Espansione di uno stato

[utentephysics]

in un esercizio sono giunta ad espandere lo stato $ |psi> $ normalizzato tale che $ =ћomega $ , di $ hat(H)=ћomega(hat(n)+1/2) $ in cui $ hat(n) $ è l'operatore numero.

trovo che $ |psi> =alpha|0>+beta|1> $ in cui i coefficienti sono $ |alpha|=|beta|=1/(√2) $ . i calcoli sono giusti.

c'è un motivo per cui nella soluzione proposta c'è scritto $ |psi> = {|0>+e^{iphi}|1>}/(√2) $ ?
io avrei scritto $ |psi> = {|0>+|1>}/(√2) $

[Lampo1089]

E' corretta la soluzione del libro, la tua soluzione non è sufficientemente generale. Hai ricavato il valore di \(\alpha\) e \(\beta\) in modulo, cioé a meno di una fase, pertanto più propriamente dovresti scrivere \(\alpha = e^{i \psi}\frac{1}{\sqrt{2}}\) \(\beta= e^{i \omega}\frac{1}{\sqrt{2}}\)

da cui:

\[
|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(e^{i \psi} |0\rangle + e^{i \omega} |1\rangle\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}e^{i \psi}\left(|0\rangle + e^{i (\omega-\psi)} |1\rangle \right)
\]

ma essendo uno stato fisico definito a meno di una fase e definendo \(\phi = \omega -\psi\) si ha che - trascurando la fase globale:

\[
|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \left(|0\rangle + e^{i \phi} |1\rangle \right)
\]

[utentephysics]

potresti rispiegarmi ancora perchè posso trascurare la fase globale $ e^{ipsi $ ? inoltre, potevo alternativamente raccogliere $ e^{iomega $ e quindi non avere una fase davanti al $ |1> $ ?

[Lampo1089]

Uno dei postulati della fisica quantistica è che gli stati fisici sono raggi in uno spazio di Hilbert, ossia classi di equivalenza di vettori normalizzati. Pertanto, uno stato normalizzato \(|\psi\rangle\) e uno stato \(e^{i\phi}|\psi\rangle\) sono sì due vettori diversi dello spazio di Hilbert, ma appartengono allo stesso raggio e pertanto rappresentano lo stesso stato fisico.

[Lampo1089]

inoltre, potevo alternativamente raccogliere $ e^{iomega $ e quindi non avere una fase davanti al $ |1> $

Certo, sarebbe stata una risposta egualmente corretta, così pure quella senza raccoglimento (a parte per un grado di libertà "ridondante" dato appunto dalla fase globale)

[utentephysics]

grazie!