[EX] Velocità medie
Problema:
Consideriamo un punto materiale che compie un moto unidimensionale con legge oraria $x=x(t)$, $t in I$ (in cui $I sube RR$ è un intervallo nonvuoto e non ridotto ad un solo punto).
Supponiamo che la velocità $v=v(t) := x^\prime (t)$ sia maggiore o uguale a $0$ in $I$ e non nulla su alcun intervallo $Jsube I$, sicché il moto è anche unidirezionale (perché $x$ è strettamente crescente).
Come noto, la velocità media del punto materiale nell'intervallo $[t_1,t_2] sube I$ è data da $bar(v) = (x_2-x_1)/(t_2-t_1)$ in cui $x_k =x(t_k)$ per $k=1,2$, ossia:
$bar(v) = 1/(t_2-t_1)*int_(t_1)^(t_2) v(t)\ "d"t$,
cosicché la velocità media coincide con la media integrale della funzione $v$ sull'intervallo di tempo $[t_1,t_2]$.
Molte volte, tuttavia, capita che la velocità del moto sia espressa (o si possa esprimere più facilmente) come funzione della posizione $x$, cioè come $v=v(x)$: si pensi al caso della caduta di un grave (in cui $v=sqrt(2gx)$, con $g$ accelerazione di gravità) o a quello di un moto armonico semplice (che ha $v=omega sqrt(A^2 - x^2)$, con $A$ ampiezza ed $omega$ pulsazione).
Ci si può chiedere se la media integrale di $v$ rispetto allo spazio percorso:
$hat(v) := 1/(x_2-x_1)*int_(x_1)^(x_2) v(x)" d"x$
coincida o meno con la velocità media $bar(v)$ del moto.
Questo è il punto del problema...
1. Calcolare $bar(v)$ ed $hat(v)$ nel caso dei due moti citati sopra (caduta del grave e moto armonico) e constatare che $bar(v) <= hat(v)$.
2. Dimostrare che per ogni moto unidimensionale ed unidirezionale si ha $bar(v)<=hat(v)$ e che $bar(v)=hat(v)$ se e solo se $v="costante"$ in $[t_1,t_2]$.
3. Spiegare fisicamente perché deve essere $bar(v)<=hat(v)$.
Consideriamo un punto materiale che compie un moto unidimensionale con legge oraria $x=x(t)$, $t in I$ (in cui $I sube RR$ è un intervallo nonvuoto e non ridotto ad un solo punto).
Supponiamo che la velocità $v=v(t) := x^\prime (t)$ sia maggiore o uguale a $0$ in $I$ e non nulla su alcun intervallo $Jsube I$, sicché il moto è anche unidirezionale (perché $x$ è strettamente crescente).
Come noto, la velocità media del punto materiale nell'intervallo $[t_1,t_2] sube I$ è data da $bar(v) = (x_2-x_1)/(t_2-t_1)$ in cui $x_k =x(t_k)$ per $k=1,2$, ossia:
$bar(v) = 1/(t_2-t_1)*int_(t_1)^(t_2) v(t)\ "d"t$,
cosicché la velocità media coincide con la media integrale della funzione $v$ sull'intervallo di tempo $[t_1,t_2]$.
Molte volte, tuttavia, capita che la velocità del moto sia espressa (o si possa esprimere più facilmente) come funzione della posizione $x$, cioè come $v=v(x)$: si pensi al caso della caduta di un grave (in cui $v=sqrt(2gx)$, con $g$ accelerazione di gravità) o a quello di un moto armonico semplice (che ha $v=omega sqrt(A^2 - x^2)$, con $A$ ampiezza ed $omega$ pulsazione).
Ci si può chiedere se la media integrale di $v$ rispetto allo spazio percorso:
$hat(v) := 1/(x_2-x_1)*int_(x_1)^(x_2) v(x)" d"x$
coincida o meno con la velocità media $bar(v)$ del moto.
Questo è il punto del problema...
1. Calcolare $bar(v)$ ed $hat(v)$ nel caso dei due moti citati sopra (caduta del grave e moto armonico) e constatare che $bar(v) <= hat(v)$.
2. Dimostrare che per ogni moto unidimensionale ed unidirezionale si ha $bar(v)<=hat(v)$ e che $bar(v)=hat(v)$ se e solo se $v="costante"$ in $[t_1,t_2]$.
3. Spiegare fisicamente perché deve essere $bar(v)<=hat(v)$.
Risposte
Dovresti proporre una tua soluzione, o Moderatore globale 
E' un problema tipo la sezione "pensare un po' di più"?
Mi pare comunque più matematica che fisica, intuitivamente dal punto di vista fisico si può capire che eseguendo una media integrale sui tempi si vanno sempre a pesare di più le velocità basse (il punto materiale passa più tempo a bassa velocità), rispetto allo stesso moto mediato con le posizioni in cui le velocità non sono pesate col tempo trascorso a quella velocità ma solo con la posizione appunto. Il caso limite è un corpo che decelera moltissimo alla fine (a valori alti di $x$).
E' un problema tipo la sezione "pensare un po' di più"?
Mi pare comunque più matematica che fisica, intuitivamente dal punto di vista fisico si può capire che eseguendo una media integrale sui tempi si vanno sempre a pesare di più le velocità basse (il punto materiale passa più tempo a bassa velocità), rispetto allo stesso moto mediato con le posizioni in cui le velocità non sono pesate col tempo trascorso a quella velocità ma solo con la posizione appunto. Il caso limite è un corpo che decelera moltissimo alla fine (a valori alti di $x$).
È un problema che propongo alla community, o Faussone. Si vede che qui non siete abituati. 
La soluzione ce l'ho, ovviamente... Se non vi piace lo sposto in Analisi, ma dovresti saperlo meglio di me che (in Matematica come in Fisica) "intuitivamente" è solo metà del gioco.
La soluzione ce l'ho, ovviamente... Se non vi piace lo sposto in Analisi, ma dovresti saperlo meglio di me che (in Matematica come in Fisica) "intuitivamente" è solo metà del gioco.
"gugo82":
È un problema che propongo alla community, o Faussone. Si vede che qui non siete abituati.
Lo avevo capito. Era una battuta.
..e immaginavo che avessi la soluzione in testa, o in tasca.
"gugo82":
Se non vi piace lo sposto in Analisi, ma dovresti saperlo meglio di me che (in Matematica come in Fisica) "intuitivamente" è solo metà del gioco.
Ovvio, infatti la mia non pretendeva minimamente di essere una soluzione e nemmeno un abbozzo di soluzione, era solo poco più di una riflessione sul punto di vista fisico.
Forse in Analisi avrà più probabilità di avere risposte, qui non saprei.
Mi stai dicendo che i Fisici hanno bisogno di un paio di...
Suggerimenti:
Suggerimenti:
Facciamo la parte interessante:
"gugo82":
Problema:
[...]
2. Dimostrare che per ogni moto unidimensionale ed unidirezionale si ha $ bar(v)<=hat(v) $ e che $ bar(v)=hat(v) $ se e solo se $ v="costante" $ in $ [t_1,t_2] $.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo