Esercizio termodinamica con setto adiabatico
Un contenitore adiabatico è diviso da un setto adiabatico in due parti A e B, che contengono lo
stesso numero di moli di uno stesso gas ideale; in A \(\displaystyle p_A = 10^5 Pa\) , \(\displaystyle T_A=300K \), in B \(\displaystyle p_B = 2⋅10^5 Pa\), \(\displaystyle T_B
= 400 K \). Calcolare: a) il rapporto \(\displaystyle V_A/V_B \). Si elimina il setto e il gas si mescola. Calcolare: b)
pressione e temperatura finali.
Fatto il primo punto dell'esercizio non riesco ad andare avanti. La soluzione riportata dal libro utilizza le formule
\(\displaystyle nc_v (T_f-T_A) + nc_v(T_f -T_B) = 0 \)
\(\displaystyle p(V_A+V_B)=2nRT_f \)
ma non riesco a capire come ricavare il numero di moli e la somma dei due volumi (conoscendo solo il loro rapporto dal punto a) del problema).
Qualcuno può aiutarmi?
Grazie
stesso numero di moli di uno stesso gas ideale; in A \(\displaystyle p_A = 10^5 Pa\) , \(\displaystyle T_A=300K \), in B \(\displaystyle p_B = 2⋅10^5 Pa\), \(\displaystyle T_B
= 400 K \). Calcolare: a) il rapporto \(\displaystyle V_A/V_B \). Si elimina il setto e il gas si mescola. Calcolare: b)
pressione e temperatura finali.
Fatto il primo punto dell'esercizio non riesco ad andare avanti. La soluzione riportata dal libro utilizza le formule
\(\displaystyle nc_v (T_f-T_A) + nc_v(T_f -T_B) = 0 \)
\(\displaystyle p(V_A+V_B)=2nRT_f \)
ma non riesco a capire come ricavare il numero di moli e la somma dei due volumi (conoscendo solo il loro rapporto dal punto a) del problema).
Qualcuno può aiutarmi?
Grazie
Risposte
Si può fare in questo modo:
Dalla parte a) sappiamo che:
$$ \frac{V_A}{V_B} = \frac{P_B T_A}{P_A T_B}$$
e quindi che:
$$ V_B = \frac{P_A T_B}{P_B T_A} V_A$$
Sostituendo nella formula che hai citato:
$$ P_f \left (V_A + \frac{P_A T_B}{P_B T_A} V_A \right ) = 2n R T_f$$
ovvero,
$$ P_f V_A \underbrace{ \left ( 1 + \frac{P_A T_B}{P_B T_A} \right )}_{{} = \aleph} = 2 n R T_f $$
Dividendo da entrambe le parti per $V_A \aleph$:
$$ P_f = 2\frac{ n}{V_A} R T_f \aleph^{-1}$$
D'altra parte, dall'equazione di stato per il gas di volume $V_A$:
$$ P_A V_A = n R T_A \implies \frac{n}{V_A} = \frac{P_A}{R T_A} $$
Quindi:
$$ P_f = 2 \cdot \frac{P_A}{R T_A } \cdot R T_f \cdot \aleph^{-1} = \frac{2 P_A P_B T_f}{P_B T_A + P_A T_B}$$
Dalla parte a) sappiamo che:
$$ \frac{V_A}{V_B} = \frac{P_B T_A}{P_A T_B}$$
e quindi che:
$$ V_B = \frac{P_A T_B}{P_B T_A} V_A$$
Sostituendo nella formula che hai citato:
$$ P_f \left (V_A + \frac{P_A T_B}{P_B T_A} V_A \right ) = 2n R T_f$$
ovvero,
$$ P_f V_A \underbrace{ \left ( 1 + \frac{P_A T_B}{P_B T_A} \right )}_{{} = \aleph} = 2 n R T_f $$
Dividendo da entrambe le parti per $V_A \aleph$:
$$ P_f = 2\frac{ n}{V_A} R T_f \aleph^{-1}$$
D'altra parte, dall'equazione di stato per il gas di volume $V_A$:
$$ P_A V_A = n R T_A \implies \frac{n}{V_A} = \frac{P_A}{R T_A} $$
Quindi:
$$ P_f = 2 \cdot \frac{P_A}{R T_A } \cdot R T_f \cdot \aleph^{-1} = \frac{2 P_A P_B T_f}{P_B T_A + P_A T_B}$$
In realtà immaginavo si potesse risolvere con qualcosa di più semplice... cos'è quella \(\displaystyle N \) stilizzata che introduci nella quarta formula?
"grad90":
In realtà immaginavo si potesse risolvere con qualcosa di più semplice... cos'è quella \(\displaystyle N \) stilizzata che introduci nella quarta formula?
Niente di particolare, è un simbolo [la lettera "aleph"] per chiamare quella quantità e non portarsela dietro nei passaggi. L'avrei potuta chiamare $k$, ma in termodinamica potrebbe confondere. Se preferisci, portati dietro quella quantità nelle formule e basta; è solo una questione di comodità
Comunque, è abbastanza semplice. Sostanzialmente ho usato l'equazione di stato e il rapporto che si trova nella parte a).
ok chiarissimo, grazie dell'aiuto!
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