EX corpo sottoposto a forza proporzionale alla quota
Un corpo di massa m viene sollevato dal suolo applicando una forza F che dipende dalla
quota y della salita secondo la formula F=2(ky-1)mg, dove k è una costante positiva.
Trovare sia il lavoro svolto dalla forza F che l’incremento di energia potenziale
gravitazionale del corpo durante la prima metà della salita.
risoluzione
siccome F è diretta come g, si ha che
$F = -2(ky - 1)mg$
dalla prima cardinale poi viene fuori un'equazione differenziale
$m \ddot y = -2(ky - 1)mg - mg$
$=>$ $\ddot y + 2ky = g$ (y è la quota, e la direzione positiva è verso l'alto)
la soluzione generale è quindi
$y(t) = A sin(\omega t) + B cos(\omega t)$ con A e B le costanti da determinare e $\omega = sqrt(2kg)$
impongo i dati iniziali e trovo che
$y = -1/(2k) cos(\omega t) + 1/k$
$\dot y = 1/(2k) \omega sin(\omega t)$
metto $v=o$ per vedere quando si ferma e trovo
$\bar t = \pi /\omega$
metto quel tempo nella formula $y(t)$ e trovo $y(\bar t)= 3/(2 k)$
siccome vuole sapere il lavoro fatto durante mezza salita farò l'integrale
$W = \int_0^\bar y F dy$ con $\bar y= 3/(4 k)$
solo che ho un dubbio...ma devo mettere un meno davanti a quell'integrale?? o viene semplicemente
$W = \int_0^\bar y -2(ky - 1)mg dy$ ?
e per quanto riguarda l'ultima domanda...per definizione dovrebbe essere
$\Delta U = -W$ in quanto F dovrebbe essere conservativa, perchè, essendo il moto dell'oggetto armonico, non ci devono essere grandi dispersioni di energia...
mi confermate tutto??
quota y della salita secondo la formula F=2(ky-1)mg, dove k è una costante positiva.
Trovare sia il lavoro svolto dalla forza F che l’incremento di energia potenziale
gravitazionale del corpo durante la prima metà della salita.
risoluzione
siccome F è diretta come g, si ha che
$F = -2(ky - 1)mg$
dalla prima cardinale poi viene fuori un'equazione differenziale
$m \ddot y = -2(ky - 1)mg - mg$
$=>$ $\ddot y + 2ky = g$ (y è la quota, e la direzione positiva è verso l'alto)
la soluzione generale è quindi
$y(t) = A sin(\omega t) + B cos(\omega t)$ con A e B le costanti da determinare e $\omega = sqrt(2kg)$
impongo i dati iniziali e trovo che
$y = -1/(2k) cos(\omega t) + 1/k$
$\dot y = 1/(2k) \omega sin(\omega t)$
metto $v=o$ per vedere quando si ferma e trovo
$\bar t = \pi /\omega$
metto quel tempo nella formula $y(t)$ e trovo $y(\bar t)= 3/(2 k)$
siccome vuole sapere il lavoro fatto durante mezza salita farò l'integrale
$W = \int_0^\bar y F dy$ con $\bar y= 3/(4 k)$
solo che ho un dubbio...ma devo mettere un meno davanti a quell'integrale?? o viene semplicemente
$W = \int_0^\bar y -2(ky - 1)mg dy$ ?
e per quanto riguarda l'ultima domanda...per definizione dovrebbe essere
$\Delta U = -W$ in quanto F dovrebbe essere conservativa, perchè, essendo il moto dell'oggetto armonico, non ci devono essere grandi dispersioni di energia...
mi confermate tutto??
Risposte
daii, solo una piccola conferma per sapere se ciò che ho pensato è giusto...se è completamente sbagliato non vorrei continuare nell'errore
Il lavoro è $ \vec F \cdot d \vec s$, quindi se forza e spostamento hanno direzioni opposte, il lavoro è negativo.
perfetto...e quindi la variazione di energia potenziale è positiva...perfetto
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