Espressione campo elettrico distribuzione continua di carica

[Gost91]

Salve a tutti!

Studiando l'elettrostatica mi sono imbattuto nella seguente espressione:

$E_x(x,y,z)=K\int_\tau(\rho(x',y',z')(x-x')dx'dy'dz')/[(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2]^(3/2)$

analogamente:

$E_y(x,y,z)=K\int_\tau(\rho(x',y',z')(y-y')dx'dy'dz')/[(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2]^(3/2)$

$E_z(x,y,z)=K\int_\tau(\rho(x',y',z')(z-z')dx'dy'dz')/[(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2]^(3/2)$

(Equazioni 1.22 del Mazzoldi-Nigro-Voci Vol II)

Dove:

- $K$ è la costante di Coulomb

-$\tau$ è il volume totale della distribuzione di carica

-$\rho(x',y',z')$ è la densità di carica spaziale in funzione della posizione del $d\tau$ considerato

-$x',y',z'$ sono le coordinate di ogni $d\tau$

Mi sto chiedendo quali siano i passaggi matematici che portano alle precedenti espressioni partendo dalla formula vettoriale

$\vecE(x,y,z)=K\int_\tau(\rhod\tau)/(r^2)\hatu$

Dove:

-$r^2$ è il quadrato della distanza tra il punto $(x,y,z)$ e $d\tau$

-$\hatu$ è il versore della retta congiungente il punto $(x,y,z)$ e $d\tau$

[Falco5x]

[tex]\begin{array}{l}
\vec r = r{{\vec u}_r} = \left( {x - x'} \right){{\vec u}_x} + \left( {y - y'} \right){{\vec u}_y} + \left( {z - z'} \right){{\vec u}_z} \\
\rho d\tau = \rho dx'dy'dz' \\
d\vec E = dE{{\vec u}_r} = K\frac{{\rho d\tau }}{{{r^2}}}{{\vec u}_r} \\
d{E_x} = dE\frac{{\left( {x - x'} \right)}}{r} \\
d{E_x} = K\frac{{\rho d\tau }}{{{r^2}}}\frac{{\left( {x - x'} \right)}}{r} = K\frac{{\rho dx'dy'dz'}}{{{r^3}}}\left( {x - x'} \right) \\
r = \sqrt {{{\left( {x - x'} \right)}^2} + {{\left( {y - y'} \right)}^2} + {{\left( {z - z'} \right)}^2}} \\
d{E_x} = K\frac{{\rho \left( {x - x'} \right)dx'dy'dz'}}{{{{\left[ {{{\left( {x - x'} \right)}^2} + {{\left( {y - y'} \right)}^2} + {{\left( {z - z'} \right)}^2}} \right]}^{\frac{3}{2}}}}} \\
\end{array}[/tex]

[Gost91]

Grazie mille Falco5x!