Eserczio su campo elettrico

[oleg.fresi]

Buongiorno. Mi sono imbattuto in questo semplice esercizio di fisica, ma ho un dubbio a riguardo. Una sferetta di massa 10 g e carica positivamente, cade da ferma da un'altezza di 5 m in un campo elettrico uniforme verticale, di intensità 100 N/C. La sfera arriva al suolo con velocità finale pari a 21 m/s. Calcolare il valore della carica della sferetta
Io ho impostato questa equazione: $qE-mg=-ma$ dove $a=-v_f^2/(2h)$, ma il risultato è sbagliato. In base alla soluzione corretta, l'equazione sarebbe dovuta essere $qE+mg=-ma$ da cui si ricaverebbe
$q=m/E(v_f^2/(2h)-g)$
Ciò che appunto non capisco è il verso dei vettori. Il campo elettrico è rivolto verso l'alto essendo positivo, l'accelerazione di gravità verso il basso ma anche l'accelerazione totale verso il basso. POtreste chiarirmi se sto sbagliando io il ragionamento oppure è sbagliata la soluzione dell'esercizio?

[anonymous_0b37e9]

"ZfreS":
Il campo elettrico è rivolto verso l'alto ...

Veramente, poiché, in assenza del campo elettrico:

$[v_f=sqrt(2gh)] rarr [v_f lt 21$m/s$]$

il campo elettrico è necessariamente rivolto verso il basso. A questo punto, orientando un asse verticale verso il basso:

$[ma=mg+qE] rarr [a=g+q/mE]$

Inoltre, se l'origine coincide con la posizione iniziale della sferetta:

$[v=at] ^^ [x=1/2at^2] ^^ [x=h] rarr [v=sqrt(2ah)]$

Infine:

$[v_f=sqrt(2h(g+q/mE))] rarr [q=m/E(v_f^2/(2h)-g)]$

"ZfreS":
... l'equazione sarebbe dovuta essere:

$qE+mg=-ma$

A secondo membro c'è un "meno" di troppo.

[oleg.fresi]

Si capisco, il fatto è che il testo è ingannevole non specificando il vero del camp elettrico, fa presumere che sia positivo

[anonymous_0b37e9]

"ZfreS":
... il fatto è che il testo è ingannevole ...

Non mi sembra ingannevole. Il testo, limitandosi ad assegnare l'intensità (sinonimo di modulo) del campo elettrico, per definizione positivo, lascia allo studente dedurne il verso in base al valore della velocità finale. Insomma, si tratta semplicemente di una difficoltà aggiuntiva che, molto probabilmente, l'autore del testo ha deciso di introdurre consapevolmente.

[oleg.fresi]

Però non capisco una cosa. Tu trovi positivo il valore dell'accelerazione, ma con la forumla $v_f^2-v_i^2=2a(x_f-x_i)$, viene che a è negativo, quindi nellequazione della dinamica il secondo membro è negativo, o sbaglio?

[anonymous_0b37e9]

Il segno dell'accelerazione dipende dal verso dell'asse verticale. Orientandolo verso il basso:

$[ma=mg+qE] rarr [a=g+q/mE] rarr [a gt 0]$

perché il 2° membro è positivo. Orientandolo verso l'alto:

$[ma=-mg-qE] rarr [a=-g-q/mE] rarr [a lt 0]$

perché il 2° membro è negativo. Ovviamente, il risultato non può dipendere dal verso. Infatti, se l'origine coincide con la posizione iniziale della sferetta, nel primo caso:

$[v=at] ^^ [x=1/2at^2] ^^ [x=h] rarr [v=sqrt(2ah)]$

$[v_f=sqrt(2h(g+q/mE))] rarr [q=m/E(v_f^2/(2h)-g)]$

e nel secondo caso:

$[v=at] ^^ [x=1/2at^2] ^^ [x=-h] rarr [v=sqrt(-2ah)]$

$[v_f=sqrt(-2h(-g-q/mE))] rarr [q=m/E(v_f^2/(2h)-g)]$

Ad ogni modo, anche utilizzando la formula sottostante:

$[v_f^2-v_i^2=2a(x_f-x_i)] rarr [a=(v_f^2-v_i^2)/(2(x_f-x_i))]$

il segno dell'accelerazione dipende dal verso dell'asse. Infatti, nel primo caso:

$[x_f-x_i=h[ rarr [x_f-x_i gt 0]$

e nel secondo caso:

$[x_f-x_i=-h[ rarr [x_f-x_i lt 0]$

Quindi, se il moto, come nell'esercizio proposto, è accelerato:

$v_f^2 gt v_i^2$

nel primo caso:

$a gt 0$

e nel secondo caso:

$a lt 0$

[oleg.fresi]

Ti ringrazio della spiegazione dettagliata e mi rndo conto di non avre mai tenuto in conto il verso di moto rispetto alla posizione, ma ho sempre considerato la distanza percora in valore assoluto. Beh, dagli errori si impara.