Esercizio urto obliquo
Ciao,
Un disco di hockey di $0,300 kg$, inizialmente in quiete su una superficie senza attrito, è urtato da un altro disco, di massa $0,200$ che si muove inizialmente lungo l'asse $x$ con una velocita di $2,00 m/s$. Dopo l'urto il disco di $0,200 kg$ ha una velocità di $2,00 m/s$ in una direzione che forma un angolo $teta=53,0°$ con la direzione positiva dell'asse $x$.
(a) Calcolare la velocità del disco di $0,300 kg$ dopo l'urto, compreso l'angolo che forma con l'asse $x$ e (b) la frazione di energia cinetica dissipata durante l'urto.
Ho calcolato il modulo della velocità finale che risulta giusto secondo il testo, $1,07 m/s$. Però a me risulta un angolo di circa $70,0°$, mentre sul testo risulta $-29,7°$, a parte il segno come è possibile questa differenza? Inoltre non capisco cosa intende per frazione di energia cinetica dissipata durante l'urto: ho provato sia con $DeltaK/K_i$ sia con $K_i/K_f$ e $K_f/K_i$, ma il risultato non coincide col testo ($0,318$). Con $K$ intendo l'energia totale del sistema disco1+disco2.
Grazie.
Un disco di hockey di $0,300 kg$, inizialmente in quiete su una superficie senza attrito, è urtato da un altro disco, di massa $0,200$ che si muove inizialmente lungo l'asse $x$ con una velocita di $2,00 m/s$. Dopo l'urto il disco di $0,200 kg$ ha una velocità di $2,00 m/s$ in una direzione che forma un angolo $teta=53,0°$ con la direzione positiva dell'asse $x$.
(a) Calcolare la velocità del disco di $0,300 kg$ dopo l'urto, compreso l'angolo che forma con l'asse $x$ e (b) la frazione di energia cinetica dissipata durante l'urto.
Ho calcolato il modulo della velocità finale che risulta giusto secondo il testo, $1,07 m/s$. Però a me risulta un angolo di circa $70,0°$, mentre sul testo risulta $-29,7°$, a parte il segno come è possibile questa differenza? Inoltre non capisco cosa intende per frazione di energia cinetica dissipata durante l'urto: ho provato sia con $DeltaK/K_i$ sia con $K_i/K_f$ e $K_f/K_i$, ma il risultato non coincide col testo ($0,318$). Con $K$ intendo l'energia totale del sistema disco1+disco2.
Grazie.
Risposte
Puoi riportare i calcoli, con uno schema della situazione? Perchè a me viene un valore ancora diverso
Ho rifatto i calcoli in modo più preciso, adesso oltre all'angolo anche la velocità non coincide.
Conservazione quantità di moto:
Asse x
$m_1v_(1i)=m_1v_(1f)cos(53,0°)+m_2v_(2f)cosx$
Da cui
$v_(2f)cosx=(m_1(v_(1i)-v_(1f)cos(53,0°)))/m_2=0,3 m/s$
Asse y
$0=m_1v_(1f)sen(53,0°)-m_2v_(2f)senx$
Da cui
$v_(2f)senx=(m_1v_(1f)sen(53,0°))/m_2=1,06 m/s$
Quindi
$v_(2f)=sqrt((v_(2f)cosx)^2+(v_(2f)senx)^2)=1,10 m/s$ (secondo il testo $1,07 m/s$)
A questo punto per calcolare l'angolo :
$cosx=(v_(2f)cosx)/v_(2f)=(0,3)/(1,10)$
Quindi :
$x=arccos((0,3)/(1,10))=74,2°$
Conservazione quantità di moto:
Asse x
$m_1v_(1i)=m_1v_(1f)cos(53,0°)+m_2v_(2f)cosx$
Da cui
$v_(2f)cosx=(m_1(v_(1i)-v_(1f)cos(53,0°)))/m_2=0,3 m/s$
Asse y
$0=m_1v_(1f)sen(53,0°)-m_2v_(2f)senx$
Da cui
$v_(2f)senx=(m_1v_(1f)sen(53,0°))/m_2=1,06 m/s$
Quindi
$v_(2f)=sqrt((v_(2f)cosx)^2+(v_(2f)senx)^2)=1,10 m/s$ (secondo il testo $1,07 m/s$)
A questo punto per calcolare l'angolo :
$cosx=(v_(2f)cosx)/v_(2f)=(0,3)/(1,10)$
Quindi :
$x=arccos((0,3)/(1,10))=74,2°$
$v_(2f)cosx=(m_1(v_(1i)-v_(1f)cos(53,0°)))/m_2=0.2/0.3 * 2 (1 - cos 53) = 0.54$
$v_(2f)senx=(m_1v_(1f)sen(53,0°))/m_2=1,06 m/s$
$tanx = (v_(2f)senx)/(v_(2f)cosx) = 1.06/0.54 = 1,97 => x = 63,1°$
$v_(2f)senx=(m_1v_(1f)sen(53,0°))/m_2=1,06 m/s$
$tanx = (v_(2f)senx)/(v_(2f)cosx) = 1.06/0.54 = 1,97 => x = 63,1°$
"mgrau":
$v_(2f)cosx=(m_1(v_(1i)-v_(1f)cos(53,0°)))/m_2=0.2/0.3 * 2 (1 - cos 53) = 0.54$
$v_(2f)senx=(m_1v_(1f)sen(53,0°))/m_2=1,06 m/s$
$tanx = (v_(2f)senx)/(v_(2f)cosx) = 1.06/0.54 = 1,97 => x = 63,1°$
Forse c'è una differenza su come sono impostati gli angoli nelle calcolatrici.
Controlla il testo, che è sicuramente sbagliato: la velocità del disco urtante deve diminuire comunque dopo l'urto, elastico o no, perché il disco urtato, che era fermo, si muove portando via qdm ed energia.
"veciorik":
Controlla il testo, che è sicuramente sbagliato: la velocità del disco urtante deve diminuire comunque dopo l'urto, elastico o no, perché il disco urtato, che era fermo, si muove portando via qdm ed energia.
Il modulo della velocità non cambia secondo il testo.
In quale libro l'hai trovato ?
Se è sbagliato il testo può essere sbagliata anche la risposta.
Se è sbagliato il testo può essere sbagliata anche la risposta.
"veciorik":
In quale libro l'hai trovato ?
Se è sbagliato il testo può essere sbagliata anche la risposta.
Serway
Metti $1\text(m/s)$ la velocità in "uscita" del disco piccolo e i conti tornano ...
"axpgn":
Metti $1\text(m/s)$ la velocità in "uscita" del disco piccolo e i conti tornano ...
Quindi un dato dell'esercizio è sbagliato?
IMHO ... sì
"axpgn":
IMHO ... sì
Possibile. Così torna tutto
Partendo dal presupposto che in nessun caso la massa urtante può mantenere la stessa qdm dopo aver ceduto una parte di energia cinetica. Anche secondo me qualcosa non torna nell'esposizione del testo (strano se è largamente diffuso).
Provando a decifrare, è possibile che intendesse che è il disco di massa 0,3 kg con velocità iniziale 2 m/s lungo asse x, ad urtare il disco da 0,2kg fermo. Dopo l'urto, il disco da 0,2 kg è spinto fino a velocità 2 m/s lungo la traiettoria che interseca x a 53°.
Se ne può dedurre che le richieste al quesito siano: A quale velocità, e su quale traiettoria rispetto all'asse x, sarà il moto della massa 0,3 kg.
La forza-viva prima dell'urto è pari a 0,6.
La soluzione del testo ti dice che la velocità della massa 0,3 kg dopo l'urto è 1,07 m/s.
Facendo la somma della forza-viva delle due masse dopo l'urto si ha (0,4 + 0,17173) 0,57173.
La differenza tra le due scalari iniziale e finale (0,6 - 0,57173) è 0,0282.
Quel 0,318 non vedo proprio come possa saltare fuori, perché sarebbe una dispersione di oltre metà della forza-viva iniziale, condizione che non si verifica, almeno stando al testo. (Spostando la virgola e sommandolo al risultato precedente riconduce a 0,06... strana coincidenza, forse qualche paciugo sfuggito in revisione).
Comunque sia, la dinamica dello scambio di forze impulsive negli urti tra masse sferiche (o dischi vincolati su un piano come in questo caso), è prevedibile tramite semplici relazioni che includono i valori di massa, raggio, posizione, velocità e traiettoria.
L' angolo di +53° corrisponde a scostamento del punto di collisione di $r_1 alphasin$ rispetto alla traiettoria del baricentro.
In via teorica, ipotizzando che l'impulso sia trasferito in un intervallo di tempo prossimo a zero, senza deformazioni e che le superfici di contatto siano lisce senza attriti, in modo tale che il moto rotazionale impresso sia trascurabile (altrimenti occorre analizzare la precisa dinamica di accelerazione, includendo nel calcolo diverse variabili relative alle proprietà dei materiali, sapendo inoltre che l'angolo di impatto non sarebbe lo stesso della traiettoria acquisita dalla massa urtata)
Il seguente grafico, può essere utile per una immediata visualizzazione del rapporto che sussiste tra il raggio del corpo collidente e lo scostamento del punto d'impatto rispetto alla traiettoria.
la qdm iniziale della massa 0,3 kg attribuita all'asse inclinato di +53° corrisponde a: $0,3*2* αcos = 0,361 kg*m/s$.
Considerando che in urti senza deformazione la massima qdm trasferibile da massa maggiore a massa minore corrisponde al prodotto della massa urtata per la velocità della massa collidente, ne deriva che al corpo da 0,2 kg viene attribuita una qdm di $0,361//0,3 * 0,2 = 0,24 kg*m/s$ che si traduce in una velocità impressa di 1,2 m/s.
La velocità mantenuta del 0,3 kg sull'asse inclinato a 53°:
La qdm residua è $(0,361-0,24) 0,1204 kg*m/s$, da cui una velocità sull'asse di 0,40 m/s.
La velocità sull'altro asse perpendicolare (-37° rispetto a x), resta invariata durante tutto l'evento a $53 αsin*2 = 1,6 m/s$.
Ne deriva una velocità finale della massa 0,3 kg di 1,65 m/s.
L'angolo di traiettoria del 0,3 kg è $0,4//1,6 = αtan 0,25 = +14°$ su coordinata x a -37°, quindi a -23° rispetto a coordinata x iniziale.
La Forza-viva finale è (0,144 + 0,407) 0,551 rispetto a 0,6 iniziale.
La differenza comunque non consiste in energia dissipata sotto altre forme, ma è semplicemente la differenza che genera l'esponente al quadrato della formula forza-viva $1/2mv^2$ a diversi valori di modulo velocità, posta una identica quantità di moto.
Per finire aggiungo che un'analisi balistica ottimale include anche trasformazioni di coordinate d'impulso, tramite specifiche equazioni di conversione da qdm a impulso per cambi di coordinate. Alla base vi è una trattazione distinta tra composizioni e scomposizioni dei vettori impulsivi, che in nessun caso concede un incremento dello scalare qdm, come invece risulta dalla risoluzione convenzionale di cui sopra.
Provando a decifrare, è possibile che intendesse che è il disco di massa 0,3 kg con velocità iniziale 2 m/s lungo asse x, ad urtare il disco da 0,2kg fermo. Dopo l'urto, il disco da 0,2 kg è spinto fino a velocità 2 m/s lungo la traiettoria che interseca x a 53°.
Se ne può dedurre che le richieste al quesito siano: A quale velocità, e su quale traiettoria rispetto all'asse x, sarà il moto della massa 0,3 kg.
La forza-viva prima dell'urto è pari a 0,6.
La soluzione del testo ti dice che la velocità della massa 0,3 kg dopo l'urto è 1,07 m/s.
Facendo la somma della forza-viva delle due masse dopo l'urto si ha (0,4 + 0,17173) 0,57173.
La differenza tra le due scalari iniziale e finale (0,6 - 0,57173) è 0,0282.
Quel 0,318 non vedo proprio come possa saltare fuori, perché sarebbe una dispersione di oltre metà della forza-viva iniziale, condizione che non si verifica, almeno stando al testo. (Spostando la virgola e sommandolo al risultato precedente riconduce a 0,06... strana coincidenza, forse qualche paciugo sfuggito in revisione).
Comunque sia, la dinamica dello scambio di forze impulsive negli urti tra masse sferiche (o dischi vincolati su un piano come in questo caso), è prevedibile tramite semplici relazioni che includono i valori di massa, raggio, posizione, velocità e traiettoria.
L' angolo di +53° corrisponde a scostamento del punto di collisione di $r_1 alphasin$ rispetto alla traiettoria del baricentro.
In via teorica, ipotizzando che l'impulso sia trasferito in un intervallo di tempo prossimo a zero, senza deformazioni e che le superfici di contatto siano lisce senza attriti, in modo tale che il moto rotazionale impresso sia trascurabile (altrimenti occorre analizzare la precisa dinamica di accelerazione, includendo nel calcolo diverse variabili relative alle proprietà dei materiali, sapendo inoltre che l'angolo di impatto non sarebbe lo stesso della traiettoria acquisita dalla massa urtata)
Il seguente grafico, può essere utile per una immediata visualizzazione del rapporto che sussiste tra il raggio del corpo collidente e lo scostamento del punto d'impatto rispetto alla traiettoria.
la qdm iniziale della massa 0,3 kg attribuita all'asse inclinato di +53° corrisponde a: $0,3*2* αcos = 0,361 kg*m/s$.
Considerando che in urti senza deformazione la massima qdm trasferibile da massa maggiore a massa minore corrisponde al prodotto della massa urtata per la velocità della massa collidente, ne deriva che al corpo da 0,2 kg viene attribuita una qdm di $0,361//0,3 * 0,2 = 0,24 kg*m/s$ che si traduce in una velocità impressa di 1,2 m/s.
La velocità mantenuta del 0,3 kg sull'asse inclinato a 53°:
La qdm residua è $(0,361-0,24) 0,1204 kg*m/s$, da cui una velocità sull'asse di 0,40 m/s.
La velocità sull'altro asse perpendicolare (-37° rispetto a x), resta invariata durante tutto l'evento a $53 αsin*2 = 1,6 m/s$.
Ne deriva una velocità finale della massa 0,3 kg di 1,65 m/s.
L'angolo di traiettoria del 0,3 kg è $0,4//1,6 = αtan 0,25 = +14°$ su coordinata x a -37°, quindi a -23° rispetto a coordinata x iniziale.
La Forza-viva finale è (0,144 + 0,407) 0,551 rispetto a 0,6 iniziale.
La differenza comunque non consiste in energia dissipata sotto altre forme, ma è semplicemente la differenza che genera l'esponente al quadrato della formula forza-viva $1/2mv^2$ a diversi valori di modulo velocità, posta una identica quantità di moto.
Per finire aggiungo che un'analisi balistica ottimale include anche trasformazioni di coordinate d'impulso, tramite specifiche equazioni di conversione da qdm a impulso per cambi di coordinate. Alla base vi è una trattazione distinta tra composizioni e scomposizioni dei vettori impulsivi, che in nessun caso concede un incremento dello scalare qdm, come invece risulta dalla risoluzione convenzionale di cui sopra.
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