Esercizio urto e inerzia
Un disco omogeneo di massa M e diametro D, è vincolato a ruotare in un
piano verticale attorno ad un asse orizzontale passante per un punto O posto
sul bordo del disco. Inizialmente il disco è in quiete nella posizione di
equilibrio instabile, come mostrato in figura. Ad un certo istante una pallina
di massa m, avente velocità v diretta come mostrato in figura colpisce il
disco nel punto A opposto ad O, rimanendo attaccata al bordo. Si determini
la velocità angolare del sistema disco+pallina nell'istante in cui esso transita
dalla posizione di equilibrio stabile.
qualche dritta?
Risposte
E' un esercizio pressoché standard. Perché non scrivi quale è il tuo dubbio o almeno un tentativo di soluzione?
Non so se è giusto quello che dico ma penso che poichè si tratta di un urto perfettamente anaelastico la quantità di moto si conserva quindi se la quantità di moto iniziale del disco è pdi=M*0=0 quella della pallina è ppi=mv allora si ha che 0 + mv(i) = (M + m)v(f)
da cui si ricava che la velocità finale è v(f)= $ (mv(i))/( M +m ) $ questa è la velocità del sistema dopo l'urto. Poichè tu vuoi sapere la velocità angolare si sa che v=r*omega quindi omega=v/r ossia omega=$(v(f))/D$ dove D è il diametro che in questo caso è il raggio del sistema. Penso sia così poi non lo so se non è così semplice come sembra....XD
da cui si ricava che la velocità finale è v(f)= $ (mv(i))/( M +m ) $ questa è la velocità del sistema dopo l'urto. Poichè tu vuoi sapere la velocità angolare si sa che v=r*omega quindi omega=v/r ossia omega=$(v(f))/D$ dove D è il diametro che in questo caso è il raggio del sistema. Penso sia così poi non lo so se non è così semplice come sembra....XD
"AlexlovesUSA":
Non so se è giusto quello che dico ma penso che poichè si tratta di un urto perfettamente anaelastico la quantità di moto si conserva quindi se la quantità di moto iniziale del disco è pdi=M*0=0 quella della pallina è ppi=mv allora si ha che 0 + mv(i) = (M + m)v(f)
da cui si ricava che la velocità finale è v(f)= $ (mv(i))/( M +m ) $ questa è la velocità del sistema dopo l'urto. Poichè tu vuoi sapere la velocità angolare si sa che v=r*omega quindi omega=v/r ossia omega=$(v(f))/D$ dove D è il diametro che in questo caso è il raggio del sistema. Penso sia così poi non lo so se non è così semplice come sembra....XD
Sbagliato.
La quantità di moto prima e dopo l'urto non si conserva visto che al momento dell'urto agisce la reazione del perno che è una forza esterna al sistema disco + massa.
Si conserva invece rispetto al perno il momento angolare, altresì detto momento della quantità di moto (altresì detto da me quantità di moto angolare).
ah già non avevo pensato minimamente al perno perchè siccome è in equilibrio instabile avevo pensato che appena la pallina toccava non c'era nessuna resistenza, il corpo iniziava a ruotare, ma sei sicuro di quello che dici? perchè io ho l'esame di fisica tra 4 giorni e già sono un pochino confuso XD ma nel mio libro non ho mai sentito parlare di forza di reazione del perno, praticamente tu dici che sapendo L=mvrsen(teta) con teta l'angolo tra la dir pallina e il raggio nel punto in cui si incontrano ossia teta=90° dobbiamo porre Li = Lf e trovare omega?
Quello che mi fa confondere sono le forze esterne al sistema, in generale quali sono?
Nella conservazione del momento angolare invece si richiede che il momento delle forze esterne sia 0 cioè tau=I*alfa=0 ma quali sono praticamente parlando i momenti delle forze esterne?
Quello che mi fa confondere sono le forze esterne al sistema, in generale quali sono?
Nella conservazione del momento angolare invece si richiede che il momento delle forze esterne sia 0 cioè tau=I*alfa=0 ma quali sono praticamente parlando i momenti delle forze esterne?
Di sicuro al mondo non c'è nulla... Diciamo che sono sicuro al di là di ogni ragionevole dubbio... 
In sostanza calcoli la velocità del sistema subito dopo l'urto imponendo che il momento della quantità di moto rispetto al polo $O$ non cambi prima e dopo l'urto. Questo è vero perché la reazione del perno in $O$ non dà momento rispetto a quel polo e anche la forza peso non dà contributo.
Poi per calcolare la velocità angolare del sistema disco+massa nel punto più basso applichi la conservazione dell'energia meccanica tra la posizione iniziale del sistema e quella quando il disco passa per la configurazione di equilibrio stabile.. Questi sono gli ingredienti, a te cucinarli bene ora.
Prova a scrivere le formule e se hai dubbi chiedi.
Per la differenza tra forze esterne e forze interne... be' in questo caso occorre considerare per convenienza il sistema disco+ massa e chiaramente il perno dà una forza che è esterna al sistema, per convincertene basta che pensi che il comportamento del sistema se non ci fosse il perno sarebbe completamente diverso tra prima e dopo l'urto (infatti il disco non ruoterebbe attorno al perno).
PS: Visto che hai scritto ormai quasi 40 messaggi dovresti imparare a scrivere le formule, non è poi così difficile basta nella maggior parte dei casi racchiudere tra \$ le espressioni e magari usare l'anteprima prima di postare.
EDIT : per le lettere greche $theta$ $omega$ $epsilon$ $alpha$ $phi$.... Basta cliccare su rispondi ad un messaggio scritto con le fornule corrette e puoi vedere come ottenere quella scrittura.
In sostanza calcoli la velocità del sistema subito dopo l'urto imponendo che il momento della quantità di moto rispetto al polo $O$ non cambi prima e dopo l'urto. Questo è vero perché la reazione del perno in $O$ non dà momento rispetto a quel polo e anche la forza peso non dà contributo.
Poi per calcolare la velocità angolare del sistema disco+massa nel punto più basso applichi la conservazione dell'energia meccanica tra la posizione iniziale del sistema e quella quando il disco passa per la configurazione di equilibrio stabile.. Questi sono gli ingredienti, a te cucinarli bene ora.
Prova a scrivere le formule e se hai dubbi chiedi.
Per la differenza tra forze esterne e forze interne... be' in questo caso occorre considerare per convenienza il sistema disco+ massa e chiaramente il perno dà una forza che è esterna al sistema, per convincertene basta che pensi che il comportamento del sistema se non ci fosse il perno sarebbe completamente diverso tra prima e dopo l'urto (infatti il disco non ruoterebbe attorno al perno).
PS: Visto che hai scritto ormai quasi 40 messaggi dovresti imparare a scrivere le formule, non è poi così difficile basta nella maggior parte dei casi racchiudere tra \$ le espressioni e magari usare l'anteprima prima di postare.
EDIT : per le lettere greche $theta$ $omega$ $epsilon$ $alpha$ $phi$.... Basta cliccare su rispondi ad un messaggio scritto con le fornule corrette e puoi vedere come ottenere quella scrittura.
"AlexlovesUSA":
ah già non avevo pensato minimamente al perno perchè siccome è in equilibrio instabile avevo pensato che appena la pallina toccava non c'era nessuna resistenza, il corpo iniziava a ruotare, ma sei sicuro di quello che dici? perchè io ho l'esame di fisica tra 4 giorni e già sono un pochino confuso XD ma nel mio libro non ho mai sentito parlare di forza di reazione del perno, praticamente tu dici che sapendo L=mvrsen(teta) con teta l'angolo tra la dir pallina e il raggio nel punto in cui si incontrano ossia teta=90° dobbiamo porre Li = Lf e trovare omega?
Quello che mi fa confondere sono le forze esterne al sistema, in generale quali sono?
Nella conservazione del momento angolare invece si richiede che il momento delle forze esterne sia 0 cioè tau=I*alfa=0 ma quali sono praticamente parlando i momenti delle forze esterne?
Sei proprio convinto di provare l'esame tra quattro giorni?
I tuoi dubbi mi sembrano veramente fondamentali .... ma forse l'esame è più facile di quanto penso
nono per niente, l'esame è abbastanza tosto, l'interrogazione dura quasi 2 ore e pretendono molto, appena sbagli un piccolo segno sei bocciato. Forse siccome mi sono dedicato alla fisica parte elettromagnetismo per 2 mesi ho dimenticato qualche concetto infatti devo fare un bel ripasso in questi giorni. Sinceramente, sarà perchè sono stanco e confuso stasera ma della spiegazione del problema non ho capito molto, potresti essere un po più chiaro perfavore? Questa forza di reazione del polo come si disegna? Quale è il suo verso, la sua direzione e il suo modulo?( Possiamo paragonarlo al filo in tensione che gira su un piano verticale con una pallina all'estremità che la fa girare di moto circolare ?)
Nel punto + basso intendi dire quando il disco ha compiuto mezzo giro perchè si trova in questo caso in equilibrio stabile.
Evito di scrivere le formule perchè le so e ho capito anche quello che mi dici di fare ma vorrei mettere in ordine un po di cose.
Quando si tratta di moto rotatorio o di rotolamento in un sistema come faccio ad individuare le forze esterne?
Nel punto + basso intendi dire quando il disco ha compiuto mezzo giro perchè si trova in questo caso in equilibrio stabile.
Evito di scrivere le formule perchè le so e ho capito anche quello che mi dici di fare ma vorrei mettere in ordine un po di cose.
Quando si tratta di moto rotatorio o di rotolamento in un sistema come faccio ad individuare le forze esterne?
"AlexlovesUSA":
Questa forza di reazione del polo come si disegna? Quale è il suo verso, la sua direzione e il suo modulo?( Possiamo paragonarlo al filo in tensione che gira su un piano verticale con una pallina all'estremità che la fa girare di moto circolare ?)
Forse quello che ti manca è un po' di metodo.
Tu devi considerare il tuo sistema, immaginare l'insieme dagli oggetti che lo compongono, tracciare attorno a questi una superficie immaginaria che li contiene e considerare tutte le interazioni che attraversano questa superficie (forze esterne).
Poiché nel caso di questo esercizio le cose cominciano a diventare interessanti quando la pallina si attacca al disco, drei che come sistema ti conviene utilizzare l'insieme dei due oggetti.
Le forze esterne possono essere scomposte per comodità nelle loro componenti orizzontali e verticali.
Allora la domanda è: in quali punti il nostro sistema ha interazione con l'esterno e quali sono le forze che attraversano la superficie immaginaria che lo contiene? Allora per prima cosa sicuramente la forza di gravità, che agisce su tutta la massa del corpo ma che si può considerare concentrata sul suo baricentro, oppure se è più comodo separatamente sui baricentri degli oggetti componenti. Questa è una forza esterna verticale. Un altro punto nel quale il sistema è toccato dal resto del mondo è il perno, il quale può comunicare al sistema delle forze di qualsiasi modulo e dirette in qualsiasi direzione. Sono forze incognite che a volte occorre determinare, a volte non è necessario farlo. Un dettaglio importante è che i perni lisci possono comunicare solo forze passanti per il loro asse (se fossero incastri oppure perni con attrito allora ciò non sarebbe vero e la cosa diventerebbe più complessa).
Nel caso dei perni lisci è possibile utilizzare il trucco che ha indicato Faussone, cioè calcolare il momento angolare del sistema prima e dopo l'urto, e dire che si conserva. Prima dell'urto (un istante infinitesimo prima) il momento angolare è $mv2R$, ossia la quantità di moto per il braccio. Altri oggetti in movimento non ce ne sono, dunque quello è tutto il momento angolare. Dopo l'urto ci sono 2 oggetti che si muovono, la palla ha momento angolare $mv'2R$, la ruota ha momento angolare $I\omega=I(v')/(2R)$. La somma di questi due deve essere uguale al momento angolare prima dell'urto. Per inciso ti faccio notare che considerando due istanti infinitesimi attorno al punto dell'urto il momento angolare si conserva perché i momenti delle forze agenti sono nulli: infatti sia la forza peso della pallina che quella del disco passano per il perno.
Fatto questo calcolo puoi trovare la velocità $v'$. A questo punto sai che prima dell'urto il sistema aveva quantità di moto verso sinistra pari a $mv$, mentre dopo l'urto ha quantità di moto $mv'+M(v')/2$ sempre verso sinistra (pure il baricentro del disco si muove, ma con velocità metà rispetto alla pallina). Considerando la differenza delle 2 quantità di moto puoi concludere che il perno, che è responsabile di questa variazione, comunica un impulso $\DeltaP=m(v'-v)+M(v')/2$. Questa è la reazione orizzontale del perno. Potrà forse risultarti strana una reazione impulsiva, che corrisponde a una forza infinita agente per un tempo infinitesimo, e il prodotto della forza per il tempo è appunto $\DeltaP$, ma queste reazioni impulsive sono tipiche dei fenomeni di urto. La reazione verticale del perno, invece, prima e dopo l'urto non cambia ed è sempre $F=(m+M)g$ vero l'alto (equilibra la forza peso).
Grazie Sei stato molto chiaro e ho capito tutto fino a quando eguagli i momenti angolari prima e dopo l'urto. Dopo di ciò mi sono perso. Noi non dobbiamo trovare la velocità angolare del sistema? Perchè tu parli di v' che è velocità? Inoltre mi è un po confuso il discorso dell'impulso del perno e della forza di reazione . Cioè questo disco con la pallina hanno una massa totale M+m quindi una forza peso F=(M+m)g, questa forza subito dopo l'urto si concentra sull'asse e anche quando questo disco ha girato di 90° ma quando è a metà il peso non si concentra sul corpo? inoltre non vedo cosa c'entri il concetto dell'impulso( che si lo so che a un urto è correlato un impulso ma non vedo a cosa possa servirmi in questo caso)
Posso farti una domanda Falco? Che cosa hai studiato per sapere le cose così in dettaglio? Te lo chiedo perchè in ingegneria facciamo la fisica ma mi sono accorto che ci sono molti concetti che non trattiamo dettagliatamente.
Posso farti una domanda Falco? Che cosa hai studiato per sapere le cose così in dettaglio? Te lo chiedo perchè in ingegneria facciamo la fisica ma mi sono accorto che ci sono molti concetti che non trattiamo dettagliatamente.
"AlexlovesUSA":
Grazie Sei stato molto chiaro e ho capito tutto fino a quando eguagli i momenti angolari prima e dopo l'urto. Dopo di ciò mi sono perso. Noi non dobbiamo trovare la velocità angolare del sistema? Perchè tu parli di v' che è velocità? Inoltre mi è un po confuso il discorso dell'impulso del perno e della forza di reazione . Cioè questo disco con la pallina hanno una massa totale M+m quindi una forza peso F=(M+m)g, questa forza subito dopo l'urto si concentra sull'asse e anche quando questo disco ha girato di 90° ma quando è a metà il peso non si concentra sul corpo? inoltre non vedo cosa c'entri il concetto dell'impulso( che si lo so che a un urto è correlato un impulso ma non vedo a cosa possa servirmi in questo caso)
Posso farti una domanda Falco? Che cosa hai studiato per sapere le cose così in dettaglio? Te lo chiedo perchè in ingegneria facciamo la fisica ma mi sono accorto che ci sono molti concetti che non trattiamo dettagliatamente.
Risposte :
1)La velocità angolare è correlata alla v' dalla relazione $\omega2R=v'$, per cui ricavando l'una conosci anche l'altra.
2)La forza peso di pallina+disco è verticale solo al momento dell'urto, quindi solo in quell'istante il momento di questa forza è zero e il momento angolare si conserva. Dopo l'urto quando il disco comincia a girare la forza peso della pallina e quella applicata al baricentro del disco agiscono lungo rette che non passano più per il perno, dunque nasce un momento torcente che aumenta il momento angolare (infatti il sistema accelera la rotazione finché la pallina arriva al punto più basso, dove la velocità è massima). Per calcolare la velocità al punto più basso Faussone ti suggeriva di applicare i principi dell'energia, che è il calcolo più semplice e ti evita considerazioni complicate: infatti conoscendo la v' subito dopo l'urto conosci l'energia cinetica del sistema (pallina+disco), e quindi aggiungendo la perdita di energia potenziale, ovvero $(4Rm+2RM)g$, ottieni la energia cinetica del sistema al punto più basso, e quindi trovi la velocità v''.
3)Ti ho spiegato la faccenda dell'impulso solo per rispondere alla tua domanda che era: Questa forza di reazione del polo come si disegna? Quale è il suo verso, la sua direzione e il suo modulo? Naturalmente ho risposto alla domanda per il solo intorno dell'istante dell'urto. Dopo, quando la palla comincia a scendere, la reazione del perno non è più impulsiva, ma è una forza che dipende dal peso del sistema e dalla accelerazione della pallina. Ma non entro nel dettaglio altrimenti rischio di farti ancora più confusione.
4)Io sono ingegnere elettronico, mi sono laureato nel lontano '76 e sto qua per divertimento. Quello che so l'ho imparato in quei tempi lontani, però quello che ho capito l'ho capito anche ripensandoci da solo successivamente. Sempre per divertirmi, ovviamente!
Ciao.
Ecco perchè....XD. Grazie comunque per le risposte adesso ho capito. Per me è la prima volta che provo l'esame di fisica quindi per questo mi sento un po confuso capisci? Stamattina leggendo il prblema ho capito quello che mi voleva dire e come si faceva invece ieri sera ero talmente stanco che non capivo niente.
Falco ti ha detto praticamente tutto.
Solo un ultimo avvertimento riguardo al problema specifico: attenzione al momento di inerzia del disco, la rotazione non è attorno al suo centro di massa quindi per il calcolarlo devi applicare il teorema di Huygens-Steiner.
Solo un ultimo avvertimento riguardo al problema specifico: attenzione al momento di inerzia del disco, la rotazione non è attorno al suo centro di massa quindi per il calcolarlo devi applicare il teorema di Huygens-Steiner.
"Faussone":
Solo un ultimo avvertimento riguardo al problema specifico: attenzione al momento di inerzia del disco, la rotazione non è attorno al suo centro di massa quindi per il calcolarlo devi applicare il teorema di Huygens-Steiner.
Urka c'hai raggione Fausso'.
Invasato dal sacro oracolo della docenza non ho più riguardato la figura, ed ero convinto che il disco ruotasse attorno al centro!
Stando così le cose, temo che in alcune mie risposte si debba sostituire $R$ con $2R$, e non solo!
Vado a rivedere tutto e a correggere.
Ciao e scusate tanto la svista.
tutti sbagliamo. Certo il dsco non ruota attorno al centro di amssa ma attorno al perno quindi il momento di inerzia è il seguente I= $ I_(CM) $ +$ MD^2$ dove D è la distanza di un asse parallelo all'asse passante per CM quindi poichè questo è un disco di massa M e raggio R il momento di inerzia per il centro di massa è $ int_(0)^(R) Mr^2 dr$ o meglio $ M int_(0)^(R) r^2 dr $ che risolviamo ottenendo $ ( MR^3 )/ 3 $ e a questo andiamo a sommare $ MD^2 $ o sbaglio?
Ottenuto il momento di inerzia lo andiamo a sostituire in $ L_i = L_f$ con $omega$=v/R e poi si applica la conservazione dell'energia giusto?
Ora l'unica cosa che dovrei fare è ricavarmi $omega$ da queste equazioni ottenute?
@Falco... visto che sei un ingegnere elettronico potresti perfavore dare un'occhiata allla mia domanda sull'energia di un circuito? così mi chiarisci qualcosa? Grazie
P.S. Non so se l'avete notato ma non sono stato io a postare questo problema, è stato un altro. Io mi sono intromesso ma poi mi ha coinvolto pure
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