Espansione di una sfera relativistica
We consider first a simple model for the slowing down of
the shell. In this model the slowing down is described by a
series of infinitesimal inelastic collisions between the shell
and infinitesimal external masses. We assume a homoge-
neous shell described by its rest frame energy $M$ (rest mass
and thermal energy) and its Lorentz factor $γ$. Initially,
$E_0 = M_0 c^2 γ_0$ . The shell collides with the surrounding
matter. We denote the mass of the ISM that has already
collided with the shell by$ m(R)$. As the shell propagates
it sweeps up more ISM mass. Additional ISM mass ele-
ments, $dm$, which are at rest collides inelastically with the
shell.
Energy and momentum conservation yield:
$(d\gamma)/(\gamma^2-1)=-(dm)/M$
$(dE)/c^2=(\gamma-1) dm $
where $dE$ is the thermal energy produced in this collision.
ecco non capisco come si ricavano queste formule (evidentemente è evidente, ma non per me
)
qualche idea?
the shell. In this model the slowing down is described by a
series of infinitesimal inelastic collisions between the shell
and infinitesimal external masses. We assume a homoge-
neous shell described by its rest frame energy $M$ (rest mass
and thermal energy) and its Lorentz factor $γ$. Initially,
$E_0 = M_0 c^2 γ_0$ . The shell collides with the surrounding
matter. We denote the mass of the ISM that has already
collided with the shell by$ m(R)$. As the shell propagates
it sweeps up more ISM mass. Additional ISM mass ele-
ments, $dm$, which are at rest collides inelastically with the
shell.
Energy and momentum conservation yield:
$(d\gamma)/(\gamma^2-1)=-(dm)/M$
$(dE)/c^2=(\gamma-1) dm $
where $dE$ is the thermal energy produced in this collision.
ecco non capisco come si ricavano queste formule (evidentemente è evidente, ma non per me
)qualche idea?
Risposte
Scusa ma la quantità di moto è sempre nulla(per simmetria). Come fai ad usare la sua conservazione?
(Invece per quella dell'energia credo di aver capito: $\gamma M c^2 = (\gamma + d \gamma)(M+dm)c^2 + dE$ trascurando i termini con più infinitesimi)
P.S
Comunque è veramente bell come problema.
(Invece per quella dell'energia credo di aver capito: $\gamma M c^2 = (\gamma + d \gamma)(M+dm)c^2 + dE$ trascurando i termini con più infinitesimi)
P.S
Comunque è veramente bell come problema.
Invece per quella dell'energia credo di aver capito
anche io avevo scritto la tua stessa formula, non so se sia giusta, forse però però avresti dovuto scrivere
$\gamma-d\gamma$ visto che la velocità deve diminuire in funzione del tempo.
Comunque è veramente bell come problema
in realtà è un estratto di un articolo scientifico:
GAMMA-RAY BURSTS AND THE FIREBALL MODEL di Piran
L'energia posseduta inizialmente dal corpo è:
\[ E=M_0 c^2 \gamma_0 + (M-M_0)c^2=M_0 c^2 (\gamma_0-1)+Mc^2 \]
Quindi la variazione di energia all'interno di una sfera di raggio $ R $ è data da :
\[ dE=dm\,c^2(\gamma-1) \]
e questa è la prima formula.
Sull'altra dovrei lavorarci un po' in effetti
\[ E=M_0 c^2 \gamma_0 + (M-M_0)c^2=M_0 c^2 (\gamma_0-1)+Mc^2 \]
Quindi la variazione di energia all'interno di una sfera di raggio $ R $ è data da :
\[ dE=dm\,c^2(\gamma-1) \]
e questa è la prima formula.
Sull'altra dovrei lavorarci un po' in effetti
sinceramente non ho capito ne il primo ne l'ultimo passaggio
Per me la seconda equazione si può derivare in questo modo:
Nel sistema di riferimento che si espande con la sfera vedremo elementi di massa $dm$ scontrarsi con la sfera, l'energia totale di un elemento di massa $dm$ sarà: $dm\gamma c^2$. Dal momento che si parla di urti anelastici, dopo la collisione con la sfera l'energia cinetica, per definizione di urto anelastico, verrà trasformata in calore , quindi l'energia termica infinitesima prodotta nella collisione sarà dE=ENERGIA TOTALE-ENERGIA A RIPOSO= ENERGIA CINETICA:
$dE=\gamma dm c^2-dm c^2=dm (\gamma-1)c^2$
Nel sistema di riferimento che si espande con la sfera vedremo elementi di massa $dm$ scontrarsi con la sfera, l'energia totale di un elemento di massa $dm$ sarà: $dm\gamma c^2$. Dal momento che si parla di urti anelastici, dopo la collisione con la sfera l'energia cinetica, per definizione di urto anelastico, verrà trasformata in calore , quindi l'energia termica infinitesima prodotta nella collisione sarà dE=ENERGIA TOTALE-ENERGIA A RIPOSO= ENERGIA CINETICA:
$dE=\gamma dm c^2-dm c^2=dm (\gamma-1)c^2$
"baldo89":
Invece per quella dell'energia credo di aver capito
anche io avevo scritto la tua stessa formula, non so se sia giusta, forse però però avresti dovuto scrivere
$\gamma-d\gamma$ visto che la velocità deve diminuire in funzione del tempo.
Verrebbe semplicemente dy < 0.
Comunque è molto meglio come hai scritto te
"baldo89":
Per me la seconda equazione si può derivare in questo modo:
Nel sistema di riferimento che si espande con la sfera vedremo elementi di massa $dm$ scontrarsi con la sfera, l'energia totale di un elemento di massa $dm$ sarà: $dm\gamma c^2$. Dal momento che si parla di urti anelastici, dopo la collisione con la sfera l'energia cinetica, per definizione di urto anelastico, verrà trasformata in calore , quindi l'energia termica infinitesima prodotta nella collisione sarà dE=ENERGIA TOTALE-ENERGIA A RIPOSO= ENERGIA CINETICA:
$dE=\gamma dm c^2-dm c^2=dm (\gamma-1)c^2$
anche se ancora devo capire, il momento totale quanto vale?
Penso di aver dimostrato pure la prima equazione, adesso non ho tempo però per scrivere i passaggi! ti faccio sapere tra qualche ora
mi sbagliavo non ci sono riuscito, però penso che si possa scrivere che il momento del mezzo sia:
$p=\gamma m v=m(\gamma^2-1)^(1/2)$
differenziando si ottiene: $dp=dm(\gamma^2-1)^(1/2)$
$p=\gamma m v=m(\gamma^2-1)^(1/2)$
differenziando si ottiene: $dp=dm(\gamma^2-1)^(1/2)$
Sinceramente ti chiedo di chiarire il mio dubbio. Ancora non capisco come possa essere non nulla la quantità di moto del sistema sfera in espansione.
Perchè la quantità di moto totale dovrebbe essere nulla? Io nella mia ultima formula ho scritto solo la quantità di moto del mezzo.
"baldo89":
mi sbagliavo non ci sono riuscito, però penso che si possa scrivere che il momento del mezzo sia:
$p=\gamma m v=m(\gamma^2-1)^(1/2)$
differenziando si ottiene: $dp=dm(\gamma^2-1)^(1/2)$
Baldo scusa se mi intrometto, ma quando vai a differenziare $p$, perché consideri solo $dm$ ? Non dovrebbe variare anche $\gamma$, e quindi differenziare anche rispetto ad esso? C'è un $d\gamma$ nella prima formula, che mi fa pensare...
Se l' urto è anelastico, giustamente l'energia meccanica ( parte temporale del quadri-impulso) non si conserva ma si trasforma in termica. Però la parte spaziale del quadri-impulso dovrebbe conservarsi: vale in Meccanica relativistica come in quella classica, e lo dice pure il testo che hai riportato...Non so dove può portare questa considerazione....
Provaci, sei bravo...
Baldo scusa se mi intrometto, ma quando vai a differenziare p, perché consideri solo dm ? Non dovrebbe variare anche $γ$, e quindi differenziare anche rispetto ad esso? C'è un $dγ$ nella prima formula, che mi fa pensare...
certo direi che hai ragione...
In questi giorni non ho tempo di pensarci perchè venerdì devo fare un'esame, ci penserò dopo averlo fatto
grazie...
"baldo89":
Energy and momentum conservation yield:
$(d\gamma)/(\gamma^2-1)=-(dm)/M$
$(dE)/c^2=(\gamma-1) dm $
where $dE$ is the thermal energy produced in this collision.
ecco non capisco come si ricavano queste formule
Prova a partire dalle (38) dell'articolo che hai citato (che poi non sono altro che l'equazione di conservazione del quadrimpulso in un urto inelastico), tenendo conto che sono infinitesime la massa delle particelle esterne "spazzate" dalla sfera, e l'energia interna (eccesso di massa) del "composto" finale; inoltre e' infinitesima anche la variazione del fattore di Lorentz [tex]\gamma[/tex] del materiale della sfera alla frontiera della sfera stessa prima e dopo l'urto. Se parti dalle (38) dovresti ottenere un sistema di due equazioni (scartando termini infinitesimi di secondo ordine), che dovresti poi semplificare nelle equazioni che menzioni.
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