[Esercizio]Tensione, pendolo e attrito

[BigDummy]

Ciao ragazzi, mi sono bloccato su un esercizio.
È il numero 1:

Vi dico come ho agito.

Per prima cosa noto che la carrucola non ha massa e non ruota, quindi $T_1= T_2 $
Dopo di che esamino il moto di $A$ lungo x e lungo y:

${(2Ma_x= Tcostheta_0 - A_s = 0 ) , (2Ma_y=-2Mg+N + Tsintheta_0=0):}$

Quindi $A_s = Tcos(theta_0)$ e $N=2Mg - Tsin(theta_0)$

Esaminando il moto del corpo M con angolo generico trovo che in direzione radiale

$T= Ma_c + Mgcostheta$

con $a_c(theta) = omega^2(theta)r$ .
Quindi affinché A non si muova deve risultare:

$A_(s,max) = T_(max)costheta_0 <= mu_s(N)(\diamond) $

La tensione del filo è massima quando $theta=0$ , imponendo la conservazione dell'energia meccanica ottengo $omega_(max)^2 = 2gr(1-costheta_0)$ e quindi

$a_(c,max) = 2g(1-costheta_o) $

A questo punto però mi accorgo che nell'equazione $(\diamond)$ mi compare il termine $T_(max) $ a tutti e due i membri(perché la reazione del piano $N$ dipende da $T$) e quindi non so se ho fatto bene...
Ho sbagliato qualcosa?
Grazie mille!

[anonymous_0b37e9]

Come hai correttamente scritto, basta calcolare:

$T_(max)=T(0)$

Infatti:

$-\theta_0 lt= \theta lt= \theta_0$

$\mu_s[2Mg-T(\theta)sin\theta_0] gt= T(\theta)cos\theta_0 rarr$

$rarr \mu_s gt= (T(\theta)cos\theta_0)/(2Mg-T(\theta)sin\theta_0) rarr$

$rarr \mu_s gt= (T(0)cos\theta_0)/(2Mg-T(0)sin\theta_0)$

[BigDummy]

Ti ringrazio!
Avevo fatto bene allora.
Per quanto riguarda invece la reazione sull'asse della carucola(il secondo punto dell'esercizio) , scomponendo lungo y e x:

${(Ma_x = Tsintheta_0 - Tcostheta_0 + N_x= 0) , (Ma_y=-Mg - Tsintheta_0-Tcostheta_0+N_y=0):}$

Quindi:

${(N_x(theta_0)=T(theta_0)[costheta_0 - sintheta_0]),(N_y(theta_0)=Mg+T(theta_0)[costheta_0+sintheta_0]):}$

È giusto?

[anonymous_0b37e9]

Devi aver fatto confusione con la forza peso. Orientando un asse orizzontale verso destra e un asse verticale verso l'alto, quando il pendolo è alla massima elongazione verso destra:

Reazione vincolare

$R_xveci+R_yvecj$

Tensione a destra

$T(\theta_0)sin\theta_0veci-T(\theta_0)cos\theta_0vecj$

Tensione a sinistra

$-T(\theta_0)cos\theta_0veci-T(\theta_0)sin\theta_0vecj$

Condizioni di equilibrio

$[R_x+T(\theta_0)sin\theta_0-T(\theta_0)cos\theta_0=0] rarr [R_x=T(\theta_0)(cos\theta_0-sin\theta_0)]$

$[R_y-T(\theta_0)cos\theta_0-T(\theta_0)sin\theta_0=0] rarr [R_y=T(\theta_0)(cos\theta_0+sin\theta_0)]$

Per concludere, basta sostituire la relazione sottostante:

$T(\theta_0)=Mgcos\theta_0$

[BigDummy]

Grazie mille!
Noto però che è uguale alla mia soluzione a meno del termine Mg. Forse ho sbagliato a scriverlo perché quella è l'intensità della forza peso che è applicata sulla carrucola , la quale tuttavia ha massa che approssima lo zero. Quindi non avrei dovuto scriverlo oppure avrei dovuto specificare che quell' Mg era in realtà 0. Giusto?

[anonymous_0b37e9]

Premesso che nemmeno io ho considerato la massa della carrucola, mediante la relazione sottostante:

$T(\theta_0)=Mgcos\theta_0$

puoi determinare la tensione del filo quando il pendolo è alla massima elongazione verso destra. Del resto, poiché il pendolo ha velocità nulla, la tensione del filo è uguale alla componente della forza peso del pendolo lungo il filo medesimo.

[BigDummy]

Scusami , non mi sono spiegato bene.
Quando tu scrivi le condizioni d'equilibrio lungo y per la carrucola:

"anonymous_0b37e9":

Condizioni di equilibrio

$[R_y-T(\theta_0)cos\theta_0-T(\theta_0)sin\theta_0=0] $

perché non inserisci la forza peso $-Mg$ che agisce sulla carrucola?

[anonymous_0b37e9]

Sulla carrucola di massa trascurabile agiscono le due tensioni del filo e la reazione incognita. La forza peso di cui parli, se ho capito bene, agisce sulla massa puntiforme $M$ che costituisce il pendolo.