Espansione adiabatica
Il problea mi fornisce moli, temperatura iniziale, volume iniziale e finale, e rapporto tra calore specifico a pressione costante e calore specifico a volume costante, chiedendomi di calcolare il lavoro compiuto tramite l'espansione adiabatica...
Ho dunque che:
$p*V^(gamma) = p_0*V_0^(gamma) = n*R*T_0*V_0^(gamma-1)
$dL = pdV rarr L = (integrale da V_0 a V_1) $n*R*T_0*V_0^(gamma-1)*1/V^(gamma) dV
$
Il problema è in quest'ultima equazione... probabilmente farò io qualche sciocco errore di calcolo, ma calcolando l'integrale ottengo (sapendo che $gamma=3/2$):
$L=3/2 * n*R*T_0*(1- sqrt((V_0/V_1)))$, mentre le soluzioni del testo mi dicono che viene:
$L=2*n*R*T_0(1-sqrt((V_0/V_1)))$
Ho dunque che:
$p*V^(gamma) = p_0*V_0^(gamma) = n*R*T_0*V_0^(gamma-1)
$dL = pdV rarr L = (integrale da V_0 a V_1) $n*R*T_0*V_0^(gamma-1)*1/V^(gamma) dV
$
Il problema è in quest'ultima equazione... probabilmente farò io qualche sciocco errore di calcolo, ma calcolando l'integrale ottengo (sapendo che $gamma=3/2$):
$L=3/2 * n*R*T_0*(1- sqrt((V_0/V_1)))$, mentre le soluzioni del testo mi dicono che viene:
$L=2*n*R*T_0(1-sqrt((V_0/V_1)))$
Risposte
up
Anche io sono alle prime armi con la termodinamica quindi prendi i miei consigli con le pinze...comunque, anche io in un altro post ero in difficoltà a calcolare il lavoro di un'adiabatica e mi hanno suggerito di ragionare in questo modo:
$deltaQ=deltaU+L$ questo è il primo principio della termodinamica per le trasformazioni aperte. Ma in questo caso siamo in un' adiabatica quindi $dQ=0$ percui $L=-deltaU=-nC_vdeltaT$.
Prova poi a trovare la temperatura finale prima usando la relazione $PV^y=P_0V_0^y$ e poi usando $T_0=(p_0V_0)/(nR)$
Prova quindi a ricavare l'espressione del lavoro mediante quest'altra via, magari non commetti l'errore che hai commesso qua che sinceramente non riesco a trovare.
Attento comunque che y non è 3/2 ma 5/3 per i gas monoatomici. 3/2R è il calore specifico a volume costante.
$deltaQ=deltaU+L$ questo è il primo principio della termodinamica per le trasformazioni aperte. Ma in questo caso siamo in un' adiabatica quindi $dQ=0$ percui $L=-deltaU=-nC_vdeltaT$.
Prova poi a trovare la temperatura finale prima usando la relazione $PV^y=P_0V_0^y$ e poi usando $T_0=(p_0V_0)/(nR)$
Prova quindi a ricavare l'espressione del lavoro mediante quest'altra via, magari non commetti l'errore che hai commesso qua che sinceramente non riesco a trovare.
Attento comunque che y non è 3/2 ma 5/3 per i gas monoatomici. 3/2R è il calore specifico a volume costante.
Sta imparando bene, il ragazzo...
Infatti,ricollegandomi a quanto detto da ghiozzo, in un processo di tipo adiabatico il sistema può scambiare con l'ambiente circostante solo lavoro e non calore ([tex]$Q=0[/tex])
Pertanto, in accordo con il primo principio della termodinamica , ha senso affermare che:
[tex]$\Delta U = - W \Rightarrow W = - \Delta U[/tex]
dove [tex]$W = \text{lavoro}[/tex]
Se il gas è ideale: [tex]$\Delta U = n c_v \Delta T$[/tex] dove [tex]$c_v[/tex] è il calore specifico molare a volume costante.
Quindi:
[tex]$W = - \Delta U = - n c_v \Delta T = - n c_v (T_{\text{ finale}} - T_{\text{ iniziale}})$[/tex].
Quindi il lavoro puoi calcolarlo con questa "formuletta" oppure anche in un altro modo, a cui ci si arriva con un paio di passaggi:
Tenendo conto dell'equazione di stato per gas ideali: [tex]$T = \frac{P V} {n R}[/tex]
[tex]$W = - n c_v (T_{\text{ finale}} - T_{\text{ iniziale}}) =$[/tex]
[tex]$= - n c_v \left[ \frac{P_{\text{finale}} V_{\text{finale}}} {n R} - \frac{P_{\text{iniziale}} V_{\text{iniziale}}} {n R} \right]$[/tex] =
[tex]$= - \frac{n c_v}{nR} \left[ P_{\text{finale}} V_{\text{finale}} - P_{\text{iniziale}} V_{\text{iniziale}} \right]$[/tex] =
per la relazione di Mayer : [tex]$R = c_p - c_v[/tex]
[tex]$= - \frac{n c_v}{n (c_p - c_v)} \left[ P_{\text{finale}} V_{\text{finale}} - P_{\text{iniziale}} V_{\text{iniziale}} \right]$[/tex] =
[tex]$ = - \frac{1}{\gamma - 1} \left[ P_{\text{finale}} V_{\text{finale}} - P_{\text{iniziale}} V_{\text{iniziale}} \right]$[/tex] =
dove [tex]$\gamma = \frac{c_p}{c_v}$[/tex]
NB. Tutto questo vale sia per trasformazioni reversibile che per trasformazioni irreversibili.
Mentre queste relazioni:
[tex]$TV^{\gamma-1} = \text{costante}[/tex]
[tex]$PV^{\gamma} = \text{costante}[/tex]
[tex]$TP^{\frac{1-\gamma}{\gamma}} =\text{costante}[/tex]
valgono solo per trasformazioni reversibili (magari più tardi,se ho tempo, te le dimostro facendoti capire il perché.)
Ciao.
Pertanto, in accordo con il primo principio della termodinamica , ha senso affermare che:
[tex]$\Delta U = - W \Rightarrow W = - \Delta U[/tex]
dove [tex]$W = \text{lavoro}[/tex]
Se il gas è ideale: [tex]$\Delta U = n c_v \Delta T$[/tex] dove [tex]$c_v[/tex] è il calore specifico molare a volume costante.
Quindi:
[tex]$W = - \Delta U = - n c_v \Delta T = - n c_v (T_{\text{ finale}} - T_{\text{ iniziale}})$[/tex].
Quindi il lavoro puoi calcolarlo con questa "formuletta" oppure anche in un altro modo, a cui ci si arriva con un paio di passaggi:
Tenendo conto dell'equazione di stato per gas ideali: [tex]$T = \frac{P V} {n R}[/tex]
[tex]$W = - n c_v (T_{\text{ finale}} - T_{\text{ iniziale}}) =$[/tex]
[tex]$= - n c_v \left[ \frac{P_{\text{finale}} V_{\text{finale}}} {n R} - \frac{P_{\text{iniziale}} V_{\text{iniziale}}} {n R} \right]$[/tex] =
[tex]$= - \frac{n c_v}{nR} \left[ P_{\text{finale}} V_{\text{finale}} - P_{\text{iniziale}} V_{\text{iniziale}} \right]$[/tex] =
per la relazione di Mayer : [tex]$R = c_p - c_v[/tex]
[tex]$= - \frac{n c_v}{n (c_p - c_v)} \left[ P_{\text{finale}} V_{\text{finale}} - P_{\text{iniziale}} V_{\text{iniziale}} \right]$[/tex] =
[tex]$ = - \frac{1}{\gamma - 1} \left[ P_{\text{finale}} V_{\text{finale}} - P_{\text{iniziale}} V_{\text{iniziale}} \right]$[/tex] =
dove [tex]$\gamma = \frac{c_p}{c_v}$[/tex]
NB. Tutto questo vale sia per trasformazioni reversibile che per trasformazioni irreversibili.
Mentre queste relazioni:
[tex]$TV^{\gamma-1} = \text{costante}[/tex]
[tex]$PV^{\gamma} = \text{costante}[/tex]
[tex]$TP^{\frac{1-\gamma}{\gamma}} =\text{costante}[/tex]
valgono solo per trasformazioni reversibili (magari più tardi,se ho tempo, te le dimostro facendoti capire il perché.)
Ciao.
Innanzitutto grazie mille per le dritte!
Ritentando un ennesima volta i calcoli è venuto il risultato corretto... classico.
-Ghiozzo- Grazie per il suggerimento! La costante $gamma$ me la dà il problema specificatamente come 1,5 comunque.
-Mathcrazy
Se hai tempo non mi dispiacerebbe la spiegazione del perché grazie!
Ritentando un ennesima volta i calcoli è venuto il risultato corretto... classico.
-Ghiozzo- Grazie per il suggerimento! La costante $gamma$ me la dà il problema specificatamente come 1,5 comunque.
-Mathcrazy
Se hai tempo non mi dispiacerebbe la spiegazione del perché grazie!
"Pdirac":
-Mathcrazy
Se hai tempo non mi dispiacerebbe la spiegazione del perché grazie!
Ci provo.
Consideriamo un processo adiabatico reversibile di un gas ideale.
In un processo adiabatico il sistema non scambia calore con l'esterno, cioè: [tex]$ Q=0$[/tex] e quindi, sulla base del primo principio della termodinamica: [tex]$\Delta U = - W$[/tex]
In termini infinitesimi: [tex]$d U = - d W$[/tex]
Poichè abbiamo considerato un gas ideale segue che:
[tex]$ d U = n c_v dT$[/tex] (se non ti è chiaro, vediti la definizione di energia interna di un gas ideale)
[tex]$d W = p dV$[/tex] (se non ti è chiaro, vediti la definizione di lavoro della pressione in un fluido (vale anche per i liquidi!!))
Quindi:
[tex]$n c_v dT = - p dV$[/tex]
Adesso possiamo, per l'equazione di stato di un gas ideale esprimere [tex]$p = \frac{n R T}{V}$[/tex] (questo passaggio è possibile farlo proprio perché la trasformazione è reversibile, e quindi tutti gli stati intermedi sono di equilibro, se fosse stata irreversibile, non avremmo potuto!)
[tex]$n c_v dT = - \frac{n R T}{V} dV$[/tex]
Moltiplico entrambi i membri per [tex]$-1$[/tex], e li divido per [tex]$T$[/tex] e per [tex]$n$[/tex]:
[tex]$- c_v \frac{dT}{T} = \frac{ R }{V} dV$[/tex]
ricordo che per la relazione di Mayer: [tex]$R = c_p - c_v$[/tex]:
[tex]$- c_v \frac{dT}{T} = \frac{ c_p - c_v }{V} dV$[/tex]
Divido entrambi i membri per [tex]$c_v$[/tex]:
[tex]$- \frac{dT}{T} = \frac{ \gamma - 1 }{V} dV$[/tex]
Integriamo, considerando come stati iniziale e finale: [tex]$A$[/tex] e [tex]$B$[/tex]
[tex]$\int_{T_A}^{T_B} - \frac{1}{T} dT = \int_{V_A}^{V_B} \frac{ \gamma - 1 }{V} dV$[/tex]
cioè:
[tex]$ln \left( \frac{T_A}{T_B} \right) = (\gamma - 1) ln \left( \frac{V_B}{V_A}\right)$[/tex]
Applico una proprietà dei logaritmi al secondo membro:
[tex]$ln \left( \frac{T_A}{T_B} \right) = ln \left( \frac{V_B}{V_A}\right)^{(\gamma - 1) }$[/tex]
Due logaritmi sono uguale, se lo sono i loro argomenti, pertanto:
[tex]$\frac{T_A}{T_B} = \left( \frac{V_B}{V_A}\right)^{(\gamma - 1) }$[/tex]
Moltiplico entrambi i membri per [tex]$T_B$[/tex] e per [tex]$V_A^{(\gamma -1)}$[/tex] :
[tex]$T_A V_A^{(\gamma -1)} = T_B V_B^{(\gamma -1)} = TV^{(\gamma -1)} = \text{costante}$[/tex]
Siamo, finalmente, giunti alla conclusione che, per una trasformazione adiabatica reversibile :
[tex]TV^{(\gamma -1)} = \text{costante}$[/tex]
da questa, applicando le equazioni di stato del gas ideale, possiamo ricavare le altre due, che possono risultare utili in parecchie circostanze:
[tex]PV^{(\gamma )} = \text{costante}$[/tex]
[tex]TP^{ \frac{(1- \gamma)}{\gamma}} = \text{costante}$[/tex]
Spero, ti abbia interessato tutto ciò.
Non so quanto sei addentrato in termodinamica, ma sappi che spesso serve fare tanti passaggi di questo tipo per giungere a conclusioni che poi, alla fine, sono di facile applicazione negli esercizi.
grazie mille per la spiegazione, decisamente chiara!
Se ho capito bene, il tutto viene dall'unione delle leggi per il lavoro, l'energia interna e lo stato di equilibrio di un gas perfetto effettuata tramite il primo principio della termodinamica; leggi rispettivamente valide per qualunque tipo di espansione in liquidi o gas, in gas perfetti, e in condizioni di equilibrio di gas perfetti, dove in una trasformazione quest'ultima condizione per continuare a essere utilizzabile necessita di postulare una trasformazione reversibile, ovvero che passa per infiniti stati di equilibrio (se non sbaglio è la definizione di trasformazione quasistatica vero?).
Quindi in generale la formulazione sopra citata per l'energia interna di un sistema è valida tanto per le trasformazioni reversibili che non?
Se ho capito bene, il tutto viene dall'unione delle leggi per il lavoro, l'energia interna e lo stato di equilibrio di un gas perfetto effettuata tramite il primo principio della termodinamica; leggi rispettivamente valide per qualunque tipo di espansione in liquidi o gas, in gas perfetti, e in condizioni di equilibrio di gas perfetti, dove in una trasformazione quest'ultima condizione per continuare a essere utilizzabile necessita di postulare una trasformazione reversibile, ovvero che passa per infiniti stati di equilibrio (se non sbaglio è la definizione di trasformazione quasistatica vero?).
Quindi in generale la formulazione sopra citata per l'energia interna di un sistema è valida tanto per le trasformazioni reversibili che non?
Si, l'espressione dell'energia interna: [tex]$\Delta U = n c_v \Delta T$[/tex] è valida sempre,per qualunque trasformazione (reversibile o irreversibile) solo,però, per i gas ideali.. E' facilissimo dimostrarne la validità, partendo, ad esempio, dall'esperienza di Joule.
Nella dimostrazione del post precedente, ciò che si "intromette" è l'equazione di stato del gas ideale;e per usarla è necessaria la reversibilità del processo. Senza l'ausilio di questa equazione non saremmo mai giunti a quelle 3 formulette; che quindi sono valide SOLO per trasformazioni reversibili (adiabatiche).
Ricorda inoltre che in un classico processo di espansione adiabatica, la temperatura e pressione diminuiscono, il volume aumenta e viene fatto del lavoro da parte del sistema; queste informazioni possono aiutarti nel caso sbagliassi ad applicare le formule su dette.
Mentre in una compressione adiabatica, temperatura e pressione aumentano, il volume diminuisce e viene "assorbito" del lavoro.
Nella dimostrazione del post precedente, ciò che si "intromette" è l'equazione di stato del gas ideale;e per usarla è necessaria la reversibilità del processo. Senza l'ausilio di questa equazione non saremmo mai giunti a quelle 3 formulette; che quindi sono valide SOLO per trasformazioni reversibili (adiabatiche).
Ricorda inoltre che in un classico processo di espansione adiabatica, la temperatura e pressione diminuiscono, il volume aumenta e viene fatto del lavoro da parte del sistema; queste informazioni possono aiutarti nel caso sbagliassi ad applicare le formule su dette.
Mentre in una compressione adiabatica, temperatura e pressione aumentano, il volume diminuisce e viene "assorbito" del lavoro.
Vorrei chiedere un chiarimento sulla formula per calcolare la variazione di energia interna di un sistema:
Io sapevo che la formula fosse ∆U=m*cv*∆T, invece qui avete scritto ∆U=n*cv*∆T
Qual è quella giusta? Quella con la massa o con il numero di moli?
Io sapevo che la formula fosse ∆U=m*cv*∆T, invece qui avete scritto ∆U=n*cv*∆T
Qual è quella giusta? Quella con la massa o con il numero di moli?
Se le due formule danno lo stesso risultato, significa che sono entrambe giuste...ma ovviamente essendo la mole e la massa dimensionalmente differenti, significherà che il cv presente nelle due formule non è lo stesso
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo