che è quello che ci serve.
L'accelerazione viene da $F=qBv_s$ da cui $a=(qBv_s)/(m)$
$v_s$ è la componente perpendicolare a $SP$ della velocità iniziale dell'elettrone $v_s=vsin\theta$.
Quindi
$(max(a))/(max(v))=\omega = ((qBv_s)/(m))/v_s= (qB)/m$
abbiamo $\omega$, quindi sappiamo che a fare un giro e a incrociare di nuovo l'asse SP, la particella ci mette un tempo
$T = (2\pi)/(\omega) = (2\pi m)/( q B)$.
Si vede anche come il periodo di un giro NON dipende dalla velocità.
Nel frattempo che gira la particella avanza con velocità $v_c=v\cos\theta$.
Quindi facciamo in modo che dopo un numero di giri $N=1,2,3,...$ la particella incroci l'asse SP.
Quindi $v_c\ T\ N = \bar (SP)$
da cui
$cos\theta = (\bar (SP))/(T\ N\ v)= (\bar(SP)\ q\ B)/(2\pi\ m\ N\ v)$.
Ora abbiamo tutto. Finito.
$cos \theta$ deve essere $<1$, quindi $cos\theta<1$, ma aumentando $N$ a piacere, si può sempre fare in modo che $cos\theta<1$.
Ad esempio se aumentiamo la distanza $\barSP$ in modo enorme, la particella dovrà fare molti giri prima di arrivare a destinazione, e questo è definito dal fatto che devo aumentare $N$ per riportare $\cos \theta $ sotto all'unità.
The end
Quando hai a che fare con questi moti circolari, ricordati queste 3 equazioni (la seconda e la terza sono derivate della prima)
$x=Xcos(\omegat)$
$v=-X\omega \sin(\omegat)$
$a=-X\omega^2 \cos(\omegat)$
che cosa sono ? se prendi ad esempio il tuo elettrone che compie un moto circolare e proietti il moto su un asse (x oppure y),
queste 3 equazioni ti danno posizione, velocità, accelerazione.
Se prendi il max di queste 3 eq. hai
$max(x)=X$
$max(v)=X\omega$
$max(a)=X\omega^2$
bisognerebbe fare una cosa più rigorosa con l'analisi vettoriale, ma funziona anche così.
quindi deve essere che
$(max(a))/(max(v))=\omega$
abbiamo $\omega$ che è quello che ci serve.
L'accelerazione viene da $F=qBv_s$ da cui $a=(qBv_s)/(m)$
$v_s$ è la componente perpendicolare a $SP$ della velocità iniziale dell'elettrone $v_s=vsin\theta$.
Quindi
$(max(a))/(max(v))=\omega = ((qBv_s)/(m))/v_s= (qB)/m$
abbiamo $\omega$, quindi sappiamo che a fare un giro e a incrociare di nuovo l'asse SP, la particella ci mette un tempo
$T = (2\pi)/(\omega) = (2\pi m)/( q B)$.
Si vede anche come il periodo di un giro NON dipende dalla velocità.
Nel frattempo che gira la particella avanza con velocità $v_c=v\cos\theta$.
Quindi facciamo in modo che dopo un numero di giri $N=1,2,3,...$ la particella incroci l'asse SP.
Quindi $v_c\ T\ N = \bar (SP)$
da cui
$cos\theta = (\bar (SP))/(T\ N\ v)= (\bar(SP)\ q\ B)/(2\pi\ m\ N\ v)$.
Ora abbiamo tutto. Finito.
$cos \theta$ deve essere $<1$, quindi $cos\theta<1$, ma aumentando $N$ a piacere, si può sempre fare in modo che $cos\theta<1$.
Ad esempio se aumentiamo la distanza $\barSP$ in modo enorme, la particella dovrà fare molti giri prima di arrivare a destinazione, e questo è definito dal fatto che devo aumentare $N$ per riportare $\cos \theta $ sotto all'unità.
The end
grazie mille quinzio. avevo le idee abbastanza confuse e per questo non riuscivo a mettere in pratica niente
comunque un ultima cosa. trovato $cos \theta$ si hanno due angoli. c'è quindi da controllare che tutti e due vadano bene?
poi, con $\theta$ consideri indifferentemente l'angolo tra SP e un altra retta nello stesso piano, ma anche su un altro piano, tanto non cambia niente, no?
poi, con $\theta$ consideri indifferentemente l'angolo tra SP e un altra retta nello stesso piano, ma anche su un altro piano, tanto non cambia niente, no?
"eugeniobene58":
comunque un ultima cosa. trovato $cos \theta$ si hanno due angoli. c'è quindi da controllare che tutti e due vadano bene?
Sono i due angoli opposti $\theta$ e $-\theta$. Cambia il verso in cui procede l'elica.
poi, con $\theta$ consideri indifferentemente l'angolo tra SP e un altra retta nello stesso piano, ma anche su un altro piano, tanto non cambia niente, no?
Si, non cambia niente. $\theta$ è l'angolo tra la retta SP e il vettore $v_0$ iniziale.
Il vettore $v_0$ può ruotare attorno alla retta, non cambia nulla.
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