[EX] - Energia elettrostatica, $(n+1)$-esimo problema

[Plepp]

Salve ragazzi.
Sto facendo un esercizio, la situazione iniziale è questa:

"Plepp, disperato,":Abbiamo due conduttori $A$ (carico con carica $q$) e $B$ (cavo, neutro) sferici concentrici; $A$ ha un raggio esterno $R_1$, mentre $B$ ha un raggio interno $R_2>R_1$ e un raggio esterno $R_3$; suppongo sia chiaro che $A$ è posto all'interno di $B$. Devo determinare il campo elettrostatico $E(r)$, dove $r$ è la distanza dal centro $O$ comune ad entrambi i conduttori.

Si suppone poi di depositare una carica $q_\star$ sulla superficie esterna di $B$. Mi si chiede di calcolare la variazione di energia elettrostatica, $\Delta U$.

Nella situazione iniziale, si ha (sia $E$ il campo elettrostatico, $\tau$ il volume del sistema in cui c'è campo)
\[U=\int_\tau \dfrac{1}{2}\varepsilon_0 E^2 \text{d}\tau=\cdots=\dfrac{q^2}{4\pi\varepsilon_0}\left(\dfrac{1}{R_1}-\dfrac{1}{R_2}\right)\]
Il libro conferma. Nella situazione finale, mi pare, non dovrebbe esser cambiato un tubo, poiché il conduttore esterno funge da schermo elettrostatico, e quindi, all'interno, non c'interessa nulla di quel che succede all'esterno. Sbaglio?
Il libro, invece, afferma sì che il campo $E$ è rimasto com'era (all'interno) nella situazione iniziale (e qui mi trovo), MA dice che c'è stata una variazione di energia elettrostatica ovvero che nella nuova configurazione il sistema ha un diverso valore di energia elettrostatica...ma come può essere possibile questo se, come dice, $E$ rimane costante in entrambe le configurazioni???

[Plepp]

UP

[Plepp]

UP$_2$

[Plepp]

Ciao Palliit. Il discorso è questo: il volume $\tau$ a cui è esteso l'integrale, stando al libro, è quello interno al condensatore (quindi lo spazio compreso tra i due conduttori sferici). Ma nel volume interno ($R_1

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[Palliit]

Ciao. Posso sbagliarmi, nel qual caso ringrazio anticipatamente chi mi correggerà, ma c'è qualcosa che non mi torna nel risultato che dài per l'energia $U$ calcolata come integrale della densità $1/2epsilon_0 E^2$, e anche nel tuo ultimo post.

Intanto mi sembra che manchi un $1/2$ nel risultato, ma la cosa che meno mi spiego è questa: il campo elettrico, nello stato iniziale, esiste anche al di fuori del guscio, quindi l'integrale adrebbe calcolato anche per $r>R_3$. Altrimenti detto, io farei:

[tex]U_i=\int _{\tau }\frac{1}{2}\epsilon _{0}E^2\mathrm{d}\tau =\frac{1}{2}\epsilon _{0}\left ( \int_{R_1}^{R_2}E^2 4\pi r^2\mathrm{d}r +\int_{R_3}^{+\infty }E^2 4\pi r^2\mathrm{d}r \right )=\frac{1}{2}\frac{q^2}{4\pi\epsilon _0}\left ( \frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3} \right )[/tex].

Dopo aver depositato la carica $q_\star$ sul guscio, questa ovviamente si dispone sulla superficie esterna e modifica il campo soltanto all'esterno del guscio; per cui il campo elettrico rimane invariato, rispetto a prima, per $rR_3$ diventa equivalente a quello di una carica puntiforme $q+q_\star$ posta nel centro del sistema (di nuovo, si verifica col teorema di Gauss). Facendo lo stesso calcolo di prima allora si ottiene:

[tex]U_f=\frac{1}{2}\epsilon _{0}\left ( \int_{R_1}^{R_2}E^2 4\pi r^2\mathrm{d}r +\int_{R_3}^{+\infty }E^2 4\pi r^2\mathrm{d}r \right )=\frac{1}{2}\left ( \int_{R_1}^{R_2}\frac{q^2}{4\pi \epsilon_0r^2} \mathrm{d}r+\int_{R_3}^{+\infty }\frac{(q+q_{\star})^2}{4\pi \epsilon_0r^2}\mathrm{d}r \right )=[/tex]

[tex]=\frac{1}{2}\frac{q^2}{4\pi \epsilon_0}\left ( \frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2} \right )+\frac{1}{2}\frac{(q+q_{\star})^2}{4\pi \epsilon_0}\frac{1}{R_3}[/tex].

La differenza $U_(f) -U_i$ dovrebbe essere il $Delta U$ richiesto. Sbaglio?

[Plepp]

Si Palliit, ho dimenticato di scrivere $1/2$ Però la tua $U_i$ non corrisponde a quella che dà il libro; in effetti, secondo la definizione, quanto vale il campo all'esterno non ci interessa. Spero di sbagliarmi, ma la vedo difficile: l'energia di un condensatore sferico viene calcolata in un esercizio svolto, uno dei pochi chiari e fatti a dovere.

[Palliit]

Questo però non si può trattare come un condensatore sferico perchè le due sfere A e B sono isolate rispetto all'esterno, a meno che $q_\star=-q$, credo.

[Plepp]

"Palliit":Questo però non si può trattare come un condensatore sferico perchè le due sfere A e B sono isolate rispetto all'esterno, a meno che $q_\star=-q$, credo.

In che senso? Cosa mi sono perso?

[Palliit]

In un condensatore l'armatura che si carica per induzione può farlo soltanto se le cariche di segno opposto possono sfuggire per contatto con un sistema di capacità elettrostatica infinita, o altrimenti detto se possono allontanarsi in modo tale da non risultare più influenti sul sistema. In questo caso il campo elettrico è totalmente confinato nello spazio compreso tra le due armature. Viceversa, il campo si estende anche all'esterno.
Pensa ad un esempio elementare, un condensatore piano: se carichi l'armatura (A) con una carica $+Q$, sull'altra, (B), si accumulano una carica $-Q$ sulla superficie che "guarda" verso (A), ed una carica $+Q$ sulla superficie di (B) più lontana da (A). Se (B) è isolata dall'esterno, non si può affermare che si sia caricata ed il campo elettrico all'esterno del condensatore non sarà nullo. Se invece permetti - per esempio con un filo molto lungo - alla carica $+Q$ di sfuggire dall'armatura (B) e di allontanarsi indefinitamente, o di distribuirsi su un conduttore di capacità infinita, allora è corretto dire che (B) ha carica opposta ad (A) ed il campo elettrico è confinato tra le due armature ed è nullo fuori, ed il modello classico del condensatore funziona.

In questo senso dicevo che il sistema si comporta da condensatore solo se $q_\star=-q$, perchè in tal caso il campo elettrico è esclusivamente tra la sfera centrale ed il guscio.