[EX] - Elettrostatica, $n$-esimo problema

[Plepp]

Salve ragazzi,
ho l'ennesimo problema con l'elettrostatica

Abbiamo due conduttori $A$ (carico con carica $q$) e $B$ (cavo, neutro) sferici concentrici; $A$ ha un raggio esterno $R_1$, mentre $B$ ha un raggio interno $R_2>R_1$ e un raggio esterno $R_3$; suppongo sia chiaro che $A$ è posto all'interno di $B$. Devo determinare il campo elettrostatico $E(r)$, dove $r$ è la distanza dal centro $O$ comune ad entrambi i conduttori.

Bene. Per $R_2R_3$ il campo è quello prodotto da una distribuzione superficiale sferica nei punti esterni alla sfera $B$ (carica con carica $q$, per effetto dell'induzione completa):
\[\vec{E}(r)=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec{u}_r\qquad (1)\]
I miei problemi sono:
• cosa accade quando $r=R_3$ o $r=R_2$ o $r=R_1$ (insomma, proprio nei punti delle diverse superfici)??? Quanto vale il campo???
• perchè, quando $R_1

Quanto alla prima, non ho la più pallida idea della risposta: il libro non ne parla, o quanto meno fa delle affermazioni mooolto equivoche e apparentemente contraddittorie tra loro.

Per quanto riguarda l'ultimo problema, io sarei stato portato a dire che il campo $E(r)$, per $R_1
Illuminatemi, vi prego, ché brancolo nel buio!

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EDIT: (*) ho pensato una cosa: non è che per caso il campo $E$ (sempre per $R_1

[Plepp]

UP

[Plepp]

Nessuno?

[Palliit]

Ciao. Per quanto riguarda il tuo secondo dubbio, sul campo elettrico per $R_1R_3$.

Rispetto al primo dubbio, cioè quanto valga il campo esattamente nei punti della superficie, a volte si trova, nel caso di un conduttore sferico carico di raggio $R$, di campo nullo per $r=R$; ho dei dubbi anch'io, è fuori discussione che il campo abbia una discontiuità in $r=R$ ma non è chiaro se sia continuo a destra o a sinistra, personalmente direi che non ha molto senso accanirsi a capire quanto vale il campo in un punto (esattamente sulla superficie) quando le ossevazioni possono essere effettuate solo nell'immediato interno (quindi con $rR$) della superficie.

[Plepp]

Ciao Pallit! Innanzitutto grazie

"Palliit":Ciao. Per quanto riguarda il tuo secondo dubbio, sul campo elettrico per $R_1R_3$.

Ok. Io però non mi spiego perché (stando a quella espressione) la carica $-q$ che compare, per induzione, sulla superficie interna $r=R_2$ non produca campo. Solo nel caso fosse vero quello che ho scritto nel P.S., la cosa avrebbe senso (per me, naturalmente )

"Palliit":Rispetto al primo dubbio, cioè quanto valga il campo esattamente nei punti della superficie, a volte si trova, nel caso di un conduttore sferico carico di raggio $R$, di campo nullo per $r=R$; ho dei dubbi anch'io, è fuori discussione che il campo abbia una discontiuità in $r=R$ ma non è chiaro se sia continuo a destra o a sinistra, personalmente direi che non ha molto senso accanirsi a capire quanto vale il campo in un punto (esattamente sulla superficie) quando le ossevazioni possono essere effettuate solo nell'immediato interno (quindi con $rR$) della superficie.

Era giusto una curiosità, per capire a fondo la situazione. Il mio libro, diciamo, "se ne lava le mani", scrivendo nelle soluzioni cose del genere:
• per $r\le R_1$ il campo vale TOT;
• per $R_1\le r\le R_2$ il campo vale TOT$_2\ne$TOT
(insomma, secondo il libro il campo $E$ è una sottospecie di funzione polidroma nel punto $r=R_1$ )

[Palliit]

Se vuoi un approccio meno qualitativo: nel caso della carica sferica, campo e potenziale elettrico possono essere trattati come funzioni di una variabile, e vale $E(r)= - (dV(r))/(dr)$; per $r=R$ il potenziale ha un punto angoloso, in quanto è $V(r)=K_0 q/r$ per $r>=R$, mentre è costante $V(r)=V(R)=K_0 q/R$ per $r

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[Palliit]

"Plepp":Ok. Io però non mi spiego perché (stando a quella espressione) la carica $-q$ che compare, per induzione, sulla superficie interna $r=R_2$ non produca campo. Solo nel caso fosse vero quello che ho scritto nel P.S., la cosa avrebbe senso (per me, naturalmente )

In questo problema è come se ci fossero tre gusci concentrici carichi, ognuno crea campo esclusivamente al proprio esterno (cioè per $r>R_i$, $i=1,2,3$). Il guscio di raggio $R_2$ dà campo soltanto per $r>R_2$, cioè il suo effetto si fa sentire all'interno dello spessore di B (e difatti lì il campo risultante è nullo per la sovrapposizione di quello generato da A e dalla carica distribuita sulla superficie di raggio $R_2$) e fuori dall'intero sistema, dove però a questo punto interviene anche il campo della carica distribuita sulla superficie di raggio $R_3$ (che per raggi inferiori non dà effetti), col risultato che i campi prodotti dalle cariche distribuite su B si annullano ed il risultante è quello dovuto alla sola carica di A.

[Arilive]

Ciao! Mi ricordo quell'esercizio... Sempre il Mazzoldi, Nigro, Voci, eh? Quel libro mi sta rodendo l'anima.. Cmq, per capire quel tipo di esercizi, ti consiglio di leggerti le pagine sul flusso del campo elettrico o sul Teorema di Gauss (per inciso, pagine 62, 63 3 seguenti)... Lì troverai la spiegazione anche di ciò che accade se r uguale a R1 o a R2. Per quanto riguarda il secondo quesito, puoi aiutarti sempre sfruttando il teorema di Gauss e il concetto di Induzione.. la carica \(\displaystyle -q \) è ininfluente ai fini della risoluzione dell'esercizio, semplicemente perchè per Gauss si considerano solo le cariche contenute all'interno della superficie, in questo caso delimitata da R1 e R2, cioè solo \(\displaystyle +q \). Infatti, la carica negativa non è contenuta all'interno della superficie considerata, perciò può essere ignorata.. O almeno io ho ragionato così nel risolvere l'esercizio! Spero di averti aiutata..

ps. O alternativamente, considera una superficie sferica gaussiana di raggio r compreso tra R1 ed R2: il flusso del campo elettrico attraverso questa superficie è sempre dato da \(\displaystyle E (4\pi r^2 )\), ma si sa che nelle vicinanze di un conduttore è \(\displaystyle E=\sigma/\epsilon \), perciò alla fine sostituendo la carica ottieni \(\displaystyle E = q1/(4 \pi\epsilon0r^2)\), come si voleva. La carica negativa indotta sull'altra superficie non si considera, perchè non è contenuta nel volume racchiuso dalla superficie. Ciao

[Plepp]

Mamma mia, che disperazione...Grazie ragazzi! Mettendo insieme le vostre risposte ci sono arrivato! (questa volta c'è un "concorso di colpa" tra me, che sono fuso, e il libro non è solo colpa sua). Grazie infinite

Ah, se avete tempo/voglia, date un'occhiata al $(n+1)$-esimo problema