Es.fisicaII intensità di corrente e densità di corrente
Una carica positiva e` distribuita con simmetria cilindrica nel volume di un cilindro di raggio a; rispetto
ad un sistema di assi cartesiani ortogonali l’asse del cilindro coincide con l’asse z e le basi del cilindro
si trovano sui piani z = 0 e z = a. La distribuzione, messa in rotazione uniforme attorno all’asse z,
a velocita` angolare ω genera un campo densita di corrente $\vec j(r) = 3j_0(r/a)^2 \hat \phi$ (dove $\hat \phi$ e` il versore
tangente, associato alla coordinata cilindrica φ).
[1] Determinare la corrente che scorre attraverso la superficie definita da:
$a/2 < x < 3a/2$ ; $ y = 0$ ;$|z| < a/2$
[ 2] Calcolare la carica totale contenuta nel cilindro.
ho messo il testo completo dell'esercizio, ma quello che più mi interessa è arrivare alla risposta della domanda 1.
come prima cosa ho sezionato il cilindro con il piano y=0 , ho individuato la regione entro cui mi devo calcolare il flusso di $\vec j$,quella cioà detta dal prof, e siccome pensavo di lavorare in coordinate cartesiane ho messo $r^2 = x^2+y^2$
siccome la distribuzione di carica del cilindro è a simm cilindrica, invariante quindi a rotazioni intorno a z, si vede dal disegno della zona detta dal prof, che solo una parte te della superficie ti serve, e cioè, quella identificata da $a
io so che l'intensità di corrente è definita come $I=\int_S \vec j*\hat n dS $, cioè l'integrale esteso alla superficie di j scalar il versore normale alla superficie stessa, che in questo caso è proprio $\hat j$
solo che sono un po andato in confusione in quanto $\hat \phi = cos\phi \hat i + sin\phi \hat j$ e quando si fa quindi il prodotto scalare viene $sin\phi$. a questo punto non so cosa fare in quanto $\phi$ è una funzione del tempo, che ovviamente so quale è, ma non mi torna proprio che mi venga una I intensità di corrente in funzione del tempo. quindi c'è qualcosa che non considero, e non mi riesce proprio capire cosa
ad un sistema di assi cartesiani ortogonali l’asse del cilindro coincide con l’asse z e le basi del cilindro
si trovano sui piani z = 0 e z = a. La distribuzione, messa in rotazione uniforme attorno all’asse z,
a velocita` angolare ω genera un campo densita di corrente $\vec j(r) = 3j_0(r/a)^2 \hat \phi$ (dove $\hat \phi$ e` il versore
tangente, associato alla coordinata cilindrica φ).
[1] Determinare la corrente che scorre attraverso la superficie definita da:
$a/2 < x < 3a/2$ ; $ y = 0$ ;$|z| < a/2$
[ 2] Calcolare la carica totale contenuta nel cilindro.
ho messo il testo completo dell'esercizio, ma quello che più mi interessa è arrivare alla risposta della domanda 1.
come prima cosa ho sezionato il cilindro con il piano y=0 , ho individuato la regione entro cui mi devo calcolare il flusso di $\vec j$,quella cioà detta dal prof, e siccome pensavo di lavorare in coordinate cartesiane ho messo $r^2 = x^2+y^2$
siccome la distribuzione di carica del cilindro è a simm cilindrica, invariante quindi a rotazioni intorno a z, si vede dal disegno della zona detta dal prof, che solo una parte te della superficie ti serve, e cioè, quella identificata da $a
io so che l'intensità di corrente è definita come $I=\int_S \vec j*\hat n dS $, cioè l'integrale esteso alla superficie di j scalar il versore normale alla superficie stessa, che in questo caso è proprio $\hat j$
solo che sono un po andato in confusione in quanto $\hat \phi = cos\phi \hat i + sin\phi \hat j$ e quando si fa quindi il prodotto scalare viene $sin\phi$. a questo punto non so cosa fare in quanto $\phi$ è una funzione del tempo, che ovviamente so quale è, ma non mi torna proprio che mi venga una I intensità di corrente in funzione del tempo. quindi c'è qualcosa che non considero, e non mi riesce proprio capire cosa
Risposte
E' molto più semplice di quanto pensi.
Immagina di tagliare il cilindro come se fosse una torta (tagli verticali passanti per l'asse z). Se guardi una delle superfici tagliate, la corrente entra perpendicolarmente nella sezione.
I ogni punto la densità di corrente è data dalla formula del problema. Quindi non devi fare altro che integrare la densità sul rettangolo che ti è dato, tralasciando le parti che escono dal cilindro.
Cioè:
$\int_{0}^{a/2}\int_{a/2}^{a} 3j_0 (\frac{r}{a} )^2 \ dr\ dz$
Immagina di tagliare il cilindro come se fosse una torta (tagli verticali passanti per l'asse z). Se guardi una delle superfici tagliate, la corrente entra perpendicolarmente nella sezione.
I ogni punto la densità di corrente è data dalla formula del problema. Quindi non devi fare altro che integrare la densità sul rettangolo che ti è dato, tralasciando le parti che escono dal cilindro.
Cioè:
$\int_{0}^{a/2}\int_{a/2}^{a} 3j_0 (\frac{r}{a} )^2 \ dr\ dz$
vero, molto vero. grazie mille. era una cavolata ma proprio non ci arrivavo
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