Evoluzione forzata di un circuito RL, regime sinusoidale
Ciao a tutti, sto avendo problemi nello scrivere la soluzione al problema di questo circuito, il testo è il seguente:
Il circuito in figura è a regime per t < 0. Successivamente il generatore di tensione e(t9 si spegne. Determinare l'andamento della corrente dell'induttore, i_L (t), -inf < t < +inf
Ecco il circuito: http://i.imgur.com/JmSYDcf.png
Ho agito in questo modo: ho dapprima considerato i due casi, t < 0 e t > 0 (che è quello che ci interessa), per t < 0 ho applicato la sovrapposizione degli effetti e mi sono trovato i due valori da sommare di i_L(t), il primo per e(t)=0 è -2,5 A, il secondo per J=0 è 35,73cos(50t - 0,23).
La mia domanda è: come si scrive la soluzione di questo problema? Ho molti dubbi su evoluzione libera e forzata, in particolare per questo circuito ho pensato, siccome il termine di evoluzione libera compare quando i generatori sono spenti, significa che qui non posso avere un termine di evoluzione libera in quanto sia per t<0 che per t>0 c'è sempre un generatore attivo. In questo caso, per scrivere il termine di evoluzione forzata, come trovo il termine della corrente che passa nell'induttore a regime? Io ho diviso la corrente in due servendomi della sovrapposizione degli effetti, ma quale dei due termini è quello a regime? Inoltre, per quanto riguarda la condizione iniziale?
Spero ci sia qualcuno disposto a risolvere i miei dubbi, gli sarei veramente grato.
Il circuito in figura è a regime per t < 0. Successivamente il generatore di tensione e(t9 si spegne. Determinare l'andamento della corrente dell'induttore, i_L (t), -inf < t < +inf
Ecco il circuito: http://i.imgur.com/JmSYDcf.png
Ho agito in questo modo: ho dapprima considerato i due casi, t < 0 e t > 0 (che è quello che ci interessa), per t < 0 ho applicato la sovrapposizione degli effetti e mi sono trovato i due valori da sommare di i_L(t), il primo per e(t)=0 è -2,5 A, il secondo per J=0 è 35,73cos(50t - 0,23).
La mia domanda è: come si scrive la soluzione di questo problema? Ho molti dubbi su evoluzione libera e forzata, in particolare per questo circuito ho pensato, siccome il termine di evoluzione libera compare quando i generatori sono spenti, significa che qui non posso avere un termine di evoluzione libera in quanto sia per t<0 che per t>0 c'è sempre un generatore attivo. In questo caso, per scrivere il termine di evoluzione forzata, come trovo il termine della corrente che passa nell'induttore a regime? Io ho diviso la corrente in due servendomi della sovrapposizione degli effetti, ma quale dei due termini è quello a regime? Inoltre, per quanto riguarda la condizione iniziale?
Spero ci sia qualcuno disposto a risolvere i miei dubbi, gli sarei veramente grato.
Risposte
E' possibile spostare la discussione in ingegneria? Forse ho sbagliato sezione 
Puoi lasciarlo anche qui, ma non usare server esterni per l'immagine, meglio allegarla usando l'opzione "Aggiungi immagine" sulla parte inferiore della finestra di inserimento messaggio
Per la componente continua dovuta al GIC ok, ma anche senza fare nessun calcolo, direi che la componente sinusoidale non è corretta in quanto con un GIT equivalente da 5 volt e con un'impedenza equivalente maggiore di 40 ohm non possiamo avere un modulo così alto per la corrente; puoi postare il suo calcolo?
La soluzione per t<0 la scrivi sommando quelle due ottenute dalla sovrapposizione e poi, dalla soluzione complessiva per
t < 0 , andrai a determinare la condizione iniziale iL(0) per t=0 e da quel valore potrai poi studiare l'evoluzione per t > 0.
"djanthony93":
... per t < 0 ho applicato la sovrapposizione degli effetti e mi sono trovato i due valori da sommare di i_L(t), il primo per e(t)=0 è -2,5 A, il secondo per J=0 è 35,73cos(50t - 0,23).
Per la componente continua dovuta al GIC ok, ma anche senza fare nessun calcolo, direi che la componente sinusoidale non è corretta in quanto con un GIT equivalente da 5 volt e con un'impedenza equivalente maggiore di 40 ohm non possiamo avere un modulo così alto per la corrente; puoi postare il suo calcolo?
"djanthony93":
... La mia domanda è: come si scrive la soluzione di questo problema?
La soluzione per t<0 la scrivi sommando quelle due ottenute dalla sovrapposizione e poi, dalla soluzione complessiva per
t < 0 , andrai a determinare la condizione iniziale iL(0) per t=0 e da quel valore potrai poi studiare l'evoluzione per t > 0.
Hai ragione, ho sbagliato i calcoli, li ho rifatti ed ecco i risultati penso corretti:
la corrente i_L per J=0 è uguale a 0,090-0,057i quindi è uguale a 0,106cos(50t - 0,57). Per t<0 sommo i due valori della corrente che sarà uguale a 0,106cos(50t-0,57) - 2,5 da cui la condizione iniziale i_L(0) = -2,41 A, è corretto così?
Sul testo da cui ho studiato è scritto che un circuito è in evoluzione forzata quando le condizioni iniziali delle variabili di stato degli elementi dinamici sono nulle, invece su un altro testo viene riportato che un circuito è in evoluzione forzata quando sono attivi dei generatori. Sono molto confuso. Il circuito in questione non è sempre in evoluzione forzata dato che il generatore stazionario di corrente è sempre attivo?
la corrente i_L per J=0 è uguale a 0,090-0,057i quindi è uguale a 0,106cos(50t - 0,57). Per t<0 sommo i due valori della corrente che sarà uguale a 0,106cos(50t-0,57) - 2,5 da cui la condizione iniziale i_L(0) = -2,41 A, è corretto così?
Sul testo da cui ho studiato è scritto che un circuito è in evoluzione forzata quando le condizioni iniziali delle variabili di stato degli elementi dinamici sono nulle, invece su un altro testo viene riportato che un circuito è in evoluzione forzata quando sono attivi dei generatori. Sono molto confuso. Il circuito in questione non è sempre in evoluzione forzata dato che il generatore stazionario di corrente è sempre attivo?
"djanthony93":
... la corrente i_L per J=0 è uguale a 0,090-0,057i quindi è uguale a 0,106cos(50t - 0,57). Per t<0 sommo i due valori della corrente che sarà uguale a 0,106cos(50t-0,57) - 2,5 da cui la condizione iniziale i_L(0) = -2,41 A, è corretto così?
Si, ad ogni modo ti consiglio di usare come standard tre cifre significative e quindi ok per il modulo ma per la fase avrai -0.559.
"djanthony93":
... Sul testo da cui ho studiato è scritto che un circuito è in evoluzione forzata quando le condizioni iniziali delle variabili di stato degli elementi dinamici sono nulle, invece su un altro testo viene riportato che un circuito è in evoluzione forzata quando sono attivi dei generatori.
In generale bisognerebbe prima definire quale sia il "sistema" e quali i suoi ingressi e le sue uscite, e solo poi parlare di evoluzione "forzata" quando ci sta qualcuno che "forza" il sistema, ad ogni modo in un circuito elettrico per "evoluzione forzata" si intende andare a ricavare la risposta dovuta ai soli generatori forzanti con condizioni iniziali nulle, mentre per "evoluzione libera" andare a ricavare l'evoluzione relativa alle sole condizioni iniziali.
Nel tuo caso, inizialmente la rete è forzata sia dal GIT sia dal GIC per t < 0 e quindi andrai a determinarti le sole due risposte forzate, mentre per t > 0 è forzata solo dal GIC ma parte da una condizione iniziale diversa da zero (iL(0)) e quindi dovrai ricavarle entrambe.
Ora, per continuare, e ricavare l'evoluzione per t > 0, potrai andare a sovrapporre la risposta transitoria a quella stazionaria a regime (forzata dal GIC), ovvero partire dall'equazione differenziale in iL(t) associata alla rete, e scrivere l'integrale generale come somma dell'integrale dell'omogenea associata e di un integrale particolare, ma vista la semplicità della rete L-R, se ti ricordi la forma generale della prima e quella particolare della seconda, la scrivi in meno di un minuto.
Scusami, continuo a non capire, come faccio a capire quando c'è il termine transitorio e quando quello di regime? Cioè, quando c'è un evoluzione libera e quando una forzata? Puoi spiegarmelo prendendo in esempio questo circuito?
"djanthony93":
... come faccio a capire quando c'è il termine transitorio e quando quello di regime?
Quando viene data una rete come la tua, nella quale ad un particolare istante (normalmente assunto come t=0) avviene un cambiamento delle condizioni circuitali (chiusura o apertura di un interruttore, accensione o spegnimento di uno o più generatori), normalmente il testo assicura che il circuito si trova "a regime" per t < 0 (e se non lo specifica lo si intende sottinteso) e non potrebbe essere altrimenti, in quanto gli eventi della "storia circuitale" necessitano di "date" e se non ci vengono date le "date", non potremmo che supporre che il circuito si sia stabilizzato in un certo "regime" per t < 0.
Nel tuo particolare circuito per t=0 il GIT si "spegne" e quindi questo cambiamento vedrà il circuito "reagire" al fine di evolvere verso un nuovo "regime" (se ne esiste uno); questo passaggio fra un regime e un altro regime avverrà in un certo intervallo di tempo (teoricamente anche infinito) e in questo intervallo avremo uno stato circuitale "intermedio" detto "transitorio" che raccorderà il regime iniziale a quello finale. Sostanzialmente per farti un esempio banale vedilo come:
a) djanthony93 è seduto sulla sedia da "molto tempo" ... stabilmente ... e si trova quindi in un "regime stazionario 1"
b) al tempo t=0 qualcuno sega una gamba alla sedia e djanthony93 che comincia a cadere ... "transitorio" ...
c) ,,, dopo un tempo sufficientemente lungo djanthony93 si trova "stabilmente" steso a terra ..."regime stazionario 2".
Ho capito la spiegazione, quindi il termine di evoluzione libera quando compare nella soluzione?
In questo caso invece?
In questo caso invece?
Cerco di essere un po' più chiaro; se consideriamo la tua rete come il "sistema" costituito dalla serie delle sole R ed L, considerando come ingresso il GIT (di tensione E) e come uscita la corrente iL (che è anche variabile di stato), dove (tanto per chiarire), nel tuo caso particolare, R ed E sono i parametri del circuito equivalente secondo Thevenin "visto" dall'induttore
[fcd="fig.1"][FIDOCAD]
FJC A 0.4
FJC B 0.4
EV 50 55 60 65 0
MC 70 45 0 0 ihram.res
MC 115 45 2 0 ihram.indutt
LI 85 45 95 45 0
LI 95 45 95 45 0
LI 115 45 130 45 0
LI 130 45 130 45 0
LI 55 45 70 45 0
LI 70 45 70 45 0
LI 55 45 55 75 0
LI 55 75 130 75 0
LI 130 75 130 45 0
LI 130 45 130 45 0
TY 76 36 4 3 0 1 0 * R
TY 105 35 4 3 0 1 0 * L
MC 130 56 1 0 074
MC 104 49 0 0 074
RV 65 30 120 85 13
FCJ 1 0
TY 44 56 4 3 0 1 15 * E
TY 136 56 4 3 0 0 15 * iL(t)
TY 76 52 4 3 0 0 15 * iL(0)=-2.41A
TY 51 49 4 3 0 1 15 * +[/fcd]
avremo che, ricavata per t=0 la condizione iniziale iL(0)=-2.41A, potremo ottenete iL(t) per t > 0 attraverso la somma di:
a) una risposta libera $i_{L_l}(t)$ dovuta alla sola condizione iniziale con (la forzante di) ingresso (GIT) "spento"
[fcd="fig.2"][FIDOCAD]
FJC A 0.4
FJC B 0.4
MC 70 45 0 0 ihram.res
MC 115 45 2 0 ihram.indutt
LI 85 45 95 45 0
LI 95 45 95 45 0
LI 115 45 130 45 0
LI 130 45 130 45 0
LI 55 45 70 45 0
LI 70 45 70 45 0
LI 55 45 55 75 0
LI 55 75 130 75 0
LI 130 75 130 45 0
LI 130 45 130 45 0
TY 76 36 4 3 0 1 0 * R
TY 105 35 4 3 0 1 0 * L
MC 130 55 1 0 074
MC 102 50 0 0 074
RV 65 30 120 85 13
FCJ 1 0
TY 74 53 4 3 0 0 15 * iL(0)=-2.41A
TY 135 56 4 3 0 0 15 * iLl(t)[/fcd]
che, detto $\tau=L/R$, porterà a
$i_{L_l}(t)=i_L(0)e^(-t/\tau)$
b) e di una risposta forzata iLf(t) dovuta al solo GIT "acceso", con condizioni iniziali nulle
[fcd="fig.3"][FIDOCAD]
FJC A 0.4
FJC B 0.4
EV 55 60 65 70 0
MC 75 50 0 0 ihram.res
MC 120 50 2 0 ihram.indutt
LI 90 50 100 50 0
LI 100 50 100 50 0
LI 120 50 135 50 0
LI 135 50 135 50 0
LI 60 50 75 50 0
LI 75 50 75 50 0
LI 60 50 60 80 0
LI 60 80 135 80 0
LI 135 80 135 50 0
LI 135 50 135 50 0
TY 81 41 4 3 0 1 0 * R
TY 110 40 4 3 0 1 0 * L
MC 135 60 1 0 074
MC 109 54 0 0 074
RV 70 35 125 90 13
FCJ 1 0
TY 49 61 4 3 0 1 15 * E
TY 140 60 4 3 0 0 15 * iLf(t)
TY 95 58 4 3 0 0 15 * iL(0)=0
TY 56 54 4 3 0 1 15 * +[/fcd]
che, detta $i_L(\infty)=E/R$, porta a
$i_{L_f}(t)=i_L(\infty)(1-e^{-t/\tau})$
E quindi la risposta completa sarà
$i_L(t)=i_{L_l}(t)+i_{L_f}(t)=i_L(0)e^(-t/\tau)+i_L(\infty)(1-e^{-t/\tau})$
A questo punto però, possiamo notare come detta risposta completa possa anche essere vista come somma di:
i) una risposta "transitoria" (che tende a zero col passare del tempo)
$i_{L_t}(t)=[i_L(0)-i_L(\infty)]e^(-t/\tau)$
ii) e di una risposta "a regime", in questo caso costante, alla quale l'uscita arriva a stabilizzarsi dopo un tempo infinito
$i_{L_r}(t)=i_L(\infty)$
In elettrotecnica/elettronica si segue normalmente quest'ultima strada, ovvero si va a scrivere la corrente nell'induttore come somma di una parte transitoria e di una a regime
$i_{L}(t)=ke^(-t/\tau)+ i_L(\infty)$
e si va a determinare la costante k usando la condizione iniziale ottenendo, in casi particolarmente semplici come questo, una relazione notevole da tenere in memoria.
$i_{L}(t)=[i_L(0)-i_L(\infty)]e^(-t/\tau)+ i_L(\infty)$
Come puoi notare la risposta libera e lquella transitoria sono del tutto simili come "forma", in quanto corrispondono entrambe all'integrale generale della equazione differenziale omogenea associata alla rete, la differenza risiede solo nel calcolo dei coefficienti.
[fcd="fig.1"][FIDOCAD]
FJC A 0.4
FJC B 0.4
EV 50 55 60 65 0
MC 70 45 0 0 ihram.res
MC 115 45 2 0 ihram.indutt
LI 85 45 95 45 0
LI 95 45 95 45 0
LI 115 45 130 45 0
LI 130 45 130 45 0
LI 55 45 70 45 0
LI 70 45 70 45 0
LI 55 45 55 75 0
LI 55 75 130 75 0
LI 130 75 130 45 0
LI 130 45 130 45 0
TY 76 36 4 3 0 1 0 * R
TY 105 35 4 3 0 1 0 * L
MC 130 56 1 0 074
MC 104 49 0 0 074
RV 65 30 120 85 13
FCJ 1 0
TY 44 56 4 3 0 1 15 * E
TY 136 56 4 3 0 0 15 * iL(t)
TY 76 52 4 3 0 0 15 * iL(0)=-2.41A
TY 51 49 4 3 0 1 15 * +[/fcd]
avremo che, ricavata per t=0 la condizione iniziale iL(0)=-2.41A, potremo ottenete iL(t) per t > 0 attraverso la somma di:
a) una risposta libera $i_{L_l}(t)$ dovuta alla sola condizione iniziale con (la forzante di) ingresso (GIT) "spento"
[fcd="fig.2"][FIDOCAD]
FJC A 0.4
FJC B 0.4
MC 70 45 0 0 ihram.res
MC 115 45 2 0 ihram.indutt
LI 85 45 95 45 0
LI 95 45 95 45 0
LI 115 45 130 45 0
LI 130 45 130 45 0
LI 55 45 70 45 0
LI 70 45 70 45 0
LI 55 45 55 75 0
LI 55 75 130 75 0
LI 130 75 130 45 0
LI 130 45 130 45 0
TY 76 36 4 3 0 1 0 * R
TY 105 35 4 3 0 1 0 * L
MC 130 55 1 0 074
MC 102 50 0 0 074
RV 65 30 120 85 13
FCJ 1 0
TY 74 53 4 3 0 0 15 * iL(0)=-2.41A
TY 135 56 4 3 0 0 15 * iLl(t)[/fcd]
che, detto $\tau=L/R$, porterà a
$i_{L_l}(t)=i_L(0)e^(-t/\tau)$
b) e di una risposta forzata iLf(t) dovuta al solo GIT "acceso", con condizioni iniziali nulle
[fcd="fig.3"][FIDOCAD]
FJC A 0.4
FJC B 0.4
EV 55 60 65 70 0
MC 75 50 0 0 ihram.res
MC 120 50 2 0 ihram.indutt
LI 90 50 100 50 0
LI 100 50 100 50 0
LI 120 50 135 50 0
LI 135 50 135 50 0
LI 60 50 75 50 0
LI 75 50 75 50 0
LI 60 50 60 80 0
LI 60 80 135 80 0
LI 135 80 135 50 0
LI 135 50 135 50 0
TY 81 41 4 3 0 1 0 * R
TY 110 40 4 3 0 1 0 * L
MC 135 60 1 0 074
MC 109 54 0 0 074
RV 70 35 125 90 13
FCJ 1 0
TY 49 61 4 3 0 1 15 * E
TY 140 60 4 3 0 0 15 * iLf(t)
TY 95 58 4 3 0 0 15 * iL(0)=0
TY 56 54 4 3 0 1 15 * +[/fcd]
che, detta $i_L(\infty)=E/R$, porta a
$i_{L_f}(t)=i_L(\infty)(1-e^{-t/\tau})$
E quindi la risposta completa sarà
$i_L(t)=i_{L_l}(t)+i_{L_f}(t)=i_L(0)e^(-t/\tau)+i_L(\infty)(1-e^{-t/\tau})$
A questo punto però, possiamo notare come detta risposta completa possa anche essere vista come somma di:
i) una risposta "transitoria" (che tende a zero col passare del tempo)
$i_{L_t}(t)=[i_L(0)-i_L(\infty)]e^(-t/\tau)$
ii) e di una risposta "a regime", in questo caso costante, alla quale l'uscita arriva a stabilizzarsi dopo un tempo infinito
$i_{L_r}(t)=i_L(\infty)$
In elettrotecnica/elettronica si segue normalmente quest'ultima strada, ovvero si va a scrivere la corrente nell'induttore come somma di una parte transitoria e di una a regime
$i_{L}(t)=ke^(-t/\tau)+ i_L(\infty)$
e si va a determinare la costante k usando la condizione iniziale ottenendo, in casi particolarmente semplici come questo, una relazione notevole da tenere in memoria.
$i_{L}(t)=[i_L(0)-i_L(\infty)]e^(-t/\tau)+ i_L(\infty)$
Come puoi notare la risposta libera e lquella transitoria sono del tutto simili come "forma", in quanto corrispondono entrambe all'integrale generale della equazione differenziale omogenea associata alla rete, la differenza risiede solo nel calcolo dei coefficienti.
"djanthony93":
...In questo caso invece?
Sempre con il solito metodo:
i) determini le condizioni iniziali per t < 0
ii) scrivi l'equazione differenziale del secondo ordine in iL(t), ottenendola (per esempio) dal circuito resistivo associato (teorema di sostituzione)
iii) scrivi l'integrale generale dell'omogenea come combinazione lineare degli esponenziali reali o complessi relativi alle due frequenze caratteristiche
iv) ottieni la risposta libera andando a determinate i coefficienti di detto integrale dalle condizioni iniziali su $i_L^{\prime}(0)$ e $i_L(0)$
Grazie mille ancora, in termini pratici per calcolare il termine di regime, cioè per t che tende all'infinito, devo prendere il circuito così com'è e calcolarmi la variabile che mi interessa?
Stavo risolvendo un altro esercizio, e devo trovarmi la resistenza equivalente applicando thevenin ai terminali a e b:
e quel generatore controllato mi sta creando dei problemi a calcolare la resistenza di thevenin. Di solito come si calcola una resistenza equivalente quando c'è un generatore controllato? In particolare in questo circuito?
Stavo risolvendo un altro esercizio, e devo trovarmi la resistenza equivalente applicando thevenin ai terminali a e b:
e quel generatore controllato mi sta creando dei problemi a calcolare la resistenza di thevenin. Di solito come si calcola una resistenza equivalente quando c'è un generatore controllato? In particolare in questo circuito?
"djanthony93":
... in termini pratici per calcolare il termine di regime, cioè per t che tende all'infinito, devo prendere il circuito così com'è e calcolarmi la variabile che mi interessa?
In "termini pratici", dovresti provare a risolverli i problemi.
"djanthony93":
... Stavo risolvendo un altro esercizio, e devo trovarmi la resistenza equivalente applicando thevenin ai terminali a e b: Di solito come si calcola una resistenza equivalente quando c'è un generatore controllato? In particolare in questo circuito?
Due sono i metodi: o usi un generatore forzante ausiliario esterno (GIT o GIC a seconda della "convenienza") e vai a ricavarti la Req dal rapporto fra tensione e corrente in ingresso, oppure vai a determinare la resistenza equivalente dal rapporto fra tensione a vuoto e corrente di cortocircuito.
Nel caso particolare conviene usare il primo metodo, forzando l'ingresso con un GIT.
I concetti che mi hai spiegato sopra valgono anche per i circuiti RLC?
Non ho capito questo passaggio:
al secondo membro perchè compare quell'esponenziale?
Non ho capito questo passaggio:
che, detta $i_L(\infty)=E/R$, porta a
$i_{L_f}(t)=i_L(\infty)(1-e^{-t/\tau})$
al secondo membro perchè compare quell'esponenziale?
"djanthony93":
I concetti che mi hai spiegato sopra valgono anche per i circuiti RLC?
A quali concetti ti stai riferendo?
"djanthony93":
Non ho capito questo passaggio ... al secondo membro perchè compare quell'esponenziale?
Compare quell'esponenziale perché nel circuito E - R - L, con condizioni iniziali nulle,
[fcd="fig.1"][FIDOCAD]
FJC A 0.4
FJC B 0.4
EV 50 55 60 65 0
MC 70 45 0 0 ihram.res
MC 115 45 2 0 ihram.indutt
LI 85 45 95 45 0
LI 95 45 95 45 0
LI 115 45 130 45 0
LI 130 45 130 45 0
LI 55 45 70 45 0
LI 70 45 70 45 0
LI 55 45 55 75 0
LI 55 75 130 75 0
LI 130 75 130 45 0
LI 130 45 130 45 0
TY 76 36 4 3 0 1 0 * R
TY 105 35 4 3 0 1 0 * L
MC 130 56 1 0 074
MC 104 49 0 0 074
RV 65 30 120 85 13
FCJ 1 0
TY 44 56 4 3 0 1 15 * E
TY 136 56 4 3 0 0 15 * iLf(t)
TY 76 52 4 3 0 0 15 * iL(0)=0A
TY 51 49 4 3 0 1 15 * +[/fcd]
che serve per determinare la "risposta forzata", la corrente a regime si determina con il rapporto E/R e, come tu ben sai, la corrente i(t) sale a quel valore con legge esponenziale.
Mi riferisco ai concetti del tuo post n° 1202
Il fasore di questa funzione: \(\displaystyle 10cos(200t -\pi /4) \) è uguale a: \(\displaystyle 5\sqrt{2} - 5\sqrt{2}i \) ??
Il fasore di questa funzione: \(\displaystyle 10cos(200t -\pi /4) \) è uguale a: \(\displaystyle 5\sqrt{2} - 5\sqrt{2}i \) ??
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