[Esercizio]Pendolo fisico e conservazione en.meccanica
Ciao ragazzi , ho bisogno di un chiarimento sul punto b di questo esercizio:
https://imgur.com/a/hG4CwAG
Vi premetto che le due masse delle due tavolette sono uguali(pari a M)
Quello che ho fatto io è calcolare il cm del sistema composto dalle due tavolette quando quella più lunga è disposta orizzontalmente( e quindi quella più corta verticalmente)
Il CM è : $vec(r)_(CM) =(L/2 , L/4)$
Quindi,dal momento che si conserva l'energia meccanica e che la posizione di equilibrio è quella in cui il CM si trova sotto al fulcro, posso scrivere:
$E_i=E_f rarr 2Mg(L/4)= 1/2 Iomega^2 + 2Mg(L/2)$.
Il risultato è $ omega= sqrt((3/5)g/L)$
Tuttavia è sbagiato. Perché?
https://imgur.com/a/hG4CwAG
Vi premetto che le due masse delle due tavolette sono uguali(pari a M)
Quello che ho fatto io è calcolare il cm del sistema composto dalle due tavolette quando quella più lunga è disposta orizzontalmente( e quindi quella più corta verticalmente)
Il CM è : $vec(r)_(CM) =(L/2 , L/4)$
Quindi,dal momento che si conserva l'energia meccanica e che la posizione di equilibrio è quella in cui il CM si trova sotto al fulcro, posso scrivere:
$E_i=E_f rarr 2Mg(L/4)= 1/2 Iomega^2 + 2Mg(L/2)$.
Il risultato è $ omega= sqrt((3/5)g/L)$
Tuttavia è sbagiato. Perché?
Risposte
Innanzitutto , come hai risposto alla prima domanda ? Cioè , quanto vale l'angolo $alpha$ tra la tavoletta corta e l'orizzontale , nella posizione di equilibrio ? Per trovare $alpha$ devi scrivere un equilibrio di momenti rispetto al punto di sospensione $O$. È vero che le masse , e quindi i pesi, sono uguali, ma le distanze dei baricentri delle due tavolette da $O$ sono diverse .
Nella posizione di equilibrio, assumendo l'asse $z$ passante per $O$ e positivo verso il basso , quanto vale $z_G$ ?
Io direi che, detta $M_1 = M_2 = M$ la massa di ciascuna tavoletta , per trovare $z_G $ devi scrivere :
$(M_1+M_2)z_G = M_1z_1 + M_2z_2 $
dove : $ z_1 = Lcosalpha$ , e $z_2 = L/2senalpha $
Cioè : $z_G = L/2(cosalpha +1/2\senalpha) $
In Quello che hai scritto è sbagliata l' energia potenziale nella posizione finale. Il baricentro si abbassa da $0.25L $ al valore $z_G$ ora detto . Non so , poi, come hai calcolato i momenti di inerzia.
Se ho fatto bene tutti i conti , risulta : $omega = sqrt( 0.744 g/L) $
Nella posizione di equilibrio, assumendo l'asse $z$ passante per $O$ e positivo verso il basso , quanto vale $z_G$ ?
Io direi che, detta $M_1 = M_2 = M$ la massa di ciascuna tavoletta , per trovare $z_G $ devi scrivere :
$(M_1+M_2)z_G = M_1z_1 + M_2z_2 $
dove : $ z_1 = Lcosalpha$ , e $z_2 = L/2senalpha $
Cioè : $z_G = L/2(cosalpha +1/2\senalpha) $
In Quello che hai scritto è sbagliata l' energia potenziale nella posizione finale. Il baricentro si abbassa da $0.25L $ al valore $z_G$ ora detto . Non so , poi, come hai calcolato i momenti di inerzia.
Se ho fatto bene tutti i conti , risulta : $omega = sqrt( 0.744 g/L) $
Ciao, il risultato è corretto.
Quindi tu hai considerato le due sbarrette come se fossero "separate" diciamo,sommando i due contributi.
Facendo così ho capito e mi trovo con il tuo risultato.
Però non capisco perché ho problemi se considero sempre le due sbarrette come un unico corpo,ragionando sul centro di massa totale.
Nella configurazione iniziale,considerando un unico corpo, l'energia potenziale è $2Mg(L/4)$, che equivale alla proiezione lungo y del cm totale del sistema(che ha modulo $L/2$= distanza tra fulcro e CM))
Anche considerando separate le sbarrette viene lo stesso risultato poiché $U_i= U_1 + U_2= 0 + MgL/2$
Visivamente quindi è come se avessi un pendolo semplice di massa 2M collegato ad un filo lungo $L/2$.
All'inizio la massa è "spostata" verso sinistra dalla posizione di equilibrio.
Alla fine invece la massa si trova proprio sotto al fulcro; quindi la distanza da esso non dovrebbe essere proprio pari alla lunghezza del filo?Ovvero alla distanza tra O e il CM totale del sistema?(che è pari ad L/2)
Questo non ho capito...
Ti ringrazio!
Quindi tu hai considerato le due sbarrette come se fossero "separate" diciamo,sommando i due contributi.
Facendo così ho capito e mi trovo con il tuo risultato.
Però non capisco perché ho problemi se considero sempre le due sbarrette come un unico corpo,ragionando sul centro di massa totale.
Nella configurazione iniziale,considerando un unico corpo, l'energia potenziale è $2Mg(L/4)$, che equivale alla proiezione lungo y del cm totale del sistema(che ha modulo $L/2$= distanza tra fulcro e CM))
Anche considerando separate le sbarrette viene lo stesso risultato poiché $U_i= U_1 + U_2= 0 + MgL/2$
Visivamente quindi è come se avessi un pendolo semplice di massa 2M collegato ad un filo lungo $L/2$.
All'inizio la massa è "spostata" verso sinistra dalla posizione di equilibrio.
Alla fine invece la massa si trova proprio sotto al fulcro; quindi la distanza da esso non dovrebbe essere proprio pari alla lunghezza del filo?Ovvero alla distanza tra O e il CM totale del sistema?(che è pari ad L/2)
Questo non ho capito...
Ti ringrazio!
"BigDummy":
Ciao, il risultato è corretto.
Quindi tu hai considerato le due sbarrette come se fossero "separate" diciamo,sommando i due contributi.
Facendo così ho capito e mi trovo con il tuo risultato.
Ma no, io ho considerato un unico corpo rigido.
Però non capisco perché ho problemi se considero sempre le due sbarrette come un unico corpo,ragionando sul centro di massa totale.
Nella configurazione iniziale,considerando un unico corpo, l'energia potenziale è $ 2Mg(L/4) $, che equivale alla proiezione lungo y del cm totale del sistema (che ha modulo $ L/2 $= distanza tra fulcro e CM))
La frase in rosso è sbagliata.
Nella configurazione iniziale , cioè : barretta 1 lunga orizzontale , barretta 2 corta verticale, la distanza del CM (che puoi anche chiamare baricentro G , non muore nessuno) dall'asse orizzontale passante per il fulcro O vale $L/4 = 0.25L $ . Quindi, l'energia potenziale iniziale , assumendo il piano orizzontale per O come piano di riferimento per essa, vale:
$U_i = -0.25L*2Mg$
Per trovare l'energia potenziale finale , cioè quando il corpo rigido è in equilibrio , con G in verticale sotto O , devi innanzitutto trovare quanto vale l'angolo $alpha$ che la barretta corta forma con l'asse orizzontale, nella posizione di equilibrio. Scrivendo l'equilibrio dei momenti dei pesi , applicati nei baricentri delle barrette, hai (fatti una figura ):
$MgLsenalpha = MgL/2cosalpha rarr senalpha = 1/2cosalpha rarr tgalpha = 1/2 rarr alpha = 26º,565$
trovato l'angolo $alpha$ , hai le distanze dei baricentri delle due barrette dall'asse orizzontale :
$ z_1 = Lcosalpha $
$z_2 = L/2senalpha$
e quindi, la distanza del baricentro del corpo rigido , che nella configurazione di equilibrio si trova sotto O , dall'asse orizzontale , è data da :
$2Mz_G = MLcosalpha + ML/2senalpha rarr z_G = L/2(cosalpha +1/2senalpha ) rarr z_G = \approx 0.56L $
Quindi, l'energia potenziale nella posizione finale è :
$U_f = -0.56 L*2Mg$
Scrivendo ora : $U_i = K_f + U_f rarr K_f = U_i-U_f = (-0.25+0.56)*2LMg = 0.62MgL $
deve essere : $ 1/2Iomega^2 = 0.62MgL$
Poichè : $I = 5/3ML^2 $ , deve essere : $ 1/2*5/3ML^2omega^2 = 0.62 MgL $
da cui : $Lomega^2 = 0.744g rarr omega = sqrt(0.744 g/L ) $
Visivamente quindi è come se avessi un pendolo semplice di massa 2M collegato ad un filo lungo $ L/2 $.
All'inizio la massa è "spostata" verso sinistra dalla posizione di equilibrio.
Alla fine invece la massa si trova proprio sotto al fulcro; quindi la distanza da esso non dovrebbe essere proprio pari alla lunghezza del filo?Ovvero alla distanza tra O e il CM totale del sistema?(che è pari ad L/2)
Questo non ho capito...
Ti ringrazio!
Non hai un pendolo semplice di massa 2M collegato a un filo lungo $L/2 =0.5L $ .
Hai un pendolo composto, il cui baricentro, nella posizione di equilibrio, si trova sotto O ad una distanza $0.56L $ .
Te l'ho mostrato prima . Del resto, trova il modulo di $vecr_(CM) $ che hai scritto nel primo post:
$sqrt ( (L/2)^2 + (L/4)^2) = L/4sqrt5 = 0.56L $
Ecco cosa sbagliavo, avevo sbagliato il calcolo del modulo di G, che è $L/4sqrt(5)$
Allora mi trovo.
L'angolo $alpha$ lo avevo già calcolato nel punto precedente,ma secondo me in questo punto ho tutti gli elementi per farne anche a meno.
Nella posizione iniziale la quota del CM rispetto all'asse orizzontale passante per O è pari alla componente orizzontale di G, che è $L/4$.
Quindi
$U_i= 2Mg(L/4)=MgL/2 $
Nella configurazione finale invece la distanza tra il cm dei corpi e il fulcro è uguale proprio al modulo del CM,cioè a $L/4sqrt(5)$
Quindi:
$MgL/2= 1/2Iomega^2 + 2MgL/4sqrt(5)$
Risolvendo:
$1/2(5/3ML^2)omega^2=MgL/2(1-sqrt(5)) rarr omega^2=3/5(g/L)(1-sqrt(5))$
E quindi $omega=2,70 (rad)/s$
Nel calcolo ho supposto appunto che il sistema (le due sbarrette) sia approssimabile ad un pendolo che ha lunghezza del filo pari a $L/4sqrt(5)$ e che ha tutta la massa concentrata nel CM.
Perchè non è corretto anche fare così?Quindi senza mettere di nuovo in mezzo i coseni e i seni dell'angolo $alpha$.
Allora mi trovo.
L'angolo $alpha$ lo avevo già calcolato nel punto precedente,ma secondo me in questo punto ho tutti gli elementi per farne anche a meno.
Nella posizione iniziale la quota del CM rispetto all'asse orizzontale passante per O è pari alla componente orizzontale di G, che è $L/4$.
Quindi
$U_i= 2Mg(L/4)=MgL/2 $
Nella configurazione finale invece la distanza tra il cm dei corpi e il fulcro è uguale proprio al modulo del CM,cioè a $L/4sqrt(5)$
Quindi:
$MgL/2= 1/2Iomega^2 + 2MgL/4sqrt(5)$
Risolvendo:
$1/2(5/3ML^2)omega^2=MgL/2(1-sqrt(5)) rarr omega^2=3/5(g/L)(1-sqrt(5))$
E quindi $omega=2,70 (rad)/s$
Nel calcolo ho supposto appunto che il sistema (le due sbarrette) sia approssimabile ad un pendolo che ha lunghezza del filo pari a $L/4sqrt(5)$ e che ha tutta la massa concentrata nel CM.
Perchè non è corretto anche fare così?Quindi senza mettere di nuovo in mezzo i coseni e i seni dell'angolo $alpha$.
Non puoi assimilare un pendolo composto , di massa $m$ ( nel tuo caso : $m = 2M$ ) , il cui centro di massa dista $d$ dal punto di sospensione , ad un pendolo semplice , avente ugual massa concentrata in G !
Nel tuo caso , la distanza detta vale :
$d = Lsqrt5/4 = 0.559 L $
un pendolo composto equivale ad un pendolo semplice , la cui lunghezza è la cosiddetta "lunghezza ridotta " del pendolo composto : $l = I/(md) $ . Nel tuo caso :
$l = I/(md) = (5/3ML^2)/(2MLsqrt5/4) =....= 1.49L $
Come vedi c'è una bella differenza. Tu devi solo considerare la variazione di energia potenziale , poiché il baricentro del pendolo composto passa dalla quota iniziale alla finale ; si, potevi farlo senza passare da seni e coseni di $alpha$. Quindi il procedimento è giusto, ma non è vero che stai considerando un pendolo semplice equivalente!
Ti faccio notare che $(1-sqrt5) <0 $ , hai sbagliato il segno della differenza di energia potenziale, salvo che poi lo hai preso positivo...
Nel tuo caso , la distanza detta vale :
$d = Lsqrt5/4 = 0.559 L $
un pendolo composto equivale ad un pendolo semplice , la cui lunghezza è la cosiddetta "lunghezza ridotta " del pendolo composto : $l = I/(md) $ . Nel tuo caso :
$l = I/(md) = (5/3ML^2)/(2MLsqrt5/4) =....= 1.49L $
Come vedi c'è una bella differenza. Tu devi solo considerare la variazione di energia potenziale , poiché il baricentro del pendolo composto passa dalla quota iniziale alla finale ; si, potevi farlo senza passare da seni e coseni di $alpha$. Quindi il procedimento è giusto, ma non è vero che stai considerando un pendolo semplice equivalente!
Ti faccio notare che $(1-sqrt5) <0 $ , hai sbagliato il segno della differenza di energia potenziale, salvo che poi lo hai preso positivo...
"Shackle":
Non puoi assimilare un pendolo composto , di massa $m$ ( nel tuo caso : $m = 2M$ ) , il cui centro di massa dista $d$ dal punto di sospensione , ad un pendolo semplice , avente ugual massa concentrata in G !
Si,scusami. Ho sbagliato ad esprimermi.
Cioè quello che ho fatto è stato il considerare la massa totale del corpo concentrata nel CM. E poi fare "finta" di studiare un pendolo.
La stessa cosa che hai scritto tu in questa discussione vecchia:
viewtopic.php?f=19&t=171452
e cioè:
Trova ora il CM del corpo rigido. Immagina la massa totale concentrata nel CM . Assumi un piano di riferimento per l'energia potenziale , sul quale essa sia considerata nulla...
Ti faccio notare che $(1-sqrt5) <0 $ , hai sbagliato il segno della differenza di energia potenziale, salvo che poi lo hai preso positivo...
Giusto,come posso modificare?
Giusto,come posso modificare?
Mettendo i segni giusti alle energie potenziali iniziali e finali ! SE guardi il mio messaggio delle 15,20 , vedi che li ho messi negativi.
Se ti confonde il piano di riferimento per EP passante per O , puoi assumerlo passante per il punto più basso di G . Quindi l' EP iniziale è positiva, quella finale è zero , però devi mettere la giusta variazione di quota di G .
Ok,perfetto.
Ti ringrazio Shackle!
Ti ringrazio Shackle!
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