[EX] Dinamica del corpo rigido, sbarretta, coppa emisferica
In una coppa emisferica una sbarretta rigida scivola verticalmente toccando con un suo estremo Asul fondo ed appoggiandosi al bordo. Quando A transita per la posizione caratterizzata da un angolo $\theta = 60°$ rispetto all'orizzontale la sua velocità è $v_A = 7 ms^-1$. Determinare la velocità posseduta allo stesso istante dal punto B della sbarra in contatto con il bordo della coppa.
Io sinceramente oltre a dire che in A c'è un vincolo di contatto, mentre in B il contatto è istantaneo, per il momento non saprei cosa dire. Cosa ne pensate?
Io sinceramente oltre a dire che in A c'è un vincolo di contatto, mentre in B il contatto è istantaneo, per il momento non saprei cosa dire. Cosa ne pensate?
Risposte
Sma' , non perdiamoci in queste cose.
Energia potenziale nella posizione 1 e 2, si fa la differenza, la differenza è diventata energia cinetica.
Energia cinetica -> velocità (occhio che non è così banale come sembra).
Energia potenziale nella posizione 1 e 2, si fa la differenza, la differenza è diventata energia cinetica.
Energia cinetica -> velocità (occhio che non è così banale come sembra).
Non posso trovare direttamente un rapporto tra la velocità nei due punti differenti senza ricorrere alla conservazione dell'energia meccanica? Comunque sia non riesco a capire, e darmi una risposta, su come trovare nel medesimo istante la velocità della sbarretta nel punto B.
Il vettore velocità in A è tangente alla coppa emisferica? Nel punto B è diretto lungo la sbarretta?
Il vettore velocità in A è tangente alla coppa emisferica? Nel punto B è diretto lungo la sbarretta?
Il vettore velocità (applicato nel mezzo della sbarretta) è sempre tangenziale al profilo della coppa.
Devi per forza usare la conservazione dell'energia, altrimenti devi passare da un'equazione differenziale che è praticamente uguale a quella del pendolo e non è risolvibile analiticamente. Infatti tutti i calcoli sul pendolo semplice sono fatti in due modi: o usando la conservazione dell'energia appunto, oppure limitandosi a piccole oscillazioni, nelle quali il seno dell'angolo è approssimato all'angolo stesso.
Quando passi dall'energia cinetica alla velocità deve tenere conto che la sbarretta ruota oltre che fare una traslazione.
Devi per forza usare la conservazione dell'energia, altrimenti devi passare da un'equazione differenziale che è praticamente uguale a quella del pendolo e non è risolvibile analiticamente. Infatti tutti i calcoli sul pendolo semplice sono fatti in due modi: o usando la conservazione dell'energia appunto, oppure limitandosi a piccole oscillazioni, nelle quali il seno dell'angolo è approssimato all'angolo stesso.
Quando passi dall'energia cinetica alla velocità deve tenere conto che la sbarretta ruota oltre che fare una traslazione.
"Quinzio":
Il vettore velocità (applicato nel mezzo della sbarretta) è sempre tangenziale al profilo della coppa.
mmm non ne sono molto convinto. Nel punto A sono d'accordo che il vettore velocità sia tangente alla coppa emisferica, ma circa il punto B avrei dei dubbi
Secondo me nel punto B il vettore velocità è diretto lungo la sbarretta e forse possiamo trovare una relazione. Cioè $v_B = v_A\ \cos \alpha$ ovvero la velocità lungo la sbarretta nei due punti deve essere identica, quindi a secondo membro c'è la componente del vettore velocità in A. Tuttavia l'angolo incognito si può capire quanto vale?
Forse non ho capito il problema. Da come lo interpreto io è un problema puramente cinematico: si chiede la velocità all'estremo della barretta nota la velocità dell'altro estremo.
La soluzione si trova tenendo conto di come la barretta è vincolata a muoversi.
Io calcolerei il centro di rotazione istantanea della barretta...
La soluzione si trova tenendo conto di come la barretta è vincolata a muoversi.
Io calcolerei il centro di rotazione istantanea della barretta...
Interessante...per la cronaca il risultato è 6.06 m/s
Per adesso non ci sono riuscito
Per adesso non ci sono riuscito
"smaug":
Interessante...per la cronaca il risultato è 6.06 m/s
Per adesso non ci sono riuscito
Infatti: $7 sqrt(3)/2 = 6.06$; contrariamente a come faccio ho scritto stavolta solo il calcolo finale, per confermare che l'interpretazione era giusta, comunque il procedimento l'ho già accennato nel messaggio precedente (la conservazione dell'energia non c'entra).
PS: In realtà si chiede la velocità nel punto di contatto tra asta e emisfera, non la velocità dell'altro estremo, come avevo scritto nel messaggio precedente, la sostanza non cambia comunque.
Io non ho capito cosa intendi per calcolo del centro di rotazione istantanea della barretta.
Secondo te il mio ragionamento è errato? Cioè in B il vettore velocità è diretto lungo la sbarretta e in A invece è tangente alla coppa, ma in A il vettore lo proetto lungo il prolungamento BA (imponendo che le velocità siano uguali), per cui vale $v_B = v_A\ \cos \alpha$
Sperimentalmente per venire quel risultato $\alpha$ deve essere 30° ma non capisco perchè dovrebbe essere la metà di $\theta$
Secondo te il mio ragionamento è errato? Cioè in B il vettore velocità è diretto lungo la sbarretta e in A invece è tangente alla coppa, ma in A il vettore lo proetto lungo il prolungamento BA (imponendo che le velocità siano uguali), per cui vale $v_B = v_A\ \cos \alpha$
Sperimentalmente per venire quel risultato $\alpha$ deve essere 30° ma non capisco perchè dovrebbe essere la metà di $\theta$
"smaug":
Secondo te il mio ragionamento è errato? Cioè in B il vettore velocità è diretto lungo la sbarretta e in A invece è tangente alla coppa,
Corretto.
"smaug":
ma in A il vettore lo proetto lungo il prolungamento BA (imponendo che le velocità siano uguali), per cui vale $v_B = v_A\ \cos \alpha$
Qui non capisco cosa vuoi dire.
Il corpo è rigido, pero i punti in A e in B possono avere velocità diverse.
Il moto istantaneo di un corpo rigido può sempre essere visto come una rotazione pura attorno ad un punto, detto centro di rotazione istantanea.
Conoscendo completamente velocità in A e la direzione della velocità in B il centro di rotazione lo trovo facilmente all'intersezione della retta per A diretta come il raggio dell'emisfera e della retta per B perpendicolare alla barretta, proprio perché le velocità in A e in B sono rotazioni interno a tale centro.
Noto quello è facile trovare il modulo della velocità in B.
Intendevo una cosa del genere. Il vettore della velocità in B lo posso uguagliare alla proezione del vettore VA su la retta BA? Ho pensato che si possa fare poichè il corpo è rigido ed inestensibile. Tuttavia in questo modo io non ho capito come calcolarmi l'angolo $\alpha$ conoscendo $\theta$
(il fatto che in A il vettore velocità sia tangente alla coppa, mentre in B è diretto lungo la sbarretta, l'ho solo intuito ma non so bene il motivo, potresti spiegarmelo?)
Quindi il centro di rotazione è quello del disegno, però non ho capito come ti trovi la velocità in B!
La condizione che esprimi non ha senso: quella proiezione non esprime la maniera come la barra è vincolata.
Se vuoi una soluzione che non si basa sui centri di rotazione dovesti scrivere:
$||vec B + vec v_B Delta t - (vec A + vec v_A Delta t)|| = ||vec B -vec A||$
Per $Delta t$ piccolo a piacere. Sapendo la velocità vettoriale in A e la direzione della velocità in B, puoi calcolarti il modulo della velocità in B, facendo i conti giusti dovrebbe alla fine rimanere una condizione algebrica semplice, trascurando infinitesimi di ordine superiore a $Delta t$. In ogni caso l'approccio col centro di rotazione è molto più semplice e non comporta quasi alcun calcolo.
Il motivo per cui il vettore in A è diretto in direzione tangente alla calotta è evidente visto che l'estremo A deve rimanere sulla calotta, il motivo per cui il vettore B è diretto lungo la barretta è dovuto al fatto che in B la barretta deve rimanere aderente al bordo della calotta quindi la velocità ortogonale alla barretta in B deve essere nulla, altrimenti la barretta si staccherebbe da B.
Il centro di rotazione non è dove lo hai disegnato (circa al centro della calotta) visto che la retta per B deve essere ortogonale alla barretta.
Trovato il centro C sai che
$v_B = omega ||vec B - vec C||$
e
$v_A = omega ||vec A - vec C||$
un sistema di due equazioni in due incognite ($omega$ e $v_B$).
NB: siccome so che hai l'abitudine di fare domande a raffica, ti dico subito che non risponderò a ulteriori questioni, prima di aver visto che hai ragionato da te a sufficienza su quanto ti ho scritto.
Se vuoi una soluzione che non si basa sui centri di rotazione dovesti scrivere:
$||vec B + vec v_B Delta t - (vec A + vec v_A Delta t)|| = ||vec B -vec A||$
Per $Delta t$ piccolo a piacere. Sapendo la velocità vettoriale in A e la direzione della velocità in B, puoi calcolarti il modulo della velocità in B, facendo i conti giusti dovrebbe alla fine rimanere una condizione algebrica semplice, trascurando infinitesimi di ordine superiore a $Delta t$. In ogni caso l'approccio col centro di rotazione è molto più semplice e non comporta quasi alcun calcolo.
Il motivo per cui il vettore in A è diretto in direzione tangente alla calotta è evidente visto che l'estremo A deve rimanere sulla calotta, il motivo per cui il vettore B è diretto lungo la barretta è dovuto al fatto che in B la barretta deve rimanere aderente al bordo della calotta quindi la velocità ortogonale alla barretta in B deve essere nulla, altrimenti la barretta si staccherebbe da B.
Il centro di rotazione non è dove lo hai disegnato (circa al centro della calotta) visto che la retta per B deve essere ortogonale alla barretta.
Trovato il centro C sai che
$v_B = omega ||vec B - vec C||$
e
$v_A = omega ||vec A - vec C||$
un sistema di due equazioni in due incognite ($omega$ e $v_B$).
NB: siccome so che hai l'abitudine di fare domande a raffica, ti dico subito che non risponderò a ulteriori questioni, prima di aver visto che hai ragionato da te a sufficienza su quanto ti ho scritto.
Guarda ora che mi hai parlato del centro di rotazione istantaneo ho capito il tuo ragionamento, il problema si riduce a trovare le distanze da C ai punti A e B
Grazie mille
Grazie mille
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